Fiche de révision : Calcul numérique et puissances

📋 Plan du Cours

1. Règles de calcul des puissances
2. Notation scientifique
3. Préfixes et puissances de dix
4. Égalité et opérations fractionnaires

📖 1. Règles de calcul des puissances

📝 Points essentiels

• Pour un produit de puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants : $a^m \times a^n = a^{m+n}$, par exemple $3^2 \times 3^4 = 3^6$.

• Pour un quotient de puissances de même base, on conserve la base et on soustrait les exposants : $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, par exemple $\frac{7^5}{7^2}=7^3$.

• Une puissance d’une puissance conserve la base et multiplie les exposants : $(a^m)^n=a^{m\times n}$, par exemple $(5^2)^3=5^6$.

• Pour un exposant négatif, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, et pour un exposant nul, $a^0=1$ lorsque a est non nul.

📖 2. Notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : Écriture d’un nombre positif sous la forme $a \times 10^n$, où a est un nombre décimal tel que $1 \leq a < 10$ et n est un nombre entier relatif.

📝 Points essentiels

• Le nombre 745 000 000 peut s’écrire en notation scientifique $7{,}45 \times 10^8$.

💡 Astuce mémo

Une mantisse entre 1 et 10 suivie d’une puissance de 10.

📖 3. Préfixes et puissances de dix

📝 Points essentiels

• Les préfixes associés aux puissances de dix sont : téra pour $10^{12}$, giga pour $10^9$, méga pour $10^6$, kilo pour $10^3$, milli pour $10^{-3}$, micro pour $10^{-6}$ et nano pour $10^{-9}$.

• Les puissances de dix usuelles ont les valeurs suivantes : $10^{-9}=0{,}000\ 000\ 001$, $10^{-6}=0{,}000\ 001$, $10^{-3}=0{,}001$, $10^{-2}=0{,}01$, $10^{-1}=0{,}1$, $10^0=1$, $10^1=10$, $10^2=100$, $10^3=1\ 000$, $10^6=1\ 000\ 000$ et $10^9=1\ 000\ 000\ 000$.

💡 Astuce mémo

Du téra au nano : 12, 9, 6, 3, −3, −6, −9.

📖 4. Égalité et opérations fractionnaires

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$.

📐 Formule — Diviser une fraction par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

📌 Deux fractions $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ sont égales, avec b et d non nuls, si et seulement si leurs produits en croix sont égaux : $a\times d=b\times c$.

📌 Pour additionner des fractions, il faut les mettre au même dénominateur, puis additionner leurs numérateurs.

Compléments

• Pour vérifier que $\frac{5}{3}=\frac{175}{105}$, on calcule $5\times105=525$ et $3\times175=525$ ; les produits en croix étant égaux, les fractions sont égales.

💡 Astuce mémo

Comparer, additionner, multiplier, puis diviser par l’inverse.