Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et applications

📋 Plan du Cours

1. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
2. Interprétation de l’écart-type
3. Application aux moyennes d’échantillon
4. Calcul de la probabilité cherchée

📖 1. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

🔑 Notions clés & Définitions

• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : Inégalité de probabilité qui borne la chance que $X$ s’écarte de son espérance, via la variance et un seuil d’écart δ.
• Variance V(X) : Mesure de dispersion qui intervient dans le majorant de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
• Seuil δ : Valeur strictement positive servant à fixer le niveau d’écart à l’espérance dans l’inégalité.

📝 Points essentiels

• Pour toute variable aléatoire X et tout réel δ strictement positif, on a $P(|X-E(X)|\ge \delta)\le \dfrac{V(X)}{\delta^2}$.
• Le majorant $\dfrac{V(X)}{\delta^2}$ diminue quand δ augmente, donc les grands écarts sont moins probables.
• L’inégalité relie l’écart à l’espérance à la variance et à la tolérance δ en bornant la probabilité d’un écart au moins égal à δ.

💡 Astuce mémo

δ au carré au dénominateur : plus δ est grand, plus la borne devient petite.

📖 2. Interprétation de l’écart-type

🔑 Notions clés & Définitions