P(|X-E(X)|≥δ) ≤ V(X)/δ²
Explication
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne directement une borne supérieure pour la probabilité d’un écart d’au moins δ : elle vaut V(X)/δ². Les autres propositions inversent la relation ou utilisent des expressions incorrectes.
Il diminue, car δ apparaît au carré au dénominateur
Explication
Comme la borne est V(X)/δ², une augmentation de δ fait baisser le majorant. Cela traduit que les grands écarts à l’espérance sont moins probables.
Un ordre de grandeur typique des écarts à l’espérance
Explication
L’écart-type sert de repère pour apprécier la taille habituelle des écarts à l’espérance : les écarts fréquents sont souvent du même ordre de grandeur que σ. Il ne donne pas une probabilité exacte.
L’inégalité formalise l’idée que les grands écarts deviennent moins probables
Explication
L’écart-type fournit une intuition sur la dispersion, et Bienaymé-Tchebychev la traduit en borne probabiliste. La formule ne remplace pas σ par la moyenne et n’exige pas que la variable soit centrée sur zéro.
Π=(X1+⋯+X10)/10
Explication
La moyenne d’échantillon est bien la somme des dix variables divisée par 10. Les autres expressions ne correspondent pas à la définition donnée.
Elles sont indépendantes et suivent la même loi binomiale
Explication
L’exemple suppose que les dix variables sont indépendantes et de même loi binomiale. Ni la normalité ni des lois différentes ne sont imposées.
À |Π-E(Π)|<2
Explication
Comme 10,3 et 14,3 sont à 2 unités de 12,3, l’intervalle se reformule en un écart strictement inférieur à 2 autour de l’espérance. Ce n’est donc pas une inégalité de type supérieur à 2.
Environ 0,88
Explication
On applique le complément de Bienaymé-Tchebychev : P(|Π-E(Π)|<2) ≥ 1 - 0,47355/4 ≈ 0,88. Cette valeur est donc bien la borne inférieure cherchée.
Mémorisez les réponses avec 8 flashcards sur Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et applications.
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev — définition ?
Borne la probabilité d’un écart à l’espérance par la variance et un seuil.
Écart-type — rôle ?
Mesure la dispersion typique de la variable autour de son espérance.
Application aux moyennes — objectif ?
Estimer la probabilité que la moyenne d’échantillon soit dans un intervalle.
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