Fondamentaux de la dérivation en analyse

📋 Plan du Cours

1. Taux de variation
2. Dérivabilité
3. Tangente et sécante
4. Nombre dérivé
5. Fonction dérivée
6. Limite du taux de variation
7. Coefficient directeur
8. Calcul de dérivées
9. Dérivées de fonctions usuelles
10. Non-dérivabilité

📖 1. Taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation de la fonction $f$ entre deux points $a$ et $b$ est défini par la formule $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Il représente la pente de la droite sécante passant par les points $A(a, f(a))$ et $B(b, f(b))$ sur la courbe $Cf$.
• Interprétation graphique : Le taux de variation correspond au coefficient directeur de la droite sécante (AB). Plus $a$ et $b$ sont proches, plus cette sécante se rapproche de la tangente en $A$.
• Lien avec la croissance/décroissance : Si $f$ est croissante sur $I$, alors le taux de variation entre $a$ et $b$ est positif. Si $f$ est décroissante, alors ce taux est négatif. (Proposition) : Si $f$ est croissante sur $I$, alors $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} > 0$. Si décroissante, alors $\frac{f(b) - f(a)}{b - a} < 0$.
• Fonction affine : Si $f(x) = mx + p$, alors le taux de variation entre deux points est constant et égal à $m$.

📝 Points essentiels