Fiche de révision : Coordonnées, nombres et inéquations

📋 Plan du Cours

1. Translations et égalité des vecteurs
2. Repère et coordonnées des points
3. Coordonnées du milieu d’un segment
4. Milieu des diagonales et parallélogramme
5. Symétrie et coordonnées des vecteurs
6. Distance entre deux points
7. Classification des nombres réels
8. Intervalles et inégalités associées
9. Règles et résolution des inéquations

📖 1. Translations et égalité des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Le vecteur associé à la translation qui transforme A en B est noté $\overrightarrow{AB}$ et se caractérise par la direction de la droite (AB), le sens de A vers B et sa longueur, appelée norme.

📝 Points essentiels

• Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur.

• Dans un parallélogramme ABCD, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ sont égaux.

• Si I est le milieu de [AB], alors $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$, et réciproquement cette égalité implique que I est le milieu de [AB].

📖 2. Repère et coordonnées des points

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère du plan : Un repère du plan est formé de trois points non alignés O, I et J et se note (O ; I ; J).
• Coordonnées d’un point : Tout point M du plan est repéré par un unique couple de réels $(x_M ; y_M)$, où $x_M$ est son abscisse et $y_M$ son ordonnée.

📝 Points essentiels

📌 Un repère est orthogonal lorsque ses axes sont perpendiculaires ; il est orthonormé lorsque ses axes sont perpendiculaires et que OI = OJ.

📖 3. Coordonnées du milieu d’un segment

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), le milieu de [AB] a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2}\ ;\ \frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

📖 4. Milieu des diagonales et parallélogramme

📝 Points essentiels

📌 Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

📖 5. Symétrie et coordonnées des vecteurs

📝 Points essentiels

• Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $\left(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A\right)$.

📌 Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées correspondantes sont égales : $\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x'\y'\end{pmatrix}\Longleftrightarrow x=x'\text{ et }y=y'.$

📖 6. Distance entre deux points

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, la distance entre A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) est $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

📖 7. Classification des nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Les nombres décimaux sont ceux qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où a est un entier relatif et n un entier naturel ; ils ont un nombre fini de décimales et forment $\mathbb D$.
• Nombres réels : Les nombres réels sont les abscisses des points d’une droite graduée et forment l’ensemble $\mathbb R$.

📝 Points essentiels

• Les ensembles de nombres sont emboîtés selon $\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$.

📖 8. Intervalles et inégalités associées

📝 Points essentiels

📌 Les crochets d’un intervalle sont toujours ouverts aux bornes −∞ et +∞.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue

📖 9. Règles et résolution des inéquations

📝 Points essentiels

• Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inégalité conserve son sens.

• Multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement positif conserve son sens.

• Multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement négatif change son sens.

💡 Astuce mémo

Multiplier par un positif conserve l’ordre ; par un négatif, il l’inverse