QCM : Arithmétique élémentaire (4 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise une division euclidienne de aa par bb, où aa et bb sont des entiers positifs et bb est non nul ?

Elle fournit un couple (q ; r)\left(q\,;\,r\right) tel que a=b×r+qa=b\times r+q et q<bq<b.
Elle fournit un couple unique (q ; r)\left(q\,;\,r\right) tel que a=b×q+ra=b\times q+r et r<br<b.
Elle fournit un couple (q ; r)\left(q\,;\,r\right) tel que a=q+ra=q+r et r<br<b.
Elle fournit un couple (q ; r)\left(q\,;\,r\right) tel que a=b×q−ra=b\times q-r et r<br<b.

Elle fournit un couple unique $$\left(q\,;\,r\right)$$ tel que $$a=b\times q+r$$ et $$r<b$$.

Explication

Une division euclidienne se définit par l’existence d’un unique couple quotient-reste satisfaisant a=b×q+ra=b\times q+r avec un reste inférieur au diviseur. Une simple égalité avec un reste ne suffit pas si cette contrainte sur rr n’est pas respectée.

2. Dans l’égalité a=b×q+ra=b\times q+r issue d’une division euclidienne, quel rôle joue chaque nombre ?

bb est le reste, qq le diviseur et rr le quotient, avec r<qr<q.
bb est le quotient, qq le diviseur et rr le reste, avec r<qr<q.
bb est le diviseur, qq le quotient et rr le reste, avec r<br<b.
bb est le diviseur, qq le reste et rr le quotient, avec q<bq<b.

$$b$$ est le diviseur, $$q$$ le quotient et $$r$$ le reste, avec $$r<b$$.

Explication

Dans cette relation, le diviseur bb est multiplié par le quotient qq, puis le reste rr est ajouté et doit être inférieur à bb. L’inversion des rôles entre quotient et reste ne respecte pas la règle de la division euclidienne.

3. Si un entier aa est un multiple d’un entier bb, quelle relation doit-il vérifier ?

Il existe un entier qq tel que a=b×q+1a=b\times q+1, donc le reste de la division de aa par bb vaut un.
Il existe un entier qq tel que a=b×qa=b\times q, donc le reste de la division de aa par bb est nul.
Il existe un entier qq tel que b=a×qb=a\times q, donc le reste de la division de bb par aa est nul.
Il existe un entier qq tel que a=b+qa=b+q, donc le reste de la division de aa par bb est nul.

Il existe un entier $$q$$ tel que $$a=b\times q$$, donc le reste de la division de $$a$$ par $$b$$ est nul.

Explication

Dire que aa est un multiple de bb signifie qu’un entier qq vérifie a=b×qa=b\times q, ce qui donne un reste nul. La relation inverse ferait de bb un multiple de aa, et non de aa un multiple de bb.

4. Dans quels cas peut-on dire qu’un entier bb est un diviseur d’un entier aa ?

Lorsque la division de aa par bb donne un reste nul et s’écrit a=b×qa=b\times q.
Lorsque la division de aa par bb donne un reste égal à b−1b-1 et s’écrit a=b×q+b−1a=b\times q+b-1.
Lorsque la division de bb par aa donne un reste nul et s’écrit b=a×qb=a\times q.
Lorsque la division de aa par bb donne un quotient nul et s’écrit a=b+qa=b+q.

Lorsque la division de $$a$$ par $$b$$ donne un reste nul et s’écrit $$a=b\times q$$.

Explication

Un diviseur bb partage exactement aa lorsque a=b×qa=b\times q pour un entier qq, ce qui équivaut à un reste nul dans la division euclidienne. La division de bb par aa décrit la relation inverse et ne définit pas que bb divise aa.

Révisez avec les flashcards

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Qu'est-ce que la division euclidienne de a par b ?

Trouver l'unique couple (q ; r) d'entiers positifs tel que a=b×q+ra = b \times q + r avec r<br < b.

Quelle relation mathématique exprime la division euclidienne ?

a=b×q+ra = b \times q + r avec r<br < b.

Qu'est-ce qu'un multiple d'un entier b ?

Un entier a tel que a=b×qa = b \times q avec q entier.

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