QCM : Forme canonique du second degré — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition distingue un polynôme du second degré d’une fonction affine ?

Son expression ne contient pas de terme constant
Son coefficient constant est nécessairement positif
Son coefficient de x2x^2 est non nul
Son coefficient de xx est toujours différent de zéro

Son coefficient de $$x^2$$ est non nul

Explication

Un polynôme du second degré s’écrit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\neq 0, ce qui garantit la présence d’un terme quadratique. Une fonction affine ne possède pas de terme en x2x^2, mais son coefficient constant peut être quelconque.

2. Dans l’expression f(x)=5x2−4x+1f(x)=5x^2-4x+1, quelles sont les valeurs des coefficients associés à la forme développée ?

a=5a=5, b=−4b=-4 et c=1c=1
a=5a=5, b=4b=4 et c=−1c=-1
a=−4a=-4, b=5b=5 et c=1c=1
a=1a=1, b=−4b=-4 et c=5c=5

$$a=5$$, $$b=-4$$ et $$c=1$$

Explication

En comparant l’expression à ax2+bx+cax^2+bx+c, on identifie le coefficient de x2x^2 à 55, celui de xx à −4-4 et le terme constant à 11. La confusion fréquente consiste à prendre le terme constant pour le coefficient linéaire.

3. Dans quel ordre les opérations sont-elles effectuées pour obtenir la forme canonique d’un polynôme du second degré ?

Simplifier l’expression, développer le carré, puis factoriser par aa
Factoriser par aa, compléter le carré, puis remplacer et simplifier
Remplacer par la forme canonique, développer, puis factoriser par aa
Compléter le carré, factoriser par aa, puis développer l’expression

Factoriser par $$a$$, compléter le carré, puis remplacer et simplifier

Explication

La méthode commence par la factorisation par aa, se poursuit avec le complément du carré, puis se termine par le remplacement et la simplification. Inverser la factorisation et le complément du carré ne respecte pas cette procédure.

4. Quelle identité remarquable permet de compléter le carré dans une expression comportant le terme linéaire 2px2px ?

x2+px+p=(x+p)2x^2+px+p=(x+p)^2
x2+p2=(x+p)2x^2+p^2=(x+p)^2
x2+2px+p2=(x+p)2x^2+2px+p^2=(x+p)^2
x2+2p+p2=(x+2p)2x^2+2p+p^2=(x+2p)^2

$$x^2+2px+p^2=(x+p)^2$$

Explication

L’identité correcte ajoute le terme p2p^2 au trinôme x2+2pxx^2+2px pour obtenir le carré (x+p)2\left(x+p\right)^2. Le terme ajouté est donc le carré de pp, et non le terme linéaire 2px2px.

5. Quelle forme canonique obtient-on pour f(x)=2x2−16x+14f(x)=2x^2-16x+14 ?

f(x)=2(x+8)2−14f(x)=2(x+8)^2-14
f(x)=2(x−4)2−18f(x)=2(x-4)^2-18
f(x)=2(x+4)2−18f(x)=2(x+4)^2-18
f(x)=2(x−4)2+18f(x)=2(x-4)^2+18

$$f(x)=2(x-4)^2-18$$

Explication

Après factorisation et complément du carré, on obtient f(x)=2(x−4)2−18f(x)=2(x-4)^2-18, donc α=4\alpha=4 et β=−18\beta=-18. Le signe dans le carré et la constante finale doivent tous deux être conservés lors de la simplification.

6. Quelle forme peut prendre tout polynôme du second degré f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\neq0 ?

f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta
f(x)=(ax−b)2+cf(x)=(ax-b)^2+c
f(x)=α(x−a)2+βf(x)=\alpha(x-a)^2+\beta
f(x)=a(x−α)+β2f(x)=a(x-\alpha)+\beta^2

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$

Explication

Tout polynôme du second degré peut être réécrit sous la forme canonique a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta, qui conserve le coefficient quadratique aa. Les autres expressions ne constituent pas la forme canonique générale associée aux coefficients initiaux.

7. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\neq0, quelles formules donnent les paramètres de la forme canonique ?

α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et β=f(α)=4ac−b24a\beta=f(\alpha)=\frac{4ac-b^2}{4a}
α=a2b\alpha=\frac{a}{2b} et β=f(α)=4a+b24c\beta=f(\alpha)=\frac{4a+b^2}{4c}
α=−ba\alpha=-\frac{b}{a} et β=f(α)=4ac−b4a\beta=f(\alpha)=\frac{4ac-b}{4a}
α=b2a\alpha=\frac{b}{2a} et β=f(−α)=4ac+b24a\beta=f(-\alpha)=\frac{4ac+b^2}{4a}

$$\alpha=-\frac{b}{2a}$$ et $$\beta=f(\alpha)=\frac{4ac-b^2}{4a}$$

Explication

L’abscisse canonique est α=−b2a\alpha=-\frac{b}{2a} et l’ordonnée correspondante est β=f(α)=4ac−b24a\beta=f(\alpha)=\frac{4ac-b^2}{4a}. Il faut évaluer la fonction en α\alpha, et non en −α-\alpha.

8. Que représentent les coordonnées (α,β)(\alpha,\beta) dans la parabole d’un polynôme du second degré écrit sous forme canonique ?

Les coordonnées du sommet de la parabole
Les coordonnées du point d’intersection avec l’axe des ordonnées
Les coordonnées du milieu des deux racines de la fonction
Les coordonnées d’une racine réelle de la fonction

Les coordonnées du sommet de la parabole

Explication

Dans la forme f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, le point (α,β)(\alpha,\beta) est le sommet de la parabole. La valeur α\alpha est son abscisse et β\beta son ordonnée, tandis que les intersections avec les axes dépendent des racines et de la valeur de cc.

9. Pour déterminer la forme canonique d’une fonction quadratique, quelles sont les deux méthodes possibles ?

Compléter le carré ou calculer α\alpha puis β=f(α)\beta=f(\alpha)
Dériver l’expression ou calculer α\alpha puis β=f(β)\beta=f(\beta)
Développer le carré ou calculer α\alpha puis β=f(β)\beta=f(\beta)
Factoriser l’expression ou calculer β\beta puis α=f(β)\alpha=f(\beta)

Compléter le carré ou calculer $$\alpha$$ puis $$\beta=f(\alpha)$$

Explication

La forme canonique peut être obtenue par complément du carré ou en calculant α\alpha, puis β=f(α)\beta=f(\alpha). Le calcul de β\beta repose donc sur l’évaluation de la fonction en α\alpha, et non sur une évaluation en β\beta.

10. Quelle démarche applique-t-on lorsqu’on détermine β\beta à partir de α\alpha pour obtenir la forme canonique ?

On remplace β\beta dans la fonction afin de retrouver α=f(β)\alpha=f(\beta)
On évalue la fonction en α\alpha afin d’obtenir β=f(α)\beta=f(\alpha)
On dérive la fonction en α\alpha afin d’obtenir β=f′(α)\beta=f'(\alpha)
On factorise la fonction par α\alpha afin d’obtenir β=αf(α)\beta=\alpha f(\alpha)

On évalue la fonction en $$\alpha$$ afin d’obtenir $$\beta=f(\alpha)$$

Explication

Dans cette méthode, on calcule d’abord α\alpha, puis on évalue la fonction à cette valeur pour obtenir β=f(α)\beta=f(\alpha). Le complément du carré constitue une autre méthode, mais il ne correspond pas à cette étape d’évaluation.

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Qu'est-ce qu'un polynôme du second degré ?

Une fonction définie par f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0.

Comment s'appelle la forme f(x) = ax² + bx + c d'un polynôme du second degré ?

La forme développée.

Quels sont les coefficients dans f(x) = 5x² − 4x + 1 ?

a = 5, b = −4 et c = 1.

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