z = ρ (cos α + i sin α)
Explication
La forme trigonométrique d’un nombre complexe z s’écrit z = ρ (cos α + i sin α), où ρ est le module de z et α son argument principal. Elle permet de représenter z en fonction de sa distance au centre et de l’angle qu’il forme avec l’axe réel.
arg(z) = arctan(b/a) ou par résolution géométrique
Explication
L'argument d'un nombre complexe z = a + ib peut être trouvé par la relation arg(z) = arctan(b/a), en tenant compte du quadrant. La réponse correcte mentionne aussi la méthode géométrique. Les autres options ne prennent pas en compte la totalité ou sont incorrectes.
En utilisant la formule arg(z) = arctan(ℑ(z)/ℜ(z)) dans [-π, π]
Explication
L’argument principal arg(z) se calcule souvent par la formule arg(z) = arctan(ℑ(z)/ℜ(z)), en ajustant la valeur pour qu’elle soit dans l’intervalle [-π, π]. Il représente l’angle orienté entre le vecteur z et l’axe réel.
z = ρ (cos α + i sin α), lien avec la formule d’Euler est que e^{iα} = cos α + i sin α
Explication
La forme exponentielle de z = ρ e^{iα} utilise la formule d’Euler, qui établit que e^{iα} = cos α + i sin α, permettant ainsi une représentation rapide des puissances et racines. Les autres options confondent ou ne mentionnent pas cette relation essentielle.
z = ρ e^{iα}
Explication
La forme exponentielle d’un nombre complexe z s’écrit z = ρ e^{iα}, où ρ est le module de z et α son argument principal. Elle est particulièrement utile pour effectuer des opérations comme la multiplication ou la racine n-ième.
Elle est nulle
Explication
La somme des racines n-ièmes de l’unité est nulle, car elles forment un polygone régulier inscrit dans le cercle unité, et leur vecteur somme est nul. Cela repose sur une propriété fondamentale en théorie des nombres complexes.
Le module du produit est le produit des modules, et l’argument est la somme des arguments
Explication
La multiplication de deux nombres complexes en forme trigonométrique ou exponentielle multiplie leurs modules et additionne leurs arguments, ce qui est une propriété clé dans la manipulation des nombres complexes.
z^n = cos nα + i sin nα
Explication
La formule de Moivre stipule que (cos α + i sin α)^n = cos nα + i sin nα, ce qui facilite le calcul des puissances, en utilisant simplement la trigonométrie. Elle est essentielle dans le traitement des nombres complexes en forme trigonométrique.
La longueur du vecteur du point M(a, b) à l’origine
Explication
Le module |z| représente la distance du point M(a, b) à l’origine dans le plan, ce qui correspond à la norme ou longueur du vecteur formé par z.
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Nombre complexe — définition ?
Expression a + ib avec a, b réels
Nombre complexe — définition?
$z = a + ib$, avec $a,b$ réels.
Module |z| — signification ?
Distance du point à l’origine
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