Fiche de révision : Œil et systèmes optiques

📋 Plan du Cours

1. Lentilles sphériques et conditions de Gauss
2. Foyers et propriétés des lentilles
3. Construction des images et rayons
4. Conjugaison et grandissement
5. Modèle optique de l’œil
6. Accommodation du cristallin
7. Accommodation et plage de vision
8. Résolution angulaire de l’œil
9. Modèle et mise au point photographique
10. Réglages et luminosité photographique
11. Profondeur de champ photographique
12. Systèmes à plusieurs lentilles

📖 1. Lentilles sphériques et conditions de Gauss

🔑 Notions clés & Définitions

• Lentille sphérique : Composant optique transparent, limité par deux dioptres sphériques, qui utilise la réfraction et possède un axe de révolution appelé axe optique.

★ À maîtriser

📌 Les lentilles à bords minces sont convergentes, tandis que les lentilles à bords épais sont divergentes.

📌 Dans les conditions de Gauss, les rayons incidents sont peu inclinés par rapport à l’axe optique et proches du centre de la lentille.

Compléments

📌 Une lentille est mince lorsque son épaisseur est négligeable devant ses rayons de courbure et la distance entre les centres des dioptres; elle est épaisse lorsque son épaisseur leur est comparable.

💡 Astuce mémo

Bords minces convergents, bords épais divergents

📖 2. Foyers et propriétés des lentilles

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance focale image : La distance focale image est la distance algébrique $f'=\overline{OF'}$ entre le centre optique O et le foyer image F′; elle est positive pour une lentille convergente et négative pour une lentille divergente.

★ À maîtriser

• Dans les conditions de Gauss, une lentille mince est un système centré réalisant approximativement le stigmatisme et l’aplanétisme.

• Un rayon passant par le centre optique O d’une lentille mince n’est pas dévié.

Compléments

• Le foyer objet F et le foyer image F′ sont symétriques par rapport au centre optique O, de sorte que $\overline{OF}=-\overline{OF'}$.

📐 Formule - La vergence d’une lentille vérifie $V=\frac{1}{f'}$ et s’exprime en dioptries, équivalentes à $\mathrm{m}^{-1}$.

📖 3. Construction des images et rayons

★ À maîtriser

• Pour construire l’image d’un objet vertical AB, on détermine B′ à l’intersection des rayons particuliers issus de B.

Compléments

• Pour construire le rayon émergent associé à un rayon incident quelconque, on détermine le foyer secondaire dans le plan focal image à l’aide d’un rayon parallèle à l’incident et passant par O.

• Une lentille convergente peut former une image réelle ou virtuelle selon la position de l’objet; une lentille divergente forme une image virtuelle pour un objet réel.

📖 4. Conjugaison et grandissement

★ À maîtriser

📐 Formule - Avec l’origine aux foyers, la relation de conjugaison de Newton est $\overline{FA}\,\overline{F'A'}=-f'^2$.

📐 Formule - Avec l’origine au centre optique, la relation de conjugaison de Descartes est $\frac{1}{\overline{OA'}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{f'}=V$.

📐 Formule - Avec l’origine au centre optique, le grandissement transversal vérifie $\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$.

Compléments

📐 Formule - Avec l’origine aux foyers, le grandissement transversal vérifie $\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{FO}}{\overline{FA}}=\frac{\overline{F'A'}}{\overline{F'O}}=\frac{f'}{\overline{FA}}=-\frac{\overline{F'A'}}{f'}$.

📌 Un grandissement positif indique une image droite et un grandissement négatif une image renversée; une valeur absolue supérieure à 1 indique une image agrandie et une valeur absolue inférieure à 1 une image rétrécie.

• Un projecteur de vergence 20 δ, équipé d’une lentille convergente, forme sur un écran situé à 4,0 m une image d’une diapositive de 2,4 cm de hauteur avec un grandissement d’environ −79 et une image d’environ 1,9 m de hauteur; la diapositive se trouve à environ 5,1 cm en avant de la lentille.

📖 5. Modèle optique de l’œil

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle de l’œil réduit : Association d’une lentille mince convergente de vergence variable représentant le cristallin, d’un diaphragme de diamètre variable représentant l’iris et d’un capteur plan fixe représentant la rétine.

📝 Points essentiels

• Dans le modèle de l’œil réduit, la distance entre le cristallin et la rétine est fixe et vaut environ 17 mm.

• Le diamètre de la pupille varie de 2 mm en forte luminosité à 8 mm dans l’obscurité.

• L’iris règle la quantité de lumière qui entre dans l’œil et évite l’éblouissement.

📖 6. Accommodation du cristallin

📝 Points essentiels

• Pour former une image nette sur la rétine d’un objet situé à une distance donnée, les muscles ciliaires déforment le cristallin et en modifient la courbure et la vergence, car la distance entre le cristallin et la rétine est fixe.

💡 Astuce mémo

Objet à distance variable → vergence ajustée pour une image nette sur la rétine

📖 7. Accommodation et plage de vision

🔑 Notions clés & Définitions

• Accommodation : Capacité de l’œil à faire varier la vergence de son cristallin afin de former sur la rétine une image nette d’objets situés à différentes distances.
• Punctum remotum : Point le plus éloigné que l’œil voit net lorsqu’il est au repos, sans accommodation ; sa distance à l’œil est notée Dm.
• Punctum proximum : Point le plus proche que l’œil voit net lorsqu’il accommode au maximum ; sa distance à l’œil est notée dm.
• Plage d’accommodation : Zone de l’axe comprise entre le punctum remotum et le punctum proximum.

📝 Points essentiels

• Pour un œil normal (emmétrope), le punctum remotum est rejeté à l’infini, donc Dm tend vers l’infini et le foyer image se trouve sur la rétine au repos.

• Pour un œil normal, la distance conventionnelle du punctum proximum est dm ≈ 25 cm.

• La myopie correspond à un œil trop convergent dont le PR est à distance finie et se corrige avec une lentille divergente.

💡 Astuce mémo

Œil au repos : PR à l’infini ; accommodation maximale : PP au plus près.

📖 8. Résolution angulaire de l’œil

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite de résolution angulaire : Plus petit angle sous lequel deux points doivent être vus pour que l’œil les distingue.

★ À maîtriser

• Pour un œil normal, la limite de résolution angulaire vaut environ 1′, soit $\frac{1}{60}^{\circ}$ ou $3\times10^{-4}\ \mathrm{rad}$.

Compléments

• La rétine contient des cônes et des bâtonnets de taille finie, et l’œil distingue deux points seulement si leurs images se forment sur deux cellules différentes.

📐 Formule - Pour deux points séparés d’une distance L à une distance D de l’œil, lorsque l’angle est petit, $\theta\approx\frac{L}{D}$ ; ils sont distingués si $\theta\geq\varepsilon$, d’où $L_{\min}=D\varepsilon$.

📖 9. Modèle et mise au point photographique

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle de l’appareil photographique : L’appareil photographique est modélisé par une lentille mince convergente de focale f′ représentant l’objectif, un diaphragme réglable de diamètre D placé contre la lentille et un capteur plan placé à une distance d réglable de la lentille.

★ À maîtriser

📌 Pour obtenir une image nette, le capteur doit être placé dans le plan de l’image A′ de l’objet A formée par l’objectif, de sorte que d = OA′.

📌 Une courte focale donne un grand champ, tandis qu’une longue focale donne un petit champ et agrandit l’image d’un objet donné sur le capteur.

Compléments

• Dans l’œil, la mise au point se fait en faisant varier la vergence du cristallin et la distance lentille-capteur reste fixe, tandis que dans l’appareil photo la focale de l’objectif est fixe et la mise au point se fait en faisant varier la distance objectif-capteur.

• Pour un objet à l’infini, l’image se forme dans le plan focal image et la distance objectif-capteur vaut d = f′.

• Pour un objet réel à distance finie situé avant le foyer objet, l’image se forme au-delà de F′, avec d > f′ ; plus l’objet est proche, plus il faut éloigner le capteur de l’objectif.

📐 Formule - Pour un objet à l’infini et un capteur de taille h, le champ angulaire α vérifie $2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{h}{f′}$.

📖 10. Réglages et luminosité photographique

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre d’ouverture : Le nombre d’ouverture d’un appareil photographique est défini par $N=\frac{f′}{D}$, où f′ est la focale et D le diamètre du diaphragme.

★ À maîtriser

📐 Formule - La puissance lumineuse reçue par unité de surface du capteur est proportionnelle à $\frac{D^2}{f′^2}=\frac{1}{N^2}$.

📐 Formule - L’énergie reçue par chaque pixel pendant la durée d’exposition τ est proportionnelle à $\frac{\tau}{N^2}$.

Compléments

• Plus le nombre d’ouverture N est grand, plus le diaphragme est fermé.

• Les valeurs usuelles du nombre d’ouverture sont 1,4 ; 2 ; 2,8 ; 4 ; 5,6 ; 8 ; 11 et 16, chaque valeur étant obtenue en multipliant la précédente par un facteur √2.

• Passer d’une valeur usuelle de N à la suivante divise par deux la quantité de lumière reçue, ce qui se compense en doublant la durée d’exposition τ.

📌 Une longue durée d’exposition permet de photographier une scène peu éclairée, mais le déplacement d’un objet pendant l’exposition étale son image sur plusieurs pixels et produit un flou de bougé.

📌 Pour figer un objet rapide, il faut une durée d’exposition courte et un diaphragme ouvert, donc un petit nombre d’ouverture N.

💡 Astuce mémo

N augmente → lumière reçue diminue ; doubler la durée d’exposition compense.

📖 11. Profondeur de champ photographique

🔑 Notions clés & Définitions

• Profondeur de champ : La profondeur de champ est la longueur de la zone de l’axe optique, de part et d’autre du point de mise au point A, dont les points ont une image jugée nette sur le capteur ; elle est notée PDC = A₁A₂.

★ À maîtriser

• La profondeur de champ augmente lorsque : le diaphragme est fermé, donc lorsque D diminue et N augmente, la focale diminue, la mise au point porte sur un objet plus éloigné, la taille ε des pixels augmente

Compléments

• Pour un réglage donné, seul le point A conjugué du capteur produit une image rigoureusement ponctuelle ; les points voisins produisent une tache qui paraît nette si elle est plus petite qu’un pixel de taille ε.

• La construction géométrique de la profondeur de champ suit trois étapes.

📐 Formule - Pour un objet à une distance p grande devant f′, la profondeur de champ est approximativement $\mathrm{PDC}\approx\frac{2N\varepsilon p^2}{f′^2}$.

📌 La distance objectif-capteur règle la mise au point, la focale règle le champ, le diaphragme règle principalement la luminosité et la profondeur de champ, et la durée d’exposition règle principalement la luminosité avec un risque de flou de bougé si elle est longue.

📖 12. Systèmes à plusieurs lentilles

★ À maîtriser

• Dans un système de plusieurs lentilles, l’image formée par chaque lentille sert d’objet, réel ou virtuel, à la lentille suivante jusqu’à la formation de l’image finale.

📐 Formule - Deux lentilles minces accolées, de centres optiques confondus et de vergences V₁ et V₂, sont équivalentes à une lentille unique de vergence $V=V_1+V_2$.

Compléments

• Pour déterminer l’image finale d’un système de plusieurs lentilles, on écrit la relation de conjugaison de chaque lentille, on relie les positions par les distances entre centres optiques, puis on résout successivement jusqu’à l’image finale.

📐 Formule - Le grandissement d’un système de lentilles est le produit des grandissements de chaque lentille : $\gamma=\gamma_n\times\cdots\times\gamma_2\times\gamma_1$.

• La relation de vergence des lentilles accolées vaut aussi bien pour des lentilles convergentes que divergentes.

💡 Astuce mémo

L₁ → image intermédiaire → L₂ → image finale.