Fiche de révision : Fonction exponentielle

📋 Plan du Cours

1. Définition et dérivée
2. Calculs avec l’exponentielle
3. Propriétés et variations

📖 1. Définition et dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : L’unique fonction dérivable sur ℝ dont la dérivée est elle-même et qui vérifie e^0=1.

★ À maîtriser

📐 Formule — La fonction exponentielle vérifie $\left(e^x\right)'=e^x$ pour tout réel x.

Compléments

• Pour dériver un produit de fonctions contenant une exponentielle, on applique la formule du produit puis on utilise $\left(e^x\right)'=e^x$.

💡 Astuce mémo

Dérivée égale à elle-même → exponentielle strictement positive et croissante

📖 2. Calculs avec l’exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre e : Le nombre réel défini par $e=e^1$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tous réels a et b, l’équation fonctionnelle de l’exponentielle est $e^{a+b}=e^a\times e^b$.

📐 Formule — Pour tout réel a, on a $e^{-a}=\frac{1}{e^a}$.

Compléments

📐 Formule — Pour tous réels a et b, on a $e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}$.

📐 Formule — Pour tout réel a et tout entier naturel n, on a $(e^a)^n=e^{na}$.

💡 Astuce mémo

Produit → inverse → quotient → puissance

📖 3. Propriétés et variations

★ À maîtriser

📌 La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ, donc $e^x>0$ pour tout réel x.

📌 La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ, car sa dérivée est strictement positive.

• Pour la fonction $f(x)=(2x-1)e^x$, la dérivée est $f'(x)=(2x+1)e^x$.

Compléments

• Pour étudier les variations de $f(x)=(2x-1)e^x$, on annule d’abord le facteur affine de la dérivée, puis on utilise la positivité de e^x pour établir le signe de f'.

💡 Astuce mémo

Dérivée négative : décroissance ; dérivée positive : croissance

📊 Tableaux de synthèse

Signes et variations