Fiche de révision : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et applications

📋 Plan du Cours

1. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
2. Interprétation de l’écart-type
3. Application aux moyennes d’échantillon
4. Calcul de la probabilité cherchée

📖 1. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

🔑 Notions clés & Définitions

• Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : Inégalité de probabilité qui borne la chance que $X$ s’écarte de son espérance, via la variance et un seuil d’écart δ.
• Variance V(X) : Mesure de dispersion qui intervient dans le majorant de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
• Seuil δ : Valeur strictement positive servant à fixer le niveau d’écart à l’espérance dans l’inégalité.

📝 Points essentiels

• Pour toute variable aléatoire X et tout réel δ strictement positif, on a $P(|X-E(X)|\ge \delta)\le \dfrac{V(X)}{\delta^2}$.
• Le majorant $\dfrac{V(X)}{\delta^2}$ diminue quand δ augmente, donc les grands écarts sont moins probables.
• L’inégalité relie l’écart à l’espérance à la variance et à la tolérance δ en bornant la probabilité d’un écart au moins égal à δ.

💡 Astuce mémo

δ au carré au dénominateur : plus δ est grand, plus la borne devient petite.

📖 2. Interprétation de l’écart-type

🔑 Notions clés & Définitions

• Écart-type σ : Grandeur liée à la dispersion de X, dont l’ordre de grandeur décrit typiquement la taille des écarts à l’espérance.
• Ordre de grandeur de σ : Idée selon laquelle les écarts fréquents entre X et E(X) sont, en général, du même niveau que σ.
• Écart à l’espérance : Mesure de la différence entre la valeur de X et sa moyenne théorique E(X).

📝 Points essentiels

• L’écart-type σ sert d’idée principale pour estimer que les écarts de X par rapport à E(X) sont de l’ordre de grandeur de σ.
• L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev formalise cette intuition en majorant la probabilité d’un écart au moins égal à δ.
• La borne dépend du carré de δ, traduisant que demander un écart plus grand rend l’événement moins probable.

💡 Astuce mémo

Écart à E(X) : “typique” ~ σ, et “au moins δ” devient vite rare quand δ grandit.

📖 3. Application aux moyennes d’échantillon

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne d’échantillon Pi : Variable définie comme la moyenne de $X_1,\ldots,X_{10}$, notée ici $\Pi=\dfrac{X_1+\cdots+X_{10}}{10}$.
• Indépendants et même loi : Hypothèse que $X_1,\ldots,X_{10}$ sont indépendantes et suivent la même loi.
• Loi binomiale B(20 ; 0,615) : Loi suivie par chaque $X_i$ dans l’exemple, paramétrée par 20 et 0,615.
• Espérance E(Π) : Valeur moyenne théorique de la moyenne d’échantillon $\Pi$, calculée dans l’exemple.
• Variance V(Π) : Variance de la moyenne d’échantillon $\Pi$, utilisée ensuite dans la borne de Bienaymé-Tchebychev.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple, $X_1,\ldots,X_{10}$ sont indépendants et suivent la même loi binomiale $B(20;0,615)$.
• La moyenne d’échantillon est $\Pi=\dfrac{X_1+X_{10}}{10}$ et on donne $E(\Pi)=12,3$.
• Dans l’exemple, on utilise $V(\Pi)=0,47355$ pour appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev à $\Pi$.
• L’intervalle demandé $10,3<\Pi<14,3$ est centré sur $E(\Pi)=12,3$, ce qui permet de le traduire en contrainte sur $|\Pi-E(\Pi)|$.

💡 Astuce mémo

Centrez l’intervalle : $10,3$ et $14,3$ sont à 2 de $12,3$, donc cela vise $|\Pi-E(\Pi)|<2$.

📖 4. Calcul de la probabilité cherchée

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement 10,3 < Π < 14,3 : Événement correspondant au fait que la moyenne $\Pi$ tombe strictement entre 10,3 et 14,3.
• Transformation en norme : Réécriture de l’encadrement par un test sur la distance à l’espérance, sous la forme d’une inégalité sur $|\Pi-E(\Pi)|$.
• Choix de δ = 2 : Paramètre d’application de l’inégalité choisi pour que l’événement corresponde à un écart en valeur absolue de 2.
• Majorant probabiliste : Borne numérique obtenue en remplaçant $V(\Pi)$ et δ dans l’inégalité.

📝 Points essentiels

• L’intervalle $10,3<\Pi<14,3$ est équivalent à $|\Pi-E(\Pi)|<2$ puisque $E(\Pi)=12,3$.
• En appliquant Bienaymé-Tchebychev à $\Pi$ avec $\delta=2$, on obtient $P(|\Pi- E(\Pi)|\ge 2)\le \dfrac{V(\Pi)}{2^2}$.
• On en déduit $P(|\Pi-E(\Pi)|<2)\ge 1-\dfrac{V(\Pi)}{2^2}=1-\dfrac{0,47355}{4}\approx 0,88$.
• Comme $0,88>0,80$, la probabilité que $\Pi$ soit strictement comprise entre 10,3 et 14,3 est d’au moins 80%.

💡 Astuce mémo

Passez par le complément : $P(|\Pi-E|<2)=1-P(|\Pi-E|\ge 2)$, puis remplacez la borne.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’événement $|X-E(X)|\ge \delta$ avec $|X-E(X)|<\delta$, car l’application utilise le complément pour obtenir une borne sur $<\delta$.
2. Oublier que δ doit être strictement positif dans l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
3. Prendre un mauvais δ dans l’exemple : l’intervalle 10,3 à 14,3 correspond à un écart de 2 autour de $E(\Pi)=12,3$.
4. Se tromper sur la traduction de l’encadrement : $10,3<\Pi<14,3$ devient $|\Pi-E(\Pi)|<2$, pas une autre borne.
5. Sous-estimer l’usage de la variance : la borne utilise $V(X)$ (pas σ directement) et le carré de δ au dénominateur.
6. Intervertir l’inégalité : la formule donne une borne sur $P(|X-E(X)|\ge \delta)$, pas directement sur $P(|X-E(X)|<\delta$.
7. Calculer $1- V(\Pi)/2^2$ sans faire attention au dénominateur : ici $2^2=4$ mène à $1-0,47355/4 \approx 0,88$.

✅ Checklist Examen

1. Écrire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $P(|X-E(X)|\ge \delta)\le \dfrac{V(X)}{\delta^2}$ pour tout δ strictement positif.
2. Identifier quels éléments jouent le rôle de E(X), V(X) et δ dans une question.
3. Expliquer le lien entre la variance et la probabilité d’un écart d’au moins δ à l’espérance.
4. Relier l’intuition de l’écart-type à l’idée que des écarts sont “de l’ordre de grandeur” de σ.
5. Dans l’exemple, définir correctement la moyenne d’échantillon $\Pi$ à partir de $X_1,\ldots,X_{10}$.
6. Utiliser les valeurs données $E(\Pi)=12,3$ et $V(\Pi)=0,47355$ au bon endroit du calcul.
7. Transformer l’événement $10,3<\Pi<14,3$ en $|\Pi-E(\Pi)|<2$ en repérant l’écart à 12,3.
8. Choisir δ correctement (ici δ=2) pour appliquer l’inégalité à l’événement lié à l’écart en valeur absolue.
9. Calculer la borne $P(|\Pi-E(\Pi)|<2)\ge 1- V(\Pi)/2^2$ et obtenir une valeur approchée ~0,88.
10. Conclure que la probabilité demandée est au moins 80% car $0,88>0,80$.