QCM : Fondamentaux de la dérivation en analyse — 10 questions

Explication

Le taux de variation entre deux points est défini comme la différence des valeurs de la fonction en ces points, divisée par la différence de ces points, c'est-à-dire rac{f(b) - f(a)}{b - a}. La limite de cette expression lorsque les points se rapprochent donne la dérivée, mais la définition initiale concerne la pente moyenne entre deux points.

Explication

La formule correcte pour définir le nombre dérivé en un point est la limite du taux de variation : lim_{x o a} (f(x) - f(a)) / (x - a). C'est cette limite qui, si elle existe, donne la pente de la tangente à la courbe en ce point.

Explication

La tangente en un point est définie comme la limite des sécantes passant par ce point et un point M qui se rapproche de lui. Cette limite, si elle existe, donne la pente de la tangente, qui est aussi le nombre dérivé en ce point. Les autres propositions sont incorrectes : la première décrit une sécante quelconque, la troisième mélange notions, et la quatrième évoque une droite perpendiculaire, ce qui n'est pas lié à la définition de la tangente.

Explication

La notion de nombre dérivé a été formellement introduite au début du XIXe siècle, notamment par Augustin-Louis Cauchy, qui a systématisé la définition rigoureuse de la dérivée en utilisant la limite du taux de variation.

Explication

La fonction dérivée en un point est la limite du taux de variation entre deux points lorsque ces points se rapprochent, ce qui en fait une limite locale, alors que le taux de variation est une moyenne entre deux points donnés. La différence réside dans le fait que la dérivée est une limite, tandis que le taux de variation est une valeur moyenne.

Explication

Augustin-Louis Cauchy est crédité d'avoir formalisé la notion de limite du taux de variation comme fondement de la dérivabilité d'une fonction, en introduisant la définition rigoureuse de la limite du taux de variation comme nombre dérivé.

Explication

La limite du coefficient directeur des sécantes lorsque M tend vers A, si elle existe, définit la pente de la tangente à la courbe en A. C'est la définition du nombre dérivé en ce point, ce qui établit un lien direct entre la limite du taux de variation (cause) et la pente de la tangente (effet).

Explication

La dérivée en un point est définie comme la limite du taux de variation $rac{f(x)-f(a)}{x-a}$ lorsque x tend vers a. C'est cette limite qu'il faut calculer pour appliquer la définition de la dérivée.

Explication

La caractéristique principale de la dérivée d'une fonction puissance f(x) = x^n est qu'elle est donnée par la formule nx^{n−1}, ce qui est une règle fondamentale en calcul différentiel pour ces fonctions.

Explication

La non-dérivabilité en un point se manifeste lorsque la limite du taux de variation n'existe pas ou n'est pas finie, comme c'est le cas pour la fonction valeur absolue en 0, où la limite à gauche et à droite diffèrent.