Fiche de révision : Fractions et objets géométriques

📋 Plan du Cours

1. Pourcentages et proportions
2. Comparer des fractions
3. Fractions égales
4. Représenter une fraction
5. Objets géométriques de base
6. Distance et milieu

📖 1. Pourcentages et proportions

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : Fraction dont le dénominateur est 100.

★ À maîtriser

• Dire qu’un yaourt contient 13 % de matières grasses signifie qu’il contient 13 g de matières grasses pour 100 g de yaourt.

Compléments

📐 Formule - Les égalités usuelles sont $15\% = \frac{15}{100}$, $50\% = \frac{50}{100} = \frac{1}{2}$ et $25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

• Dans une classe de 6e2, la proportion d’élèves portant des lunettes est $\frac{8}{23}$, car 8 élèves sur 23 portent des lunettes.

📐 Formule - Les relations de référence sont $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$, $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$, $\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1$, $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$, $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ et $\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.

📖 2. Comparer des fractions

★ À maîtriser

📌 Quand deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.

📌 Quand deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur.

Compléments

• Pour comparer deux fractions sans numérateur ni dénominateur communs, on peut les comparer à 1.

• Comme $\frac{6}{7}<1$ et $\frac{13}{9}>1$, on en déduit que $\frac{6}{7}<\frac{13}{9}$.

💡 Astuce mémo

Même numérateur : le plus petit dénominateur gagne ; même dénominateur : le plus grand numérateur gagne.

📖 3. Fractions égales

🔑 Notions clés & Définitions

• Fractions égales : Des fractions sont égales quand on peut multiplier leur numérateur et leur dénominateur par le même nombre.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Les fractions $\frac{2}{3}$ et $\frac{6}{9}$ sont égales.

📐 Formule - Les écritures $\frac{1{,}2}{5}$ et $\frac{12}{50}$ représentent des fractions égales.

📖 4. Représenter une fraction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction : Une fraction représente un partage en parts égales ; dans 3/4, 3 est le numérateur et 4 est le dénominateur.

★ À maîtriser

• Pour placer 7/3 sur une demi-droite graduée, on partage chaque unité en 3 parts égales, puis on compte 7 parts de 1/3.

📌 Si le numérateur est inférieur au dénominateur, la fraction est inférieure à 1 ; s’il lui est supérieur, la fraction est supérieure à 1 ; s’ils sont égaux, la fraction vaut 1.

Compléments

• Les fractions usuelles se lisent notamment:
  • un demi
  • deux tiers
  • un quart
  • trois cinquièmes

📐 Formule - La fraction $\frac{7}{3}$ se décompose en $\frac{7}{3}=2+\frac{1}{3}$ et est encadrée par $2<\frac{7}{3}<3$.

💡 Astuce mémo

Partager l’unité en parts égales, compter les parts, puis placer la fraction.

📖 5. Objets géométriques de base

🔑 Notions clés & Définitions

• Segment : Portion de droite limitée par deux extrémités et dont la longueur peut être mesurée.
• Droite : Ligne infinie passant par deux points.
• Alignement : Des points sont alignés s’ils appartiennent à une même droite.
• Demi-droite : Ligne infinie d’origine L passant par le point T et se notant [LT).

📝 Points essentiels

• Un point est nommé avec une petite lettre majuscule.

• Le symbole ∈ signifie « appartient à », tandis que le symbole ∉ signifie « n’appartient pas à ».

💡 Astuce mémo

La droite et la demi-droite sont infinies, tandis que le segment possède deux extrémités et une longueur mesurable.

📖 6. Distance et milieu

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance entre deux points : Longueur du segment reliant ces deux points, c’est-à-dire la distance la plus courte entre eux.
• Milieu d’un segment : Point appartenant au segment et situé à la même distance de ses deux extrémités.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si M est le milieu de [AB], alors $M\in[AB]$ et $MA=MB$.

Compléments

• La distance entre A et B se note AB et, dans l’exemple du cours, $AB=2{,}5\text{ cm}$.

• Les droites et les demi-droites sont infinies et n’ont donc pas de milieu.

• La géométrie étudiée au collège est fondée sur la géométrie euclidienne d’Euclide, mathématicien grec qui aurait vécu à Alexandrie au 3e siècle avant J.-C.

💡 Astuce mémo

La distance mesure le segment reliant deux points ; le milieu partage ce segment en deux longueurs égales.

📊 Tableaux de synthèse

Objets géométriques de base