QCM : Fonctions polynômes du second degré — 5 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition doit respecter le coefficient aa pour que f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c soit une fonction polynôme de degré 2 ?

Il doit être égal à zéro.
Il doit être positif.
Il doit être égal à un.
Il doit être non nul.

Il doit être non nul.

Explication

Le terme en x2x^2 doit effectivement être présent, ce qui impose a≠0a\ne0. Si a=0a=0, le terme quadratique disparaît et la fonction devient au plus affine, ce qui correspond à la confusion fréquente.

2. Dans l'expression f(x)=3x2−7x+3f(x)=3x^2-7x+3, quelles sont les valeurs des coefficients aa, bb et cc ?

a=−7a=-7, b=3b=3 et c=3c=3
a=−7a=-7, b=3b=3 et c=−3c=-3
a=3a=3, b=3b=3 et c=−7c=-7
a=3a=3, b=−7b=-7 et c=3c=3

$$a=3$$, $$b=-7$$ et $$c=3$$

Explication

Le coefficient de x2x^2 est a=3a=3, celui de xx est b=−7b=-7, et le terme constant est c=3c=3. Confondre aa et cc revient à attribuer au coefficient quadratique le terme qui ne dépend pas de xx.

3. Quelle écriture correspond à la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 ?

f(x)=(a−αx)2+βf(x)=(a-\alpha x)^2+\beta
f(x)=a(x−α)+β2f(x)=a(x-\alpha)+\beta^2
f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c
f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$

Explication

La forme canonique conserve le coefficient aa devant le carré et s'écrit a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta. L'expression ax2+bx+cax^2+bx+c est la forme développée, qui met en évidence les trois coefficients.

4. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, quelles formules donnent les paramètres de la forme canonique a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta ?

α=b2a\alpha=\frac{b}{2a} et β=b2+4ac4a\beta=\frac{b^2+4ac}{4a}
α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=−b2−4ac4a\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}
α=−2ab\alpha=-\frac{2a}{b} et β=−4ab2−4ac\beta=-\frac{4a}{b^2-4ac}
α=−ba\alpha=-\frac{b}{a} et β=b2−4ac2a\beta=\frac{b^2-4ac}{2a}

$$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}$$

Explication

Les paramètres sont obtenus par α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=−b2−4ac4a\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}. La confusion fréquente consiste à intervertir les rôles : α\alpha est lié à la position dans le carré, tandis que β\beta est le terme ajouté à l'extérieur.

5. Quelle est la forme canonique de la fonction f(x)=2x2−20x+10f(x)=2x^2-20x+10 ?

f(x)=2(x−5)2+40f(x)=2(x-5)^2+40
f(x)=2(x−10)2+5f(x)=2(x-10)^2+5
f(x)=2(x−5)2−40f(x)=2(x-5)^2-40
f(x)=2(x+5)2−40f(x)=2(x+5)^2-40

$$f(x)=2(x-5)^2-40$$

Explication

En développant 2(x−5)2−402(x-5)^2-40, on obtient 2x2−20x+50−40=2x2−20x+102x^2-20x+50-40=2x^2-20x+10. Le signe dans le carré et la constante extérieure doivent donc être choisis ensemble pour retrouver les termes de la forme développée.

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Qu'est-ce qu'une fonction polynôme de degré 2 ?

Une fonction définie sur ℝ par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\ne0.

Comment appelle-t-on aussi une fonction polynôme de degré 2 ?

Une fonction trinôme du second degré ou simplement trinôme.

Quels sont les coefficients de f(x)=3x2−7x+3f(x)=3x^2-7x+3 ?

a=3, b=-7 et c=3.

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