$(1-q^n)/(1-q)$
Explication
La somme géométrique de $n$ termes s’écrit bien $(1-q^n)/(1-q)$ quand $q\neq 1$. L’exposant correspond au nombre de termes, ici $n$.
$u_0\,(1-q^{n+1})/(1-q)$
Explication
Avec les termes de $u_0$ à $u_n$, il y a $n+1$ termes, d’où l’exposant $n+1$. La formule correcte est donc $u_0(1-q^{n+1})/(1-q)$.
Le quotient $u_{n+1}/u_n$ est constant lorsque $u_n\neq 0$
Explication
Une suite géométrique est caractérisée par un quotient constant entre deux termes consécutifs. Une différence constante décrit au contraire une suite arithmétique.
Multiplier par $1-p/100$
Explication
Une baisse de $p\%$ revient à conserver $100-p$ pour cent de la valeur initiale, donc à multiplier par $1-p/100$. Le facteur $1+p/100$ correspond à une augmentation.
$u_n=u_0+n\,r$
Explication
Dans une suite arithmétique, on ajoute la même quantité à chaque étape, ce qui conduit à $u_n=u_0+n r$. La formule $u_0r^n$ correspond à une suite géométrique.
4
Explication
On a $u_n=3+5n$ ; résoudre $3+5n\ge 20$ donne $n\ge 3{,}4$, donc le plus petit entier est $4$. C’est un usage direct de la formule explicite.
De 1 à n
Explication
En Python, `range(1, n+1)` commence à 1 et s’arrête avant `n+1`, donc l’indice parcourt 1, 2, ..., n. L’extrémité haute est exclue.
[1, 4, 7, 10]
Explication
`range(4)` donne 0, 1, 2, 3, et l’expression $i\times 3+1$ produit 1, 4, 7, 10. La liste contient donc ces quatre valeurs.
Une fonction définie sur les entiers naturels qui associe à chaque rang un réel
Explication
Une suite numérique est une fonction définie sur les entiers naturels, et chaque rang $n$ donne un terme réel $u_n$. Ce n’est pas une fonction définie sur les réels.
L’explicite donne directement $u_n$ en fonction de $n$, la récurrence calcule $u_{n+1}$ à partir de $u_n$
Explication
Une formule explicite permet d’obtenir $u_n$ directement à partir de $n$, tandis qu’une récurrence définit la suite pas à pas à partir d’un premier terme. La récurrence a donc besoin d’une valeur initiale.
Mémorisez les réponses avec 10 flashcards sur Études des suites géométriques et arithmétiques.
Somme géométrique — formule ?
(1-q^n)/(1-q) pour q≠1
Suite géométrique — définition ?
Termes obtenus par multiplication par une raison constante
Suite arithmétique — formule ?
u_n=u_0+n*r
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