Fiche de révision : Logique combinatoire et fonctions logiques

📋 Plan du Cours

1. Variables logiques et algèbre de Boole
2. Construction des fonctions logiques
3. Représentations d’une fonction logique
4. Fonctions logiques élémentaires
5. Fonctions universelles NAND et NOR
6. Tableau des fonctions à deux variables
7. Formes canoniques
8. Chronogramme et évolution temporelle

📖 1. Variables logiques et algèbre de Boole

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable logique : Grandeur qui ne peut prendre que deux états distincts et mutuellement exclusifs, généralement notés 0 et 1.
• Algèbre de Boole : George Boole, 1854 — Ensemble des opérations appliquées aux variables logiques, qui ne prennent que les valeurs 0 et 1.

★ À maîtriser

📌 Le complément d’une variable a vaut 1 lorsque a vaut 0 et vaut 0 lorsque a vaut 1, ce qui s’écrit $\overline{a}=1$ si $a=0$ et $\overline{a}=0$ si $a=1$.

Compléments

• En logique positive, l’état 0 correspond généralement à un niveau bas de tension et l’état 1 à un niveau haut, par exemple 0 V et 5 V en logique TTL.

💡 Astuce mémo

Logique binaire 0/1, contrairement à l’analogique continue

📖 2. Construction des fonctions logiques

📝 Points essentiels

• Une fonction logique $S=f(a,b,c,\ldots)$ décrit la dépendance d’une ou plusieurs sorties par rapport aux variables d’entrée.

• Une fonction logique de n variables admet $2^n$ combinaisons d’entrée possibles.

• 🔄 La construction d’une fonction logique suit les étapes suivantes:

  1. Analyser le cahier des charges
  2. Recenser les variables d’entrée et les sorties
  3. Établir la table de vérité
  4. Écrire l’équation logique sous forme canonique
  5. Simplifier l’équation
  6. Réaliser le logigramme

💡 Astuce mémo

Cahier des charges → entrées/sorties → table → équation → simplification → logigramme

📖 3. Représentations d’une fonction logique

🔑 Notions clés & Définitions

• Table de vérité : Liste, pour chaque combinaison des entrées, la valeur correspondante de la sortie.
• Chronogramme : Représentation de l’évolution temporelle des niveaux logiques des entrées et de la sortie sur des lignes horizontales partageant un axe du temps.

★ À maîtriser

• Les quatre représentations équivalentes sont:
  • La table de vérité
  • L’équation logique
  • Le logigramme
  • Le chronogramme

Compléments

📌 Une table de vérité à n variables comporte $2^n$ lignes et les combinaisons sont généralement classées dans l’ordre binaire croissant.

💡 Astuce mémo

TELC : Table, Équation, Logigramme, Chronogramme

📖 4. Fonctions logiques élémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction OUI : Recopie fidèlement l’entrée et s’écrit $S=a$.
• Fonction NON : Fournit le complément de l’entrée et s’écrit $S=\overline{a}$.
• Fonction OU : S’écrit $S=a+b$ et sa sortie vaut 1 dès qu’au moins une entrée vaut 1.
• Fonction ET : S’écrit $S=a\cdot b$ et sa sortie vaut 1 uniquement lorsque toutes les entrées valent 1.

★ À maîtriser

📌 La fonction XOR vaut 1 lorsque les entrées sont différentes, tandis que la fonction XNOR vaut 1 lorsqu’elles sont identiques.

Compléments

📌 La fonction implication $S=\overline{a}+b$ est fausse uniquement lorsque $a=1$ et $b=0$, et elle est dissymétrique car $a\Rightarrow b\ne b\Rightarrow a$.

📌 La fonction inhibition $S=a\cdot\overline{b}$ vaut 1 uniquement lorsque a vaut 1 et b vaut 0.

💡 Astuce mémo

XOR = entrées différentes ; XNOR = entrées identiques

📖 5. Fonctions universelles NAND et NOR

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction universelle : Permet, en la combinant avec elle-même, de réaliser toutes les autres fonctions logiques.

★ À maîtriser

• Les portes NAND et NOR sont des fonctions universelles.

Compléments

📐 Formule — Une porte NAND dont les deux entrées sont reliées à a réalise la négation selon $a\ \text{NAND}\ a=\overline{a}$.

• Un boîtier unique contenant des portes NAND ou NOR peut réduire les coûts et la diversité des composants nécessaires à un circuit combinatoire.

💡 Astuce mémo

Une seule famille de portes NAND ou NOR construit tout le circuit

📖 6. Tableau des fonctions à deux variables

★ À maîtriser

• Pour les combinaisons d’entrée 00, 01, 10 et 11, les sorties des fonctions OU, ET, NOR, NAND, XOR, XNOR, implication et inhibition sont respectivement 0111, 0001, 1000, 1110, 0110, 1001, 1101 et 0010.

Compléments

• Il existe 16 fonctions logiques possibles à deux variables, mais seules quelques-unes possèdent un intérêt pratique et un nom usuel.

📖 7. Formes canoniques

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Expression algébrique obtenue directement et systématiquement à partir de la table de vérité, sans simplification.

★ À maîtriser

• La première forme canonique se construit en prenant, pour chaque ligne où S vaut 1, le produit de toutes les variables puis la somme de ces produits.

• La deuxième forme canonique se construit en prenant, pour chaque ligne où S vaut 0, la somme de toutes les variables puis le produit de ces sommes.

Compléments

• La forme canonique est directe et systématique, mais elle est généralement non minimale et doit être simplifiée avant la réalisation pratique du logigramme.

💡 Astuce mémo

S = 1 → somme de produits ; S = 0 → produit de sommes

📖 8. Chronogramme et évolution temporelle

★ À maîtriser

• Pour construire un chronogramme à partir d’une table de vérité, on choisit un ordre de balayage, on trace les entrées selon leur durée à 0 et à 1, puis on calcule et trace la sortie pour chaque intervalle.

📌 Le passage de la table de vérité au chronogramme déroule dans le temps les lignes de la table, tandis que le passage inverse relève les états des signaux sur chaque intervalle pour reconstruire les lignes.

Compléments

• Pour $S=a\oplus b$, la sortie passe à 1 chaque fois que les signaux a et b sont différents.

💡 Astuce mémo

Lire les entrées à chaque instant → appliquer l’équation → tracer la sortie

📊 Tableaux de synthèse

Fonctions logiques à deux variables