Fiche de révision : Forme canonique du second degré

📋 Plan du Cours

1. Polynôme du second degré
2. Compléter le carré
3. Formule générale canonique
4. Applications et exemples

📖 1. Polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : fonction définie sur R par f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont trois réels et a ≠ 0.
• Forme développée : La forme f(x) = ax² + bx + c est appelée la forme développée d’un polynôme du second degré.

📝 Points essentiels

• Dans f(x) = 5x² − 4x + 1, les coefficients sont a = 5, b = −4 et c = 1.

• Dans h(x) = x² + 5, on écrit h(x) = 1x² + 0x + 5, donc a = 1, b = 0 et c = 5.

💡 Astuce mémo

Le terme en x² distingue le second degré de la fonction affine

📖 2. Compléter le carré

📝 Points essentiels

• Pour obtenir la forme canonique d’un polynôme, on factorise d’abord par a, on complète ensuite le carré avec une identité remarquable, puis on remplace et on simplifie l’expression.

📐 Formule — L’identité remarquable utilisée est $x² + 2px + p² = (x + p)²$.

• Pour f(x) = 2x² − 16x + 14, on obtient f(x) = 2(x − 4)² − 18, avec α = 4 et β = −18.

💡 Astuce mémo

Factoriser → compléter le carré → remplacer → simplifier

📖 3. Formule générale canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Tout polynôme du second degré f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0, peut s’écrire sous la forme canonique f(x) = a(x − α)² + β.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour f(x) = ax² + bx + c, on a $α = -\frac{b}{2a}$ et $β = f(α) = \frac{4ac - b²}{4a}$.

• Le point de coordonnées (α, β) est le sommet de la parabole représentative de la fonction du second degré.

Compléments

• Pour f(x) = −2x² − 8x + 11, on obtient α = 2, β = 19 et f(x) = −2(x − 2)² + 19.

💡 Astuce mémo

Identifier a, b, c → calculer α et β → obtenir le sommet

📖 4. Applications et exemples

📝 Points essentiels

• La forme canonique peut être déterminée soit par la méthode de complément du carré, soit en calculant α puis β = f(α).

📊 Tableaux de synthèse

Formes d’un polynôme du second degré