Fiche de révision : Géométrie vectorielle dans le plan

📋 Plan du Cours

1. Notions fondamentales sur les vecteurs
2. Égalité et opérations vectorielles
3. Relations vectorielles remarquables
4. Repères et coordonnées du plan
5. Calculs sur les points
6. Coordonnées et opérations vectorielles
7. Colinéarité et géométrie

📖 1. Notions fondamentales sur les vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Objet mathématique caractérisé par une direction, un sens et une longueur appelée norme, notée $\|\vec{u}\|$, et qui peut être représenté n’importe où dans le plan.
• Vecteur nul : Vecteur de longueur zéro, noté $\vec{0}$, qui n’a ni sens ni direction.
• Vecteurs égaux : Vecteurs qui ont la même direction, le même sens et la même norme.

📝 Points essentiels

📌 Deux vecteurs opposés ont la même direction et la même norme, mais des sens opposés.

💡 Astuce mémo

Vecteur libre ≠ vecteur fixé en un point

📖 2. Égalité et opérations vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiplication par un réel : Pour un réel $k$ et un vecteur $\vec{u}$, vecteur de même direction, de sens identique si $k>0$ et opposé si $k<0$, et de norme égale à $|k|\|\vec{u}\|$, avec $k\vec{u}=\vec{0}$ si $k=0$ ou $\vec{u}=\vec{0}$.

★ À maîtriser

📌 Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

• Pour construire la somme de deux vecteurs $\vec{u}+\vec{v}$, on place un représentant de $\vec{u}$ d’origine A et d’extrémité B, puis un représentant de $\vec{v}$ d’origine B et d’extrémité C ; $\overrightarrow{AC}$ représente alors la somme.

📐 Formule — L’addition vectorielle vérifie $\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$, $(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$ et $\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}$.

Compléments

📐 Formule — Pour tous vecteurs $\vec{u},\vec{v}$ et réels $k,l$, on a $k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$, $(k+l)\vec{u}=k\vec{u}+l\vec{u}$ et $k(l\vec{u})=(kl)\vec{u}$.

💡 Astuce mémo

Placer, additionner, multiplier

📖 3. Relations vectorielles remarquables

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour trois points A, B et C, la relation de Chasles est $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

📌 Un point I est le milieu de [AB] si et seulement si $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$, si et seulement si $\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\vec{0}$, si et seulement si $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}$.

💡 Astuce mémo

Chasles enchaîne les déplacements → relation directe

📖 4. Repères et coordonnées du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère cartésien : Trois points O, I et J distincts et non alignés définissent un repère cartésien du plan noté $(O;I,J)$ ou $(O;\vec{i},\vec{j})$, où O est l’origine et les droites (OI) et (OJ) sont respectivement les axes des abscisses et des ordonnées.

• Coordonnées d’un point : Dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$, un point A de coordonnées $(x_A;y_A)$ vérifie $\overrightarrow{OA}=x_A\vec{i}+y_A\vec{j}$, où $x_A$ est l’abscisse et $y_A$ l’ordonnée.

📝 Points essentiels

📌 Un repère est orthogonal lorsque ses axes sont perpendiculaires, orthonormal lorsque ses axes sont perpendiculaires et que leurs unités sont égales, et orthonormé lorsque ces unités égales valent 1.

💡 Astuce mémo

Orthogonal : angles droits ; orthonormé : angles droits et mêmes unités

📖 5. Calculs sur les points

★ À maîtriser

📌 Deux points A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B) sont confondus si et seulement si $x_A=x_B$ et $y_A=y_B$.

📐 Formule — Le milieu P du segment [AB], avec A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B), a pour coordonnées $P\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

📐 Formule — Dans un repère orthonormé, la distance entre A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B) vaut $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

Compléments

• Le milieu du segment reliant A(3,2) et B(1,4) est P(2,3).

📖 6. Coordonnées et opérations vectorielles

★ À maîtriser

• Dans le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$, les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont $(x_B-x_A;y_B-y_A)$.

📐 Formule — Deux vecteurs $\vec{u}=(u_x,u_y)$ et $\vec{v}=(v_x,v_y)$ sont égaux si et seulement si $u_x=v_x$ et $u_y=v_y$.

Compléments

📐 Formule — La somme de $\vec{u}=(u_x,u_y)$ et $\vec{v}=(v_x,v_y)$ a pour coordonnées $(u_x+v_x;u_y+v_y)$.

📐 Formule — Pour $\vec{u}=(u_x,u_y)$ et un réel $k$, le vecteur $k\vec{u}$ a pour coordonnées $(ku_x,ku_y)$.

💡 Astuce mémo

Soustraire les points, additionner les coordonnées, multiplier par le réel

📖 7. Colinéarité et géométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Vecteurs dont l’un est nul ou dont l’un est un multiple réel non nul de l’autre.

📝 Points essentiels

• Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s’ils ont la même direction.

• Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

• Les points A, B et C sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

📐 Formule — Pour $\vec{u}=(u_x,u_y)$ et $\vec{v}=(v_x,v_y)$, les vecteurs sont colinéaires si et seulement si $u_xv_y-v_xu_y=0$.

💡 Astuce mémo

Déterminant nul → vecteurs colinéaires → droites parallèles ou points alignés

📊 Tableaux de synthèse

Types de repères