Fiche de révision : Géométrie analytique des droites

📋 Plan du Cours

1. Équation cartésienne d’une droite
2. Droite passant par deux points
3. Écritures équivalentes d’une droite
4. Équation réduite selon la direction
5. Coefficient directeur et ordonnée
6. Vecteur directeur d’une droite

📖 1. Équation cartésienne d’une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne : Équation de la forme $ax+by+c=0$, où a, b et c sont réels et où a ou b est non nul.

📝 Points essentiels

📌 Un point M(x_M;y_M) appartient à la droite d’équation $ax+by+c=0$ si et seulement si $ax_M+by_M+c=0$.

📖 2. Droite passant par deux points

★ À maîtriser

• Pour déterminer une équation de la droite passant par deux points distincts A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B), on impose la colinéarité des vecteurs AM et AB, ce qui donne $(x-x_A)(y_B-y_A)-(y-y_A)(x_B-x_A)=0$.

Compléments

📐 Formule — Une équation cartésienne de la droite passant par A et B est $x(y_B-y_A)-y(x_B-x_A)-x_A(y_B-y_A)+y_A(x_B-x_A)=0$.

💡 Astuce mémo

Colinéarité → déterminant nul → équation cartésienne

📖 3. Écritures équivalentes d’une droite

★ À maîtriser

📌 Si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne d’une droite, alors $kax+kby+kc=0$ est une autre équation de cette droite pour tout réel k non nul.

Compléments

• L’équation cartésienne $2y-2x=0$ peut aussi s’écrire $y=x$ ou $y- x+3=3$.

📖 4. Équation réduite selon la direction

★ À maîtriser

📌 Toute droite parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation de la forme $x=k$, où k est réel.

📌 Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation réduite de la forme $y=mx+p$, qui est unique pour cette droite.

Compléments

• Pour transformer $ax+by+c=0$ en équation réduite lorsque b est non nul, on isole y et on obtient $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$, soit $y=mx+p$ avec $m=-\frac{a}{b}$ et $p=-\frac{c}{b}$.

💡 Astuce mémo

Verticale : x = k ; non verticale : y = mx + p

📖 5. Coefficient directeur et ordonnée

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordonnée à l’origine : Dans l’équation réduite $y=mx+p$ d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées, p est l’ordonnée du point de la droite d’abscisse nulle.

• Coefficient directeur : Dans l’équation réduite $y=mx+p$, m est le coefficient directeur de la droite et indique sa pente.

📝 Points essentiels

📌 Si deux points d’une droite ont des abscisses dont la différence vaut 1, la différence de leurs ordonnées vaut m.

💡 Astuce mémo

La droite monte selon sa pente m depuis son interception p sur l’axe des ordonnées

📖 6. Vecteur directeur d’une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Vecteur non nul colinéaire à tout vecteur défini à partir de deux points de cette droite.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une droite d’équation $ax+by+c=0$, le vecteur $\vec u=(-b,a)$ est un vecteur directeur.

📊 Tableaux de synthèse

Équations selon la direction