Fiche de révision : Études des suites géométriques et arithmétiques

📋 Plan du Cours

1. Sommes géométriques
2. Suites géométriques
3. Suites arithmétiques
4. Suites avec Python
5. Suites numériques et récurrence

📖 1. Sommes géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de termes consécutifs : Somme de la suite écrite sous la forme $1+q+q^2+\dots+q^{n-1}$ ou $u_0+u_1+\dots+u_n$ selon la situation.
• Raison $q$ : Coefficient multiplicateur qui fait passer d’un terme géométrique au suivant, et qui apparaît directement dans les formules de sommes.
• Suite géométrique : Suite où chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une raison $q$ constante.

📝 Points essentiels

• Pour $n$ entier naturel non nul et $q\neq 1$, on a $1+q+q^2+\dots+q^{n-1}=(1-q^n)/(1-q)$.
• Pour une suite géométrique de raison $q\neq 1$ et de premier terme $u_0$, on a $u_0+u_1+\dots+u_n=u_0\,(1-q^{n+1})/(1-q)$.
• Dans l’exemple $1+2+2^2+\dots+2^4$, la somme vaut $31$.
• Dans l’exemple $1^3+2^3+\dots+3^3$, la somme vaut $36$.
• Dans l’exemple $S_5=3+6+12+\dots+96$, on obtient $93$ avec la formule.

💡 Astuce mémo

Formule à retenir : numérateur 1−q^(puis exponent) et dénominateur 1−q, l’exposant suit le nombre de termes (n ou n+1).

📖 2. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Raison de la suite : Réel $q$ qui multiplie un terme pour obtenir le terme suivant dans une suite géométrique.
• Coefficient multiplicateur : Multiplicateur associé à une variation en pourcentage qui transforme la valeur d’un terme pour passer au suivant.
• Augmenter de $p\%$ : Opération qui revient à multiplier par le coefficient multiplicateur $1+p/100$.

📝 Points essentiels

• Pour montrer qu’une suite est géométrique, on vérifie que le quotient $u_{n+1}/u_n$ est constant (avec $u_n\neq 0$).
• Si $u_n=3^n$, alors $u_{n+1}/u_n=3^{n+1}/3^n=3$, donc la raison vaut $q=3$.
• Pour montrer qu’une suite n’est pas géométrique, il suffit que $u_{n+1}/u_n$ dépende de $n$ ou d’exhiber un contre-exemple.
• La raison correspond au coefficient multiplicateur qui passe d’un terme au suivant.
• Une diminution de $p\%$ correspond à une multiplication par $q=1-p/100$.
• Exemple : la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n$ est géométrique de raison $q=3$.

💡 Astuce mémo

Géométrique = même multiplicateur partout : $u_{n+1}=q\,u_n$, donc $u_{n+1}/u_n$ reste constant.

📖 3. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite $(u_n)$ telle qu’il existe un réel $r$ avec $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout $n$.
• Raison d’une suite arithmétique : Réel $r$ qui ajoute la même quantité d’un terme au suivant dans une suite arithmétique.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique de raison $r$, on a $u_n=u_0+n\,r$.
• Si $u_0=3$ et $r=5$, alors $u_n=3+5n$.
• Pour trouver le plus petit entier $n$ tel que $u_n\ge 20$, on résout $3+5n\ge 20$ puis on prend le plus petit entier vérifiant l’inégalité.
• Dans l’exemple $3+5n\ge 20$, on obtient $n\ge 3{,}4$ donc $n=4$.
• La somme $1+2+\dots+m$ vaut $m(m+1)/2$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = addition fixe : $u_{n+1}-u_n=r$, donc $u_n$ s’écrit $u_0+n\,r$.

📖 4. Suites avec Python

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul terme à terme : Approche où l’on calcule les valeurs successives d’une suite dans une boucle jusqu’à atteindre l’indice demandé.
• Boucle for et range : Construction Python qui fait varier un indice sur une plage entière définie par range(...).
• Liste par compréhension : Méthode Python qui crée une liste en utilisant une expression sur chaque valeur d’un itérateur.
• Fonction sommeTerme : Fonction qui additionne des valeurs obtenues par appel à terme(i) sur une plage d’indices.

📝 Points essentiels

• Avec for i in range(1, n+1), le corps de boucle s’exécute pour $i=1,2,\dots,n$.
• Dans l’exemple, la mise à jour v = 4 * v - 2 est répétée dans la boucle en partant de v=3.
• Pour l’exemple sommeTerme(nombreTerme), la somme est construite avec for i in range(1, nombreTerme) puis somme = somme + terme(i).
• La liste demandée est donnée par la compréhension L = [i * 3 + 1 for i in range(4)].
• Le texte souligne qu’on ne connaît pas à l’avance le nombre de termes à calculer quand on cherche un seuil, donc on ne peut pas directement utiliser une fonction ne calculant qu’un nombre fixé de termes.

💡 Astuce mémo

Python pour les suites : boucle = répétition de la formule d’itération, et range(a,b) fixe exactement les indices calculés.

📖 5. Suites numériques et récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction définie sur des entiers naturels qui associe à chaque rang $n$ un nombre réel appelé terme de rang $n$.
• Formule de récurrence : Définition d’une suite par un premier terme puis une relation qui calcule $u_{n+1}$ à partir de $u_n$.
• Formule explicite : Expression qui donne directement $u_n$ en fonction de $n$, permettant de calculer un terme sans calculer tous les précédents.
• Relation de récurrence d’ordre 1 : Relation où le terme suivant dépend uniquement du terme précédent, sous la forme $u_{n+1}=f(u_n)$.
• Relation de récurrence d’ordre 2 : Relation où le terme suivant dépend de deux termes précédents, sous la forme $u_{n+2}$ en fonction de $u_{n+1}$ et $u_n$.

📝 Points essentiels

• Dans une suite numérique, $u(n)$ est aussi noté $u_n$ et s’appelle le terme de rang $n$ (ou d’indice $n$).
• Une suite définie par récurrence d’ordre 1 se présente comme $u_{n+1}=f(u_n)$ avec un premier terme donné $u_0$.
• Exemple récurrent d’ordre 1 : si $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n+3$, alors $u_1=5$, $u_2=13$ et $u_3=29$.
• Une formule explicite est de la forme $u_n=f(n)$, par laquelle on calcule directement le terme en fonction de $n$.
• Une relation de récurrence d’ordre 2 est donnée quand $u_{n+2}$ est exprimé à l’aide de $u_{n+1}$ et de $u_n$.
• Rmq clé : avec une récurrence, on ne calcule pas directement $u_n$ sans avoir en général calculé les termes précédents.

💡 Astuce mémo

Récurrence = on progresse pas à pas : connaître $u_0$ puis appliquer $u_{n+1}=f(u_n)$, alors qu’explicite = calcul direct avec $u_n=f(n)$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre suite géométrique et arithmétique : géométrique multiplie (quotient constant), arithmétique ajoute (différence constante).
2. Croire qu’on peut obtenir directement un terme d’une suite définie par récurrence sans calculer les précédents, alors que le texte rappelle le contraire.
3. Se tromper dans l’identification de la raison $q$ : c’est le multiplicateur entre deux termes consécutifs, pas le pourcentage lui-même.
4. Appliquer la formule de somme avec $q=1$ : les formules données supposent explicitement $q\neq 1$.
5. Mauvais usage d’exposants dans les sommes géométriques : confondre $n$ et $n+1$ dans $1-q^{n+1}$ peut fausser tout le résultat.
6. En Python, supposer que range(1, n+1) va jusqu’à $n+1` : l’extrémité haute est exclue, donc on s’arrête à$n`.
7. Confondre l’indice et le rang dans une suite (exemple du terme 4) : c’est l’indice qui compte pour la position.

✅ Checklist Examen

1. Reconnaître une suite géométrique en testant si $u_{n+1}/u_n$ est constant (et préciser la raison).
2. Donner la définition d’une suite arithmétique et identifier sa raison $r$ à partir de $u_{n+1}=u_n+r$.
3. Savoir écrire $u_n=u_0+n\,r$ pour une suite arithmétique, puis résoudre une inégalité du type $u_n\ge A$.
4. Utiliser la formule de somme géométrique $1+q+\dots+q^{n-1}=(1-q^n)/(1-q)$ quand $q\neq 1$.
5. Utiliser la formule $u_0+u_1+\dots+u_n=u_0(1-q^{n+1})/(1-q)$ pour une suite géométrique de raison $q\neq 1$.
6. Calculer une somme géométrique à partir de l’exemple type, en manipulant correctement les puissances.
7. Définir une suite numérique comme une fonction sur les entiers naturels et savoir ce qu’est le terme $u_n$.
8. Différencier définition explicite et définition par récurrence, et savoir ce que signifie une récurrence d’ordre 1 ou 2.
9. À partir de $u_0$ et d’une règle du type $u_{n+1}=f(u_n)$, calculer quelques premiers termes (comme dans l’exemple $u_{n+1}=2u_n+3$).
10. Interpréter un code Python de suite avec une boucle for et des mises à jour successives d’une variable comme v=4*v-2.
11. Déterminer les indices parcourus par range(1, n+1) et range(1, nombreTerme) pour prévoir quels termes sont calculés ou additionnés.
12. Créer une liste par compréhension du type L = [i*3+1 for i in range(4)] et comprendre ce que contient la liste produite.