QCM : Fonction logarithme népérien (9 questions)

Question 1

1. Pour quelle valeur de $x$ le logarithme népérien $\ln(x)$ est-il défini ?

Pour tout réel supérieur ou égal à zéro

Pour tout réel strictement négatif

Pour tout réel strictement positif

Pour tout réel, sans condition

Explication

Le logarithme népérien est défini lorsque son argument est strictement positif. Contrairement à lui, la fonction exponentielle est définie pour tout réel.

Answer

Pour tout réel strictement positif

Question 2

2. Quelle condition sur $a$ garantit que l’équation $e^x=a$ possède une unique solution réelle ?

a>0

a<0

a\geq 0

a\neq 0

Explication

L’exponentielle prend toutes les valeurs strictement positives, et chacune d’elles correspond à une unique valeur de $x$ . Un second membre nul ou négatif ne peut pas être obtenu par une exponentielle réelle.

Answer

$$\ln(e^x)=x$$

Answer

Elle est strictement croissante

Answer

La droite d’équation $$y=x$$

Answer

$$\ln(a)-\ln(b)$$

Answer

$$n\ln(a)$$

Answer

Pour tout $$x>0$$

Answer

$$\frac{2x}{x^2+1}$$

Question 3

3. Quelle égalité est vraie pour tout réel $x$ ?

\ln(e^x)=e^x

e^{\ln(x)}=x

e^{\ln(x)}=\ln(x)

\ln(e^x)=x

Explication

Les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont réciproques, ce qui donne $\ln(e^x)=x$ pour tout réel. L’expression $e^{\ln(x)}$ exige en revanche que $x$ soit strictement positif.

Question 4

4. Quel est le sens de variation de la fonction $\ln$ sur son domaine de définition ?

Elle est strictement croissante

Elle change de sens de variation

Elle est constante

Elle est strictement décroissante

Explication

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ . Elle conserve donc l’ordre entre deux nombres positifs : si $a<b$ , alors $\ln(a)<\ln(b)$ .

Question 5

5. Par rapport à quelle droite les courbes de $y=e^x$ et de $y=\ln(x)$ sont-elles symétriques ?

L’axe des abscisses

L’axe des ordonnées

La droite d’équation

y=-x

La droite d’équation

y=x

Explication

Les deux fonctions sont réciproques, donc leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite $y=x$ . Cette symétrie ne correspond pas à une symétrie par rapport à un axe de coordonnées.

Question 6

6. Pour $a>0$ et $b>0$ , quelle transformation algébrique de $\ln\left(\frac{a}{b}\right)$ est correcte ?

\ln(a)+\ln(b)

\ln(a-b)

\frac{\ln(a)}{\ln(b)}

\ln(a)-\ln(b)

Explication

Le logarithme d’un quotient est égal à la différence des logarithmes du numérateur et du dénominateur. La somme des logarithmes correspond au logarithme d’un produit, et non d’un quotient.

Question 7

7. Pour $a>0$ et $n\in\mathbb{Z}$ , comment s’écrit $\ln(a^n)$ ?

\ln(a)+n

n\ln(a)

\ln(a^n)+n

\frac{\ln(a)}{n}

Explication

L’exposant entier devient un facteur devant le logarithme, d’où $\ln(a^n)=n\ln(a)$ . Il ne s’ajoute pas à $\ln(a)$ comme un terme indépendant.

Question 8

8. Pour quelle valeur de $x$ la dérivée de la fonction $\ln(x)$ est-elle égale à $\frac{1}{x}$ ?

Pour tout nombre réel

x

Pour tout

x>0

Pour tout

x<0

Pour tout

x\geq 0

Explication

La fonction logarithme népérien est dérivable sur $]0;+\infty[$ , et sa dérivée vaut $\frac{1}{x}$ lorsque $x>0$ . L’expression n’est pas valable en $x=0$ , car $\ln(x)$ n’y est pas définie.

Question 9

9. Si $u(x)=x^2+1$ , quelle est la dérivée de $\ln(u(x))$ ?

\frac{1}{x^2+1}

\frac{2x}{x^2+1}

\frac{2x}{x^2}

\frac{x^2+1}{2x}

Explication

La règle de dérivation composée donne $\left(\ln(u(x))\right)'=\frac{u'(x)}{u(x)}$ ; ici, $u'(x)=2x$ , donc on obtient $\frac{2x}{x^2+1}$ . L’expression $\frac{1}{x^2+1}$ oublie le facteur provenant de la dérivée de la fonction intérieure.

QCM : Fonction logarithme népérien (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour quelle valeur de $x$ le logarithme népérien $\ln(x)$ est-il défini ?

2. Quelle condition sur $a$ garantit que l’équation $e^x=a$ possède une unique solution réelle ?

3. Quelle égalité est vraie pour tout réel $x$ ?

4. Quel est le sens de variation de la fonction $\ln$ sur son domaine de définition ?

5. Par rapport à quelle droite les courbes de $y=e^x$ et de $y=\ln(x)$ sont-elles symétriques ?

6. Pour $a>0$ et $b>0$ , quelle transformation algébrique de $\ln\left(\frac{a}{b}\right)$ est correcte ?

7. Pour $a>0$ et $n\in\mathbb{Z}$ , comment s’écrit $\ln(a^n)$ ?

8. Pour quelle valeur de $x$ la dérivée de la fonction $\ln(x)$ est-elle égale à $\frac{1}{x}$ ?

9. Si $u(x)=x^2+1$ , quelle est la dérivée de $\ln(u(x))$ ?

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QCM : Fonction logarithme népérien (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour quelle valeur de xxx le logarithme népérien ln⁡(x)\ln(x)ln(x) est-il défini ?

2. Quelle condition sur aaa garantit que l’équation ex=ae^x=aex=a possède une unique solution réelle ?

3. Quelle égalité est vraie pour tout réel xxx ?

4. Quel est le sens de variation de la fonction ln⁡\lnln sur son domaine de définition ?

5. Par rapport à quelle droite les courbes de y=exy=e^xy=ex et de y=ln⁡(x)y=\ln(x)y=ln(x) sont-elles symétriques ?

6. Pour a>0a>0a>0 et b>0b>0b>0, quelle transformation algébrique de ln⁡(ab)\ln\left(\frac{a}{b}\right)ln(ba​) est correcte ?

7. Pour a>0a>0a>0 et n∈Zn\in\mathbb{Z}n∈Z, comment s’écrit ln⁡(an)\ln(a^n)ln(an) ?

8. Pour quelle valeur de xxx la dérivée de la fonction ln⁡(x)\ln(x)ln(x) est-elle égale à 1x\frac{1}{x}x1​ ?

9. Si u(x)=x2+1u(x)=x^2+1u(x)=x2+1, quelle est la dérivée de ln⁡(u(x))\ln(u(x))ln(u(x)) ?

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2. Quelle condition sur $a$ garantit que l’équation $e^x=a$ possède une unique solution réelle ?

3. Quelle égalité est vraie pour tout réel $x$ ?

4. Quel est le sens de variation de la fonction $\ln$ sur son domaine de définition ?

5. Par rapport à quelle droite les courbes de $y=e^x$ et de $y=\ln(x)$ sont-elles symétriques ?

6. Pour $a>0$ et $b>0$ , quelle transformation algébrique de $\ln\left(\frac{a}{b}\right)$ est correcte ?

7. Pour $a>0$ et $n\in\mathbb{Z}$ , comment s’écrit $\ln(a^n)$ ?

8. Pour quelle valeur de $x$ la dérivée de la fonction $\ln(x)$ est-elle égale à $\frac{1}{x}$ ?

9. Si $u(x)=x^2+1$ , quelle est la dérivée de $\ln(u(x))$ ?