Fiche de révision : Fonction logarithme népérien

📋 Plan du Cours

1. Définition et fonction réciproque
2. Courbe et variations du logarithme
3. Propriétés algébriques
4. Dérivée et composée

📖 1. Définition et fonction réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction logarithme népérien : est définie sur ]0;+∞[ et associe à tout réel strictement positif x l’unique réel ln(x) tel que $e^{\ln(x)}=x$.

★ À maîtriser

📌 L’équation $e^x=a$, où a est strictement positif, admet une unique solution réelle notée ln(a).

📐 Formule - Pour tout réel x, $\ln(e^x)=x$, et pour tout réel x>0, $e^{\ln(x)}=x$.

Compléments

• Les valeurs particulières sont $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$.

💡 Astuce mémo

Exponentielle : réel → positif ; logarithme : positif → réel.

📖 2. Courbe et variations du logarithme

📝 Points essentiels

• La fonction ln est strictement croissante sur ]0;+∞[.

📌 Les courbes représentatives de la fonction exponentielle et de la fonction ln sont symétriques par rapport à la droite d’équation y=x.

💡 Astuce mémo

La courbe du logarithme est le miroir de l’exponentielle par rapport à y=x.

📖 3. Propriétés algébriques

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous réels strictement positifs a et b, $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$.

📐 Formule - Pour tout réel strictement positif a et tout entier relatif n, $\ln(a^n)=n\ln(a)$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout réel strictement positif a, $\ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2}\ln(a)$.

💡 Astuce mémo

Produit → somme ; quotient → différence ; puissance → multiplication.

📖 4. Dérivée et composée

📝 Points essentiels

📐 Formule - La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ et, pour tout x>0, $\ln'(x)=\frac{1}{x}$.

📌 Si une fonction u est positive et dérivable sur un intervalle I, alors ln(u(x)) est définie sur I et $\left(\ln(u(x))\right)'=\frac{u'(x)}{u(x)}$.

💡 Astuce mémo

Une fonction intérieure positive entraîne la dérivée u'/u.