QCM : Géométrie vectorielle dans le plan — 21 questions

Question 1

1. Quelle caractéristique distingue un vecteur d’un point dans le plan ?

Un vecteur possède une direction et une position, tandis qu’un point possède une norme et un sens

Un vecteur indique une position, tandis qu’un point possède une direction, un sens et une norme

Un vecteur possède une norme et une position, tandis qu’un point possède une direction et un sens

Un vecteur possède une direction, un sens et une norme, tandis qu’un point indique une position

Explication

Un vecteur est caractérisé par une direction, un sens et une norme, et peut être représenté à différents endroits du plan. La position est une caractéristique du point, pas du vecteur.

Answer

Un vecteur possède une direction, un sens et une norme, tandis qu’un point indique une position

Question 2

2. Comment appelle-t-on un vecteur de longueur nulle ?

Le vecteur nul, noté

\vec{0}

, qui n’a ni direction ni sens

Le vecteur unitaire, noté

\vec{u}

, qui possède une direction fixe

Le vecteur directeur, noté

\vec{d}

, qui indique le sens du déplacement

Le vecteur opposé, noté

-\vec{u}

, qui conserve une norme nulle

Explication

Un vecteur de norme nulle est le vecteur nul, noté $\vec{0}$ , et il n’a ni direction ni sens. Un vecteur unitaire possède au contraire une norme égale à un.

Answer

Le vecteur nul, noté $$\vec{0}$$, qui n’a ni direction ni sens

Question 3

3. Dans quelle situation deux vecteurs sont-ils égaux ?

Lorsqu’ils ont la même origine, le même sens et des normes différentes

Lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même norme

Lorsqu’ils ont des sens opposés, la même direction et la même norme

Lorsqu’ils ont la même direction, des sens différents et la même norme

Explication

Deux vecteurs sont égaux lorsque leurs directions, leurs sens et leurs normes coïncident. Une origine commune n’est pas nécessaire, car un vecteur peut être représenté en différents endroits.

Answer

Lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même norme

Question 4

4. Dans un quadrilatère ABCD, quelle condition caractérise l’égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ?

Les points A, B, C et D sont alignés dans cet ordre

Les côtés

[AB]

et

[DC]

ont des longueurs différentes

Les diagonales

[AC]

et

[BD]

sont perpendiculaires

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme

Explication

L’égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ est équivalente au fait qu'ABCD soit un parallélogramme. Dans ce cas, les côtés opposés correspondants ont même direction, même sens et même longueur.

Answer

Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme

Question 5

5. Pour construire géométriquement la somme de deux vecteurs, comment obtient-on un représentant de $\vec{u}+\vec{v}$ ?

En inversant les deux vecteurs, puis en reliant leurs extrémités respectives

En plaçant

\vec{v}

à l’extrémité de

\vec{u}

, puis en reliant l’origine de

\vec{u}

à l’extrémité de

\vec{v}

En plaçant les deux vecteurs à la même origine, puis en reliant leurs deux extrémités

En plaçant

\vec{u}

à l’extrémité de

\vec{v}

, puis en reliant leurs deux origines

Explication

On représente $\vec{u}$ par $\overrightarrow{AB}$ , puis $\vec{v}$ par $\overrightarrow{BC}$ ; le vecteur $\overrightarrow{AC}$ représente alors leur somme. La construction repose donc sur l’enchaînement de l’extrémité du premier vecteur avec l’origine du second.

Answer

En plaçant $$\vec{v}$$ à l’extrémité de $$\vec{u}$$, puis en reliant l’origine de $$\vec{u}$$ à l’extrémité de $$\vec{v}$$

Question 6

6. Quelle propriété décrit correctement l’addition vectorielle ?

Elle est commutative, mais le regroupement des vecteurs modifie le résultat obtenu

Elle conserve les vecteurs dans le même ordre et transforme le vecteur nul en vecteur opposé

Elle est commutative et associative, et le vecteur nul est son élément neutre

Elle est associative, mais l’ordre des vecteurs modifie généralement le résultat obtenu

Explication

L’addition vectorielle vérifie la commutativité, l’associativité et la relation $\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}$ . La commutativité concerne l’échange de l’ordre, tandis que l’associativité concerne le regroupement.

Answer

Elle est commutative et associative, et le vecteur nul est son élément neutre

Question 7

7. Si $k<0$ et $\vec{u}\neq\vec{0}$ , quelles sont les caractéristiques de $k\vec{u}$ par rapport à $\vec{u}$ ?

Il a la même direction, le même sens et une norme égale à

|k|+\|\vec{u}\|

Il a la même direction, un sens opposé et une norme égale à

|k|\|\vec{u}\|

Il n’a ni direction ni sens et sa norme est égale à

\|\vec{u}\|/|k|

Il a une direction opposée, le même sens et une norme égale à

k\|\vec{u}\|

Explication

La multiplication par un réel négatif conserve la direction, inverse le sens et multiplie la norme par $|k|$ . La norme ne peut pas être exprimée par $k\|\vec{u}\|$ lorsque $k<0$ , car une norme est positive ou nulle.

Answer

Il a la même direction, un sens opposé et une norme égale à $$|k|\|\vec{u}\|$$

Question 8

8. Quelle relation permet d’enchaîner les déplacements de A vers B puis de B vers C ?

\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}

Explication

La relation de Chasles associe deux vecteurs dont l’extrémité du premier coïncide avec l’origine du second : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ . Les autres égalités ne respectent pas cet enchaînement des points.

Answer

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$

Question 9

9. Laquelle de ces relations caractérise le fait qu'I est le milieu de [AB] ?

\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BI}

\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}

\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BA}

Explication

I est le milieu de [AB] si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{IB}$ sont égaux. Les deux segments orientés ont alors la même direction, le même sens et la même longueur.

Answer

$$\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$$

Question 10

10. Quelle condition géométrique les points $O$ , $I$ et $J$ doivent-ils respecter pour définir un repère cartésien du plan ?

Ils doivent être trois points distincts situés sur une même droite.

Ils doivent former un triangle équilatéral avec des côtés égaux.

Ils doivent avoir deux points confondus et un troisième distinct.

Ils doivent être trois points distincts et non alignés.

Explication

Un repère cartésien est défini par trois points distincts et non alignés, avec $O$ comme origine. Trois points alignés ne permettent pas de construire deux axes indépendants du plan.

Answer

Ils doivent être trois points distincts et non alignés.

Question 11

11. Un repère possède des axes perpendiculaires et des unités de longueur égales à $1$ sur ces deux axes ; comment le qualifie-t-on ?

Il est quelconque.

Il est orthonormé.

Il est oblique et gradué.

Il est seulement orthogonal.

Explication

Un repère orthonormé a des axes perpendiculaires et des unités égales à $1$ . Un repère orthogonal vérifie la perpendicularité, mais cette propriété ne suffit pas à préciser la valeur des unités.

Answer

Il est orthonormé.

Question 12

12. Dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ , que représente la première coordonnée d’un point $A(x_A;y_A)$ ?

La distance entre

A

et l’axe des abscisses.

La longueur du segment

[OA]

.

Son ordonnée, associée au vecteur

\vec{j}

.

Son abscisse, associée au vecteur

\vec{i}

.

Explication

La première coordonnée $x_A$ est l’abscisse et intervient dans l’écriture $\overrightarrow{OA}=x_A\vec{i}+y_A\vec{j}$ . L’ordonnée est la deuxième coordonnée, $y_A$ .

Answer

Son abscisse, associée au vecteur $$\vec{i}$$.

Question 13

13. À quelle condition deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ sont-ils confondus ?

Lorsque leurs deux coordonnées correspondantes sont égales.

Lorsqu’ils se trouvent sur une même droite passant par l’origine.

Lorsque leurs abscisses sont opposées et leurs ordonnées égales.

Lorsque la somme de leurs coordonnées est identique.

Explication

Deux points sont confondus si et seulement si $x_A=x_B$ et $y_A=y_B$ . Le fait d’avoir une coordonnée commune ou d’être alignés ne suffit pas à les identifier comme un même point.

Answer

Lorsque leurs deux coordonnées correspondantes sont égales.

Question 14

14. Le milieu $P$ de $[AB]$ , avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ , a-t-il pour coordonnées quelle expression ?

P\left(x_B-x_A;y_B-y_A\right)

P\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)

P\left(x_A+x_B;y_A+y_B\right)

P\left(\frac{x_A-x_B}{2};\frac{y_A-y_B}{2}\right)

Explication

Le milieu s’obtient en calculant la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées. Les différences de coordonnées décrivent plutôt un déplacement entre les points, pas la position de leur milieu.

Answer

$$P\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$$

Question 15

15. Dans un repère orthonormé, quelle expression permet de calculer la distance entre $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ ?

AB=\sqrt{(x_B+x_A)^2+(y_B+y_A)^2}

AB=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2

AB=(x_B-x_A)+(y_B-y_A)

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Explication

La distance euclidienne utilise le théorème de Pythagore appliqué aux écarts horizontal et vertical, d’où $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ . La somme simple des écarts ne tient pas compte de cette relation géométrique.

Answer

$$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$

Question 16

16. Si $A(2;-1)$ et $B(5;3)$ , quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?

(7;2)

(3;4)

(-7;2)

(-3;-4)

Explication

Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ se calculent de $A$ vers $B$ : $(x_B-x_A;y_B-y_A)=(5-2;3-(-1))=(3;4)$ . Le vecteur $\overrightarrow{BA}$ aurait les coordonnées opposées, $(-3;-4)$ .

Answer

L’un des deux vecteurs est nul ou l’un est un multiple réel non nul de l’autre.

Answer

Ils sont colinéaires, car la colinéarité dépend de leur direction.

Answer

Vérifier que $$\overrightarrow{AB}$$ et $$\overrightarrow{CD}$$ sont colinéaires.

Answer

Oui, car $$3\times4-6\times2=0$$.

Question 17

17. Si $\vec{u}=(3;-2)$ et $\vec{v}=(-1;5)$ , quelles sont les coordonnées de $\vec{u}+\vec{v}$ ?

(3;-10)

(2;3)

(-3;2)

(4;-7)

Explication

La somme de deux vecteurs s’effectue coordonnée par coordonnée : $(3+(-1);-2+5)=(2;3)$ . Les autres résultats correspondent à des soustractions, à des changements de signe ou à une opération appliquée de manière incorrecte.

Question 18

18. Laquelle des situations suivantes caractérise correctement deux vecteurs colinéaires ?

Les deux vecteurs ont nécessairement la même norme et le même sens.

L’un des deux vecteurs est nul ou l’un est un multiple réel non nul de l’autre.

Les deux vecteurs ont des directions différentes mais une norme identique.

Les deux vecteurs sont perpendiculaires et possèdent des coordonnées opposées.

Explication

Deux vecteurs sont colinéaires lorsque l’un est nul ou lorsqu’il est un multiple réel non nul de l’autre. Avoir la même norme et le même sens caractérise plutôt l’égalité de deux vecteurs, pas leur simple colinéarité.

Question 19

19. Deux vecteurs non nuls ont la même direction, mais des sens et des normes différents : quelle conclusion peut-on tirer ?

Ils sont colinéaires, car la colinéarité dépend de leur direction.

Ils sont égaux, car des vecteurs de même direction représentent le même déplacement.

Ils ne peuvent pas être comparés, car leurs normes sont différentes.

Ils sont perpendiculaires, car leurs normes et leurs sens diffèrent.

Explication

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s’ils ont la même direction, même si leur sens ou leur norme diffère. L’égalité demanderait en plus le même sens et la même norme.

Question 20

20. Pour montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles, quelle condition vectorielle faut-il vérifier ?

Vérifier que

\overrightarrow{AB}

et

\overrightarrow{CD}

sont égaux.

Vérifier que

\overrightarrow{AB}

et

\overrightarrow{CD}

sont colinéaires.

Vérifier que

\overrightarrow{AB}

et

\overrightarrow{CD}

ont la même norme.

Vérifier que

\overrightarrow{AB}

et

\overrightarrow{CD}

sont perpendiculaires.

Explication

Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires. L’égalité des vecteurs est une condition plus exigeante, tandis que la perpendicularité décrit une autre relation géométrique.

Question 21

21. Les vecteurs $\vec{u}=(3,2)$ et $\vec{v}=(6,4)$ sont-ils colinéaires ?

Oui, car

3\times6+2\times4=26

.

Oui, car

3\times4-6\times2=0

.

Non, car

3+2

est différent de

6+4

.

Non, car leurs deux coordonnées sont positives.

Explication

Le critère donne $u_xv_y-v_xu_y=3\times4-6\times2=0$ , donc les deux vecteurs sont colinéaires. Le fait que les coordonnées soient positives ou que leurs sommes diffèrent ne permet pas de conclure à la non-colinéarité.

QCM : Géométrie vectorielle dans le plan — 21 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractéristique distingue un vecteur d’un point dans le plan ?

2. Comment appelle-t-on un vecteur de longueur nulle ?

3. Dans quelle situation deux vecteurs sont-ils égaux ?

4. Dans un quadrilatère ABCD, quelle condition caractérise l’égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ?

5. Pour construire géométriquement la somme de deux vecteurs, comment obtient-on un représentant de $\vec{u}+\vec{v}$ ?

6. Quelle propriété décrit correctement l’addition vectorielle ?

7. Si $k<0$ et $\vec{u}\neq\vec{0}$ , quelles sont les caractéristiques de $k\vec{u}$ par rapport à $\vec{u}$ ?

8. Quelle relation permet d’enchaîner les déplacements de A vers B puis de B vers C ?

9. Laquelle de ces relations caractérise le fait qu'I est le milieu de [AB] ?

10. Quelle condition géométrique les points $O$ , $I$ et $J$ doivent-ils respecter pour définir un repère cartésien du plan ?

11. Un repère possède des axes perpendiculaires et des unités de longueur égales à $1$ sur ces deux axes ; comment le qualifie-t-on ?

12. Dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ , que représente la première coordonnée d’un point $A(x_A;y_A)$ ?

13. À quelle condition deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ sont-ils confondus ?

14. Le milieu $P$ de $[AB]$ , avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ , a-t-il pour coordonnées quelle expression ?

15. Dans un repère orthonormé, quelle expression permet de calculer la distance entre $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ ?

16. Si $A(2;-1)$ et $B(5;3)$ , quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?

17. Si $\vec{u}=(3;-2)$ et $\vec{v}=(-1;5)$ , quelles sont les coordonnées de $\vec{u}+\vec{v}$ ?

18. Laquelle des situations suivantes caractérise correctement deux vecteurs colinéaires ?

19. Deux vecteurs non nuls ont la même direction, mais des sens et des normes différents : quelle conclusion peut-on tirer ?

20. Pour montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles, quelle condition vectorielle faut-il vérifier ?

21. Les vecteurs $\vec{u}=(3,2)$ et $\vec{v}=(6,4)$ sont-ils colinéaires ?

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QCM : Géométrie vectorielle dans le plan — 21 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle caractéristique distingue un vecteur d’un point dans le plan ?

2. Comment appelle-t-on un vecteur de longueur nulle ?

3. Dans quelle situation deux vecteurs sont-ils égaux ?

4. Dans un quadrilatère ABCD, quelle condition caractérise l’égalité AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}AB=DC ?

5. Pour construire géométriquement la somme de deux vecteurs, comment obtient-on un représentant de u⃗+v⃗\vec{u}+\vec{v}u+v ?

6. Quelle propriété décrit correctement l’addition vectorielle ?

7. Si k<0k<0k<0 et u⃗≠0⃗\vec{u}\neq\vec{0}u=0, quelles sont les caractéristiques de ku⃗k\vec{u}ku par rapport à u⃗\vec{u}u ?

8. Quelle relation permet d’enchaîner les déplacements de A vers B puis de B vers C ?

9. Laquelle de ces relations caractérise le fait qu'I est le milieu de [AB] ?

10. Quelle condition géométrique les points OOO, III et JJJ doivent-ils respecter pour définir un repère cartésien du plan ?

11. Un repère possède des axes perpendiculaires et des unités de longueur égales à 111 sur ces deux axes ; comment le qualifie-t-on ?

12. Dans le repère (O;i⃗,j⃗)(O;\vec{i},\vec{j})(O;i,j​), que représente la première coordonnée d’un point A(xA;yA)A(x_A;y_A)A(xA​;yA​) ?

13. À quelle condition deux points A(xA;yA)A(x_A;y_A)A(xA​;yA​) et B(xB;yB)B(x_B;y_B)B(xB​;yB​) sont-ils confondus ?

14. Le milieu PPP de [AB][AB][AB], avec A(xA;yA)A(x_A;y_A)A(xA​;yA​) et B(xB;yB)B(x_B;y_B)B(xB​;yB​), a-t-il pour coordonnées quelle expression ?

15. Dans un repère orthonormé, quelle expression permet de calculer la distance entre A(xA;yA)A(x_A;y_A)A(xA​;yA​) et B(xB;yB)B(x_B;y_B)B(xB​;yB​) ?

16. Si A(2;−1)A(2;-1)A(2;−1) et B(5;3)B(5;3)B(5;3), quelles sont les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB}AB ?

17. Si u⃗=(3;−2)\vec{u}=(3;-2)u=(3;−2) et v⃗=(−1;5)\vec{v}=(-1;5)v=(−1;5), quelles sont les coordonnées de u⃗+v⃗\vec{u}+\vec{v}u+v ?

18. Laquelle des situations suivantes caractérise correctement deux vecteurs colinéaires ?

19. Deux vecteurs non nuls ont la même direction, mais des sens et des normes différents : quelle conclusion peut-on tirer ?

20. Pour montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles, quelle condition vectorielle faut-il vérifier ?

21. Les vecteurs u⃗=(3,2)\vec{u}=(3,2)u=(3,2) et v⃗=(6,4)\vec{v}=(6,4)v=(6,4) sont-ils colinéaires ?

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4. Dans un quadrilatère ABCD, quelle condition caractérise l’égalité $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ?

5. Pour construire géométriquement la somme de deux vecteurs, comment obtient-on un représentant de $\vec{u}+\vec{v}$ ?

7. Si $k<0$ et $\vec{u}\neq\vec{0}$ , quelles sont les caractéristiques de $k\vec{u}$ par rapport à $\vec{u}$ ?

10. Quelle condition géométrique les points $O$ , $I$ et $J$ doivent-ils respecter pour définir un repère cartésien du plan ?

11. Un repère possède des axes perpendiculaires et des unités de longueur égales à $1$ sur ces deux axes ; comment le qualifie-t-on ?

12. Dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$ , que représente la première coordonnée d’un point $A(x_A;y_A)$ ?

13. À quelle condition deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ sont-ils confondus ?

14. Le milieu $P$ de $[AB]$ , avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ , a-t-il pour coordonnées quelle expression ?

15. Dans un repère orthonormé, quelle expression permet de calculer la distance entre $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ ?

16. Si $A(2;-1)$ et $B(5;3)$ , quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?

17. Si $\vec{u}=(3;-2)$ et $\vec{v}=(-1;5)$ , quelles sont les coordonnées de $\vec{u}+\vec{v}$ ?

21. Les vecteurs $\vec{u}=(3,2)$ et $\vec{v}=(6,4)$ sont-ils colinéaires ?