Fiche de révision : Trigonométrie : cercle et angles

📋 Plan du Cours

1. Origines et applications de la trigonométrie
2. Cercle trigonométrique et sens positif
3. Enroulement et mesure en radians
4. Conversion degrés-radians
5. Angles orientés et enroulements multiples
6. Mesure principale modulo 2π

📖 1. Origines et applications de la trigonométrie

📝 Points essentiels

• Hipparque de Nicée, qui a vécu de −190 à −120, est crédité des premières tables trigonométriques faisant correspondre l’angle au centre et la longueur de la corde interceptée dans le cercle.

• La trigonométrie est notamment utilisée en sciences physiques pour transcrire la propagation des ondes au moyen de fonctions trigonométriques.

💡 Astuce mémo

Babyloniens → Hipparque → Ptolémée → Regiomontanus → Viète

📖 2. Cercle trigonométrique et sens positif

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens trigonométrique : Aussi appelé sens direct ou sens positif, il est le sens contraire des aiguilles d’une montre sur un cercle.
• Cercle trigonométrique : Cercle de centre O et de rayon 1 dans un plan muni d’un repère orthonormé orienté dans le sens direct.

💡 Astuce mémo

Sens trigonométrique = antihoraire, contrairement au sens des aiguilles d’une montre

📖 3. Enroulement et mesure en radians

🔑 Notions clés & Définitions

• Radian : Mesure de l’angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 sur le cercle trigonométrique.

📝 Points essentiels

• L’enroulement d’une droite tangente au cercle trigonométrique associe à tout point N d’abscisse x de la droite un unique point M du cercle, de sorte que la longueur de l’arc AM soit égale à la longueur AN.

📐 Formule — La longueur du cercle trigonométrique est $P = 2\pi R = 2\pi$ puisque son rayon vaut 1.

• Un tour complet mesure 360° ou 2π radians.

💡 Astuce mémo

Une droite tangente s’enroule autour du cercle et transforme sa longueur en arc

📖 4. Conversion degrés-radians

📝 Points essentiels

• Les correspondances usuelles sont 0° = 0, 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π et 360° = 2π.

📐 Formule — Pour convertir une mesure en degrés en radians, on la multiplie par $\frac{\pi}{180}$.

💡 Astuce mémo

Un tour : 360° = 2π rad

📖 5. Angles orientés et enroulements multiples

📝 Points essentiels

• Plusieurs enroulements de la droite orientée peuvent associer plusieurs points de la droite au même point du cercle, dans un sens ou dans l’autre.

• Deux mesures θ et θ + k × 2π, avec k entier relatif, correspondent au même angle orienté.

💡 Astuce mémo

Ajouter ou retirer 2π → retrouver le même point du cercle

📖 6. Mesure principale modulo 2π

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesure principale : Unique mesure de cet angle située dans l’intervalle ]−π ; π].

📝 Points essentiels

• Pour déterminer la mesure principale d’un angle, on ajoute ou soustrait des multiples de 2π jusqu’à obtenir une mesure appartenant à ]−π ; π].

💡 Astuce mémo

Toutes les mesures θ + 2kπ, mais une seule dans ]−π ; π]