Fiche de révision : Géométrie, fonctions et suites fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Produit scalaire et angles
2. Produit scalaire par coordonnées
3. Orthogonalité et colinéarité
4. Fonctions polynômes du second degré
5. Équations et tableaux de signe
6. Fonctions affines et proportionnalité
7. Dérivation et tangentes
8. Variations et optimisation
9. Probabilités conditionnelles
10. Suites numériques

📖 1. Produit scalaire et angles

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est un réel défini à partir des normes et du cosinus de l’angle entre eux.
• Vecteurs colinéaires de même sens : Deux vecteurs colinéaires de même sens ont un angle nul, ce qui rend leur produit scalaire égal au produit de leurs normes.
• Vecteurs colinéaires de sens contraire : Deux vecteurs colinéaires de sens contraire ont un angle égal à π, ce qui rend leur produit scalaire l’opposé du produit de leurs normes.
• Vecteurs orthogonaux : Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire vaut 0.

📝 Points essentiels

• Pour deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$, on a $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos(\vec u;\vec v)$.
• Si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires de même sens, alors $\cos(0)=1$ et $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|$.
• Si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires de sens contraire, alors $\cos(\pi)=-1$ et $\vec u\cdot\vec v=-\|\vec u\|\,\|\vec v\|$.
• Si $\vec u\cdot\vec v=0$, alors les vecteurs sont orthogonaux.
• Pour trouver l’angle entre deux vecteurs, on utilise $\cos(\vec u;\vec v)=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|}$ puis on déduit la mesure en degrés.
• Exemple-type : avec $\|\vec u\|=5$, $\|\vec v\|=\sqrt3$ et un angle de $135^\circ$, on obtient $\vec u\cdot\vec v=5\sqrt3\cos(135^\circ)=-\dfrac{5\sqrt3}{2}$.

💡 Astuce mémo

Colinéaire : même sens → $\cos(0)=1$ (produit positif), sens contraire → $\cos(\pi)=-1$ (produit opposé).

📖 2. Produit scalaire par coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé : Un repère orthonormé est un repère du plan où les axes sont perpendiculaires et de même unité de longueur.
• Vecteurs de coordonnées : Deux vecteurs $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y')$ sont décrits par leurs coordonnées dans un même repère orthonormé.
• Produit scalaire par coordonnées : Le produit scalaire de $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y')$ s’exprime directement à partir des coordonnées.

📝 Points essentiels

• Dans un repère orthonormé, si $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y')$, alors $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$.
• La norme d’un vecteur $\vec u(x;y)$ dans un repère orthonormé vaut $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}$.

💡 Astuce mémo

Dot-product = somme des produits “x avec x’” puis “y avec y’” : $xx'+yy'$.

📖 3. Orthogonalité et colinéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur normal : Un vecteur normal à une droite est un vecteur orthogonal à tout vecteur directeur de cette droite.
• Colinéarité de vecteurs : Des vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction, ce qui revient à ce que l’un soit un multiple de l’autre.

📝 Points essentiels

• Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u·v=0.
• Si n est un vecteur normal à une droite (AB), alors une équation de cette droite s’écrit sous la forme nx+ny+c=0, où c se détermine en imposant un point de la droite.
• Le projeté orthogonal de O sur une droite (AB) est le point H qui vérifie à la fois H∈(AB) et OH ⟂ AB, donc OH·AB=0.
• Pour deux vecteurs de coordonnées u et v en dimension 2, l’équivalence det(u,v)=0 ⇔ u et v colinéaires permet de trouver les valeurs de x.
• Dans le cas donné, det(u,v)=2x^2−4x−6 conduit à x∈{−1;3} pour la colinéarité des vecteurs u⃗ et v⃗.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire nul = 90° : orthogonalité ; déterminant nul = même direction : colinéarité.

📖 4. Fonctions polynômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré est une fonction définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme s’écrit $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
• Discriminant : Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est le réel $\Delta=b^2-4ac$.
• Sommet de la parabole : Le sommet d’une parabole est le point $S(\alpha;\beta)$ où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

📝 Points essentiels

• Le sommet a pour abscisse $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et pour ordonnée $\beta=f(\alpha)$, et l’axe de symétrie est la droite $x=\alpha$.
• Si $a>0$, la fonction est décroissante puis croissante et admet un minimum au sommet, alors que si $a<0$ elle est croissante puis décroissante et admet un maximum au sommet.
• Pour résoudre $ax^2+bx+c=0$, si $\Delta<0$ alors il n’y a aucune solution réelle.
• Pour $\Delta=0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet une racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$.
• Pour $\Delta>0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux racines $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ et le trinôme se factorise en $a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Pour étudier le signe : si $\Delta<0$ le trinôme garde le signe de $a$ ; si $\Delta=0$ il s’annule une seule fois en $x_0$ ; si $\Delta>0$ il a le signe de $a$ à l’extérieur des racines et le signe opposé entre les racines.

💡 Astuce mémo

Δ = b² − 4ac : signe des solutions via Δ (− : aucune, 0 : double, + : deux).

📖 5. Équations et tableaux de signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation : Une inéquation est une condition portant sur une expression avec un signe <, ≤, > ou ≥, à résoudre dans un ensemble de nombres donné.
• Tableau de signe : Un tableau de signe récapitule le signe d’une expression sur les intervalles séparés par ses valeurs où elle s’annule ou s’interdit.
• Fraction rationnelle : Une fraction rationnelle est une expression du type frac{N(x)}{D(x)} dont le signe dépend du numérateur et du dénominateur, en excluant les zéros du dénominateur.

📝 Points essentiels

• Résoudre une inéquation du type $f(x)\leq c$ revient à déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)-c$ est négatif ou nul.
• Pour $f(x)=-x^2+10$, l’inéquation $f(x)\leq 5$ équivaut à $x^2\geq 5$, donc à $x\leq-\sqrt5$ ou $x\geq\sqrt5$.
• Pour une fraction $\u001dfrac{N(x)}{D(x)}$, on exclut les $x$ tels que $D(x)=0$, puis on déduit le signe à partir des signes de $N(x)$ et $D(x)$.
• Pour $\u001dfrac{-2x^2+5x+3}{2x}$, les valeurs interdites viennent de $2x=0$ donc $x\neq 0$, et les changements de signe viennent des racines du numérateur $-2x^2+5x+3$ qui sont $x=-0,5$ et $x=3$.
• L’inéquation $x^2>4$ équivaut à $x<-2$ ou $x>2$.
• Un produit $a(x-x_1)(x-x_2)$ est du signe de $a$ en dehors des racines et du signe opposé à l’intérieur (avec $x\neq x_1,x_2$ quand l’inéquation est stricte).

💡 Astuce mémo

Racines = frontières : on découpe la droite en intervalles et on attribue le signe à chaque intervalle selon le numérateur et le dénominateur.

📖 6. Fonctions affines et proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine a la forme $f(x)=ax+b$, où $a$ est le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine.
• Proportionnalité : Une situation de proportionnalité relie une grandeur à une autre par une multiplication par un coefficient constant.
• Pourcentage comme coefficient : Un pourcentage correspond à un multiplicateur, par exemple une baisse de $t\%$ multiplie par $1-\dfrac{t}{100}$.

📝 Points essentiels

• Une baisse de 20% transforme un prix $P$ en $0,8P$ (par ex. 250€ devient 200€).
• Multiplier un prix par 0,975 revient à le faire baisser de 2,5% car $0,975=1-\dfrac{2,5}{100}$.
• Une hausse de 10% puis une baisse de 10% multiplie le prix par $1,1\times0,9=0,99$, donc le prix final est inférieur au prix initial.
• Si une moyenne se met sous la forme $m=\dfrac{S(x)}{x+3}$ avec $S(x)$ affine, résoudre $m=15$ revient à résoudre une équation affine sur $x$; ici cela donne $x=19$.
• Dans la question sur le prix initial 250€ puis diminution de 20%, la bonne réponse est 200€ (choix b).

💡 Astuce mémo

Pour les % : hausse ×(1+t/100), baisse ×(1−t/100), et deux suites de % se multiplient entre elles (ex. 1,1×0,9=0,99).

📖 7. Dérivation et tangentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : La dérivée d’une fonction en un point mesure le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point.
• Tangente horizontale : Une tangente horizontale est une tangente dont le coefficient directeur est nul, donc la dérivée du point concerné vaut 0.
• Produit de fonctions : Lorsqu’une fonction s’écrit comme un produit, sa dérivée se calcule en combinant les dérivées des deux facteurs.

📝 Points essentiels

• Si la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $2$ est horizontale, alors $f'(2)=0.
• Sur le graphique, l’inéquation $f'(x)<0$ correspond aux valeurs de $x$ pour lesquelles $f$ décroît, soit $x\in]-2{,}5;2[$.
• Pour $f(x)=(4x^2-14x+8)e^{0,5x}$ sur $[-5;3]$, on a $f'(x)=(2x^2+x-10)e^{0,5x}$ sur $[-5;3]$.
• Comme $e^{0,5x}>0$ pour tout réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui du polynôme $P(x)=2x^2+x-10$ sur $[-5;3]$.
• On obtient le tableau de variations de $f$ sur $[-5;3]$ à partir du signe de $f'(x)$ déterminé via le signe de $P(x)$.

📖 8. Variations et optimisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Bénéfice : Le bénéfice est la différence entre la recette et le coût, positive lorsque l’entreprise gagne de l’argent.
• Coût fixe : Le coût fixe est la partie du coût qui ne dépend pas de la quantité produite, et qui est supportée même si la production vaut 0.
• Recette : La recette est le montant total obtenu grâce aux ventes, calculée ici comme (prix unitaire) × (quantité vendue).

📝 Points essentiels

• Dans l’exercice, le coût est donné par $C(q)=0,05q^2+q+80$ (en milliers d’euros), donc le coût fixe vaut 80.
• Le prix unitaire est 6000EUR et $1$ millier d’euros vaut 1000EUR, donc 6000EUR = 6 milliers d’euros et la recette vaut $R(q)=6q$.
• Le bénéfice (en milliers d’euros) est $B(q)=R(q)-C(q)=-0,05q^2+5q-80$.
• Pour réaliser un bénéfice, on cherche $B(q)>0$, ce qui revient à résoudre $q^2-100q+1600<0$ dont les racines sont 20 et 80.
• Comme la production est bornée par $0\le q\le 100000$, l’entreprise doit produire avec $20<q<80$ pour avoir un bénéfice strict.

💡 Astuce mémo

Bénéfice B(q)=quadratique : ici elle est positive exactement entre les deux zéros, donc entre 20 et 80.

📖 9. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle d’un événement B sachant A est une probabilité calculée en supposant que A est déjà réalisé.
• Événements incompatibles : Des événements sont incompatibles quand leur intersection est vide, donc ils ne peuvent pas se produire ensemble.
• Indépendance de deux événements : Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l’un n’influence pas la probabilité de l’autre.

📝 Points essentiels

• Pour ℙ(A)≠0, la probabilité de B sachant A vaut $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
• On a $P_A(\overline{B})=1-P_A(B)$ pour toute probabilité conditionnelle définie par $A$.
• Si A et B sont incompatibles ($A\cap B=\varnothing$), alors $P_A(B)=0$.
• Si A et B sont indépendants, alors $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
• Si A et B sont indépendants et $P(A)\neq0$, alors $P_A(B)=P(B)$ et réciproquement $P_B(A)=P(A)$.
• À ne pas confondre : $P(A\cap B)$, $P_A(B)$ et $P_B(A)$ sont trois quantités distinctes.

💡 Astuce mémo

A d’abord réalisé : intersection au numérateur, probabilité de A au dénominateur ($P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$).

📖 10. Suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une liste de nombres indexés par un entier naturel, notée $(u_n)$.
• Terme d’une suite : Le terme $u_n$ est la valeur de la suite pour l’indice $n$.
• Formule explicite : Une formule explicite donne directement $u_n$ en fonction de $n$.
• Relation de récurrence : Une relation de récurrence exprime $u_{n+1}$ à partir de $u_n$.

📝 Points essentiels

• Si $u_n=2^n+3$, alors $u_0=4$, $u_1=5$ et $u_2=7$.
• Si $u_n=\dfrac{n+1}{2^n-3}$, alors $u_0=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac12$ et $u_{10}=\dfrac{11}{1024-3}$.
• Si $u_0=-5$ et $u_{n+1}=2u_n+1$, alors $u_1=-9$ et $u_2=-17$.
• Si $u_0=-5$ et $u_{n+1}=2u_n-\dfrac{2}{u_n-3}$, alors $u_1$ et $u_2$ se calculent en remplaçant successivement $n=0$ puis $n=1$ dans la définition.
• Pour une suite affine $u_{n+1}=au_n+b$, on obtient $u_{n+1}$ en appliquant d’abord le coefficient $a$ à $u_n$, puis en ajoutant $b$.
• Pour la ludothèque avec 100 jeux en 2019 et 5% donnés puis 10 achetés chaque année, si $u_n$ désigne le nombre de jeux en 2019+$n$, alors $u_{n+1}=0{,}95u_n+10$.

💡 Astuce mémo

Récurrence affine : $u_{n+1}=au_n+b$ = multiplier par $a$ puis ajouter $b$.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Produit scalaire selon l’angle (cas colinéaires et orthogonalité)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’angle nul des vecteurs colinéaires de même sens avec l’angle π : cela inverse le signe du produit scalaire.
2. Utiliser une mauvaise formule pour l’angle : oublier que cos(angle)= (u·v)/(‖u‖‖v‖) et donc ne pas vérifier degrés/radians.
3. Dire que u·v=0 implique des vecteurs colinéaires : u·v=0 caractérise l’orthogonalité, pas la colinéarité.
4. Raisonner sur le déterminant : confondre det(u,v)=0 (colinéarité) et u·v=0 (orthogonalité).
5. Prendre une droite définie par un vecteur normal n : l’équation est de la forme nx+ny+c=0, pas avec les coefficients inversés.
6. Pour Δ=0 sur un trinôme : croire qu’il y a deux racines simples au lieu d’une racine double x0=−b/(2a).
7. Dans une inéquation stricte, oublier que les racines sont des frontières et ne sont pas incluses (>, <) ou (≥, ≤) selon le cas.

✅ Checklist Examen

1. Calculer u·v avec u·v=‖u‖‖v‖cos( û ; v̂ ) lorsque normes et angle sont donnés.
2. Déduire le produit scalaire dans les cas colinéaires de même sens (angle 0) et de sens contraire (angle π), ainsi que l’orthogonalité (u·v=0).
3. Trouver l’angle entre deux vecteurs à partir de cos(angle)=(u·v)/(‖u‖‖v‖) puis donner une valeur en degrés.
4. Utiliser le produit scalaire par coordonnées dans un repère orthonormé : u(x;y)·v(x′;y′)=xx′+yy′ et ‖u‖=√(x²+y²).
5. Vérifier l’orthogonalité en dimension 2 via u·v=0 et la colinéarité via det(u,v)=0.
6. Écrire l’équation cartésienne d’une droite à partir d’un vecteur normal n : nx+ny+c=0 (et déterminer c avec un point).
7. Résoudre une inéquation du second degré par étude du signe : racines comme frontières et choix du strict/non strict selon l’inéquation.
8. Résoudre une équation ax²+bx+c=0 avec Δ : Δ<0 aucune solution réelle, Δ=0 racine double, Δ>0 deux racines.
9. Étudier une variation/optimisation avec une fonction de type bénéfice B(q)=R−C : résoudre B>0 et repérer l’intervalle de q pertinent.
10. Calculer une probabilité conditionnelle puis distinguer P(A∩B), P_A(B) et P_B(A) ; utiliser la formule P_A(B)=P(A∩B)/P(A).
11. Pour une suite numérique, appliquer la bonne formule : explicite un=f(n) ou récurrence (u_{n+1} à partir de u_n) ; en particulier la récurrence affine u_{n+1}=a u_n+b pour déterminer u_{n+1}.