Fiche de révision : Fonctions exponentielles et suites géométriques

📋 Plan du Cours

1. Définition de la fonction exponentielle
2. Suites géométriques et intérêts composés
3. Sens de variation et représentation graphique
4. Règles de calcul sur les puissances
5. Racines n-ièmes et puissances fractionnaires

📖 1. Définition de la fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle de base a : Fonction définie pour tout réel x par f(x)=a^x avec une base a strictement positive.
• Suite géométrique u_n = a^n : Suite de terme général a^n obtenue quand on limite la fonction exponentielle aux entiers.
• Prolongement exponentiel : Extension de la suite géométrique en remplaçant l’exposant entier n par un réel x.
• f(0) = a^0 : Valeur initiale de la fonction exponentielle pour tout a>0, obtenue quand l’exposant vaut 0.

📝 Points essentiels

• Si a>0, on a toujours f(0)=a^0=1 et f(1)=a^1=a pour la fonction f(x)=a^x.
• Pour a=2 : f(4)=2^4=16 et f(3,5)=2^3,5≈11,313.
• Pour a=2 : f(-1,5)=2^-1,5=1/2^1,5≈0,354.
• Une fonction de la forme k×a^x prolonge une suite géométrique de premier terme k et de raison a.

💡 Astuce mémo

Exposant réel = “n devient x” : on passe de a^n à a^x.

📖 2. Suites géométriques et intérêts composés

🔑 Notions clés & Définitions

• Intérêts composés : Capital qui évolue en multipliant le montant précédent par un facteur constant à chaque période.
• Capital au bout de n années : Suite u_n qui représente le montant après n années, modélisée par une loi géométrique.
• Raison q : Facteur multiplicatif constant entre deux termes successifs d’une suite géométrique.

📝 Points essentiels

• Avec 500€ à 4,5% annuel, la suite u_n est géométrique avec u_0=500 et q=1,045.
• Le capital après n années s’exprime par u_n=500×1,045^n.
• Le capital vaut u_3=500×1,045^3≈570,58€ et u_17=500×1,045^17≈1056,68€.
• Pour un temps non entier x, on utilise f(x)=500×1,045^x, ce qui permet par exemple f(1,5)≈534,12€ et f(7/3)≈554,08€.
• Après 1000 jours, on calcule f(1000/365)=500×1,045^(1000/365)≈506,07€.

💡 Astuce mémo

Facteur annuel : u_n=montant initial × (1+taux)^n, et on remplace n par la fraction de temps x.

📖 3. Sens de variation et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Croissante : Sens de variation où la valeur augmente quand x augmente.
• Décroissante : Sens de variation où la valeur diminue quand x augmente.
• Fonction exponentielle f(x)=a^x : Fonction dont le sens de variation dépend uniquement de la position de la base a par rapport à 1.
• Multiplication par k : Transformation qui multiplie toutes les valeurs de l’exponentielle par un même réel k.

📝 Points essentiels

• Pour a>1, la fonction f(x)=a^x est strictement croissante.
• Pour 0<a<1, la fonction f(x)=a^x est strictement décroissante.
• La fonction k×a^x (avec k>0) garde le même sens de variation que a^x.
• Exemples : a=1,5 donne une fonction croissante et a=0,8 donne une fonction décroissante.
• La fonction exponentielle a le même sens de variation que la suite géométrique qu’elle prolonge.

💡 Astuce mémo

Base >1 ⇒ ça monte ; base <1 ⇒ ça descend.

📖 4. Règles de calcul sur les puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit de puissances de même base : Règle liant a^{x+y} et a^x×a^y pour des exposants réels.
• Puissance d’une puissance : Règle liant (a^x)^n et a^{nx} quand n est un entier.
• Puissance avec exposant négatif : Règle qui traduit un exposant négatif en une inversion de la base.
• Puissance (a×b)^x : Règle qui permet de répartir l’exposant x sur le produit a×b.

📝 Points essentiels

• Pour a,b>0 et x,y réels : a^{x+y}=a^x×a^y et a^{x−y}=a^x/a^y.
• Pour tout a>0 : a^{−x}=1/a^x, donc a^{−1} est l’inverse de a et vaut 1/a.
• Pour a>0 et n entier : (a^x)^n=a^{nx}.
• Pour a,b>0 et x réel : (a×b)^x=a^x×b^x.
• Exemple : 2^3×5^3=(2×5)^3=10^3=1000.
• Exemple de simplification : 8,75×8,75^{-1,5}=8,75^{1+(−1,5)}=8,75^{-0,5}.

💡 Astuce mémo

Ajout des exposants en multiplication : a^{x+y} = a^x·a^y.

📖 5. Racines n-ièmes et puissances fractionnaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine n-ième de a : Notation √[n]{a} pour le nombre positif égal à a^{1/n}.
• Puissance fractionnaire a^{1/n} : Forme qui exprime une racine n-ième via l’exposant 1/n.
• Unicité du nombre positif : Le nombre a^{1/n} est le seul positif dont la puissance n donne a.

📝 Points essentiels

• Si a>0 et n entier positif : x=a^{1/n} est l’unique nombre positif tel que x^n=a.
• On a (a^{1/n})^n=a et donc a^{1/n}=√[n]{a}.
• Pour n=2, la racine carrée vérifie a^{1/2}=√a.
• Exemples numériques : 100^{1/2}=10, 64^{1/3}=4 (car 4^3=64) et 81^{1/4}=3 (car 3^4=81).

💡 Astuce mémo

Racine = exposant inverse : √[n]{a} = a^{1/n}, donc on “divise” l’exposant par n.

📅 Repères chronologiques

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre a^n (exposant entier) et a^x (exposant réel) : la fonction exponentielle permet x réel mais la suite géométrique correspond aux entiers n.
2. Oublier que le signe du sens de variation dépend de la base par rapport à 1 : a>1 augmente et 0<a<1 diminue.
3. Croire que k×a^x change le sens de variation alors que seul k>0 préserve ce sens.
4. Traiter a^{−x} comme −a^x au lieu de 1/a^x, ce qui inverse la valeur.
5. Confondre √[n]{a} avec a^n au lieu de a^{1/n : la racine correspond à l’exposant 1/n.
6. Se tromper sur les puissances à exposant fractionnaire : ex. √(100)=100^{1/2}=10, pas 100^{2}=10000.

✅ Checklist Examen

1. Définir f(x)=a^x pour a>0 et donner f(0)=1 et f(1)=a.
2. Relier la fonction exponentielle à la suite géométrique u_n=a^n et expliquer le passage à l’exposant réel x.
3. Identifier la raison q d’une suite d’intérêts composés à partir du taux annuel et écrire u_n en fonction de n.
4. Calculer un capital pour un temps entier (ex. n=3 et n=17) avec u_n=500×1,045^n.
5. Calculer un capital pour un temps fractionnaire ou en jours en utilisant f(x)=500×1,045^x.
6. Déterminer le sens de variation de a^x selon que a>1 ou 0<a<1.
7. Énoncer les règles de calcul a^{x+y}, a^{x−y} et a^{−x}=1/a^x.
8. Appliquer la règle (a^x)^n=a^{nx} avec n entier.
9. Appliquer la règle (a×b)^x=a^x×b^x pour x réel.
10. Reconnaître que √[n]{a}=a^{1/n} et résoudre des identités du type x^n=a avec x>0.
11. Calculer des racines n-ièmes via puissances fractionnaires avec des exemples du cours (100^{1/2}, 64^{1/3}, 81^{1/4}).