Fiche de révision : Fondamentaux mathématiques en biologie

📋 Plan du Cours

1. Système international et unités biologiques
2. Préfixes et conversions d’unités
3. Concentrations et dilutions
4. Proportionnalité et règle de trois
5. Calculs de rendement biologique
6. Pourcentages en laboratoire
7. Formaliser un problème biologique
8. Exploiter des données expérimentales

📖 1. Système international et unités biologiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Système International d’unités : système de mesure officiel et universel utilisé par la quasi-totalité des scientifiques dans le monde

📝 Points essentiels

• Le SI repose sur sept unités de base:
  • le mètre (m) pour la longueur
  • le kilogramme (kg) pour la masse
  • la seconde (s) pour le temps
  • l’ampère (A) pour le courant électrique
  • le kelvin (K) pour la température
  • la mole (mol) pour la quantité de matière
  • la candela (cd) pour l’intensité lumineuse

💡 Astuce mémo

Les 7 unités de base : m, kg, s, A, K, mol, cd.

📖 2. Préfixes et conversions d’unités

🔑 Notions clés & Définitions

• Préfixe d’unité : multiplication ou division d’une unité de base par une puissance de 10 afin d’éviter d’écrire trop de zéros

★ À maîtriser

• Pour convertir une unité, on multiplie la mesure par un facteur de conversion égal à 1 et construit pour que l’unité de départ s’annule.

📌 Pour une surface ou un volume, le facteur de conversion doit être élevé respectivement au carré ou au cube : 1 cm² = 0,0001 m² et 1 cm³ = 0,000001 m³.

Compléments

• Une cellule mesure environ 10 à 100 μm, un virus 20 à 300 nm, une protéine 1 à 10 nm, la double hélice d’ADN environ 2 nm de diamètre et une bactérie a une masse de l’ordre du picogramme (pg).

💡 Astuce mémo

Longueur, surface et volume : le facteur est élevé à la puissance correspondante.

📖 3. Concentrations et dilutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Concentration massique : rapport de la masse de soluté sur le volume de solution, soit $C = \frac{m}{V}$, et s’exprime en g/L
• Concentration molaire : rapport de la quantité de matière sur le volume de solution, soit $C = \frac{n}{V}$, et s’exprime en mol/L, également noté M
• Dilution : Diluer consiste à ajouter du solvant pour diminuer une concentration sans changer la quantité de soluté, ce qui donne $C_1V_1 = C_2V_2$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le facteur de dilution vérifie $FD = \frac{V_f}{V_i} = \frac{C_i}{C_f}$, et le facteur total d’une dilution en cascade est le produit des facteurs de chaque étape.

Compléments

• Pour préparer 20 L à 200 mg/L à partir d’un stock à 800 mg/L, il faut utiliser 5 L de solution stock et ajouter 15 L d’eau de mer.

💡 Astuce mémo

Ajouter du solvant diminue la concentration, mais conserve la quantité de soluté.

📖 4. Proportionnalité et règle de trois

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportionnalité : Deux grandeurs x et y sont proportionnelles s’il existe un coefficient constant k tel que $y = kx$, avec $k = \frac{y}{x}$ constant.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si a correspond à b et c correspond à l’inconnue x, le produit en croix donne $x = \frac{bc}{a}$.

Compléments

• Une solution à 100 g/L contient 25 g de soluté dans 250 mL, car $x = \frac{100 \times 0{,}25}{1} = 25$ g.

💡 Astuce mémo

Identifier la correspondance, convertir les unités, puis effectuer le produit en croix.

📖 5. Calculs de rendement biologique

🔑 Notions clés & Définitions

• Rendement : Le rendement compare la quantité réellement obtenue à la quantité théorique attendue selon $R(\%) = \frac{\text{quantité obtenue}}{\text{quantité théorique}} \times 100$.

📝 Points essentiels

📌 Un rendement de 100 % est un maximum théorique rarement atteint en pratique, car les procédés comportent presque toujours des pertes ou des imperfections techniques.

• Si une purification fournit 150 kg d’anticorps au lieu des 200 kg théoriques attendus, son rendement est de 75 %.

💡 Astuce mémo

Quantité obtenue ≠ quantité théorique : le rendement mesure l’écart entre les deux.

📖 6. Pourcentages en laboratoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : fraction sur 100, sans dimension ni unité, et x % équivaut à $\frac{x}{100}$

★ À maîtriser

📌 Les pourcentages massique, volumique et masse-volume se distinguent par leur rapport : %m/m = masse de soluté sur masse totale, %v/v = volume de soluté sur volume total et %m/v = masse de soluté en grammes sur volume total en millilitres, le tout multiplié par 100.

📌 Lorsque plusieurs pourcentages s’appliquent successivement, ils ne s’additionnent pas : chaque pourcentage s’applique au résultat de l’étape précédente.

Compléments

• Pour 500 kg de biomasse contenant 30 % de lipides et transformée avec un rendement de 85 %, on obtient 127,5 kg de biodiesel.

💡 Astuce mémo

%m/m, %v/v et %m/v n’ont pas les mêmes grandeurs au numérateur et au dénominateur.

📖 7. Formaliser un problème biologique

★ À maîtriser

• 🔄 Pour traduire un problème biologique en équation:

  1. identifier exactement l’inconnue
  2. lui attribuer un nom
  3. traduire la relation donnée en équation
  4. vérifier la relation avec la situation

• Pour résoudre une équation du premier degré, il faut isoler l’inconnue en effectuant la même opération sur les deux côtés de l’égalité.

Compléments

• Avec un taux de germination-survie de 60 % et un objectif de 3000 plants, l’équation $0{,}60N = 3000$ donne $N = 5000$ graines à semer.

💡 Astuce mémo

Inconnue → relation → équation → résolution → vérification des unités.

📖 8. Exploiter des données expérimentales

★ À maîtriser

• Pour exploiter une donnée expérimentale, il faut repérer la valeur utile, vérifier son unité et la combiner correctement avec les autres informations de l’énoncé.

📌 Les unités doivent toujours être vérifiées avant un calcul afin de ne pas mélanger des valeurs comme mg et g ou mL et L.

Compléments

• Si une droite d’étalonnage donne $C = 15A$ et qu’un échantillon présente une absorbance de 0,42, sa concentration en chlorophylle est de 6,3 μg/L.

💡 Astuce mémo

Une mesure correctement identifiée et convertie permet d’obtenir une grandeur biologique calculée.

📊 Tableaux de synthèse

Types de concentrations en laboratoire