QCM : Géométrie dans l'espace: notions essentielles — 18 questions

Explication

Dans un repère orthonormé, les coordonnées de M sont précisément les coefficients de décomposition de OM sur i, j et k. Les vecteurs i, j et k sont unitaires et perpendiculaires deux à deux.

Explication

Le milieu d’un segment a pour coordonnées la moyenne de celles des deux extrémités, composante par composante. La différence coordonnée par coordonnée correspond plutôt au vecteur AB.

Explication

Trois vecteurs sont coplanaires si l’un d’eux se décompose comme combinaison linéaire des deux autres. La colinéarité n’est qu’un cas particulier plus restrictif.

Explication

Multiplier un vecteur par un réel revient à multiplier chacune de ses coordonnées par ce réel. C’est la règle de base du calcul vectoriel en coordonnées.

Explication

La norme d’un vecteur est sa longueur, calculée par la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées. C’est la même formule que pour la distance via le vecteur AB.

Explication

Deux vecteurs sont perpendiculaires exactement quand leur produit scalaire vaut 0. L’égalité des normes ou la colinéarité ne suffit pas à conclure.

Explication

Un vecteur normal est orthogonal à tous les vecteurs contenus dans le plan. Il sert notamment à écrire une équation cartésienne du plan.

Explication

Dans l’équation ax + by + cz + d = 0, le vecteur (a, b, c) est normal au plan. Le terme d se détermine ensuite en remplaçant par les coordonnées d’un point du plan.

Explication

Une droite paramétrique s’écrit à partir d’un point de la droite et d’un vecteur directeur, avec un même paramètre t dans les trois coordonnées. C’est la forme standard en géométrie de l’espace.

Explication

Si le produit scalaire entre le vecteur directeur u de la droite et le vecteur normal n du plan est nul, la direction de la droite est parallèle au plan. Il faut ensuite vérifier si un point de la droite appartient au plan pour distinguer parallèle et incluse.

Explication

La distance point-plan s’obtient par la valeur absolue de l’expression du plan, divisée par la norme du vecteur normal. La racine porte sur la somme des carrés de a, b et c, pas sur le point M.

Explication

Quand la distance du centre au plan vaut exactement le rayon, le plan touche la sphère en un seul point : il est tangent. Si la distance est inférieure au rayon, le plan coupe la sphère en un cercle.

Explication

L’angle entre deux droites se calcule à partir du produit scalaire, avec la valeur absolue pour obtenir un angle aigu. Les autres expressions ne correspondent pas à la formule demandée.

Explication

Pour un angle droite-plan, on utilise le sinus avec le vecteur normal du plan. La formule en cosinus concerne plutôt l’angle entre deux vecteurs, pas entre une droite et un plan.

Explication

Avec trois points, on construit deux vecteurs du plan, par exemple AB et AC, puis on cherche un vecteur normal pour écrire l’équation cartésienne. Le milieu ou une simple distance ne suffisent pas à déterminer le plan.

Explication

Un plan est tangent à une sphère lorsque la distance entre le centre et le plan est exactement égale au rayon. Si cette distance est inférieure, le plan coupe la sphère en un cercle.

Explication

Un point appartient à une droite paramétrique seulement si les trois équations donnent le même paramètre t. Si les valeurs de t diffèrent, le point n’est pas sur la droite.

Explication

Le produit scalaire nul entre le vecteur directeur de la droite et le normal du plan montre seulement le parallélisme. Pour conclure à l’inclusion, il faut encore vérifier qu’un point de la droite appartient bien au plan.