Flashcards : Intégrales et mécanique des solides — 73 cartes

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1Question

Quelle est la formule de la masse d'un solide D de masse volumique ρ(x,y,z) ?

Réponse

$M(D)=\iiint_D \rho(x,y,z)\,dxdydz$

2Question

Comment calcule-t-on le volume d'un solide D ?

Réponse

$V(D)=\iiint_D dxdydz$

3Question

Quelle relation lie la masse et le volume pour une masse volumique constante ρ ?

Réponse

$M(D)=\rho V(D)$

4Question

Comment s'exprime la coordonnée $x_G$ du centre d'inertie G ?

Réponse

$x_G=\frac{1}{M(D)}\iiint_D x\rho\,dxdydz$

5Question

Comment s'exprime la coordonnée $y_G$ du centre d'inertie G ?

Réponse

$y_G=\frac{1}{M(D)}\iiint_D y\rho\,dxdydz$

6Question

Comment s'exprime la coordonnée $z_G$ du centre d'inertie G ?

Réponse

$z_G=\frac{1}{M(D)}\iiint_D z\rho\,dxdydz$

7Question

Quels sont les termes diagonaux de la matrice d'inertie dans une base orthonormée ?

Réponse

$\iiint_D(y^2+z^2)\rho\,dxdydz$ , $\iiint_D(x^2+z^2)\rho\,dxdydz$ , $\iiint_D(x^2+y^2)\rho\,dxdydz$

8Question

Quels sont les termes extradiagonaux de la matrice d'inertie dans une base orthonormée ?

Réponse

$\iiint_D -xy\rho\,dxdydz$ , $\iiint_D -xz\rho\,dxdydz$ , $\iiint_D -yz\rho\,dxdydz$

9Question

Qu'est-ce que l'intégrale double de f sur D représente géométriquement ?

Réponse

Le volume entre le graphe de f et le plan (O,x,y).

10Question

Quelle est la première étape pour calculer une intégrale double ?

Réponse

Déterminer les sections du domaine.

11Question

Quelle formule donne le théorème de Fubini-Tonelli pour une fonction continue sur D ?

Réponse

$\iint_D f(x,y)\,dxdy=\int_A\left(\int_{D_x}f(x,y)\,dy\right)dx=\int_B\left(\int_{D_y}f(x,y)\,dx\right)dy$ .

12Question

Quelle est la valeur de l'intégrale double de $\sin(x+y)$ sur le carré $[0,\frac{\pi}{2}]\times[0,\frac{\pi}{2}]$ ?

Réponse

Elle vaut 2.

13Question

Quelle est la valeur de l'intégrale double de $x^2+y^2$ sur le triangle de sommets (0,1), (-1,0) et (1,0) ?

Réponse

Elle vaut $\frac{1}{3}$ .

14Question

Que remplace dxdy lors du changement en coordonnées polaires ?

Réponse

dxdy est remplacé par $r\,drd\theta$ .

15Question

Par quelles expressions x et y sont-ils remplacés en coordonnées polaires ?

Réponse

x et y sont remplacés par $r\cos\theta$ et $r\sin\theta$ .

16Question

Quelle est la formule du changement polaire pour une intégrale double ?

Réponse

$\iint_D f(x,y)\,dxdy=\iint_{D_{polaire}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,rdrd\theta$ .

17Question

Quel est le domaine polaire du quart d’anneau $1\le x^2+y^2\le4$ , x≥0, y≥0 ?

Réponse

Le domaine polaire est $[1,2]\times[0,\frac{\pi}{2}]$ .

18Question

Quelle est la valeur de $\iint_D\frac{1}{x^2+y^2}\,dxdy$ pour le quart d’anneau donné ?

Réponse

La valeur est $\frac{\pi}{2}\ln 2$ .

19Question

Qu'est-ce qu'une intégrale triple de f(x,y,z) sur D ?

Réponse

C'est l'intégrale d'une fonction de trois variables sur un sous-ensemble de R³.

20Question

Quelle est la première étape du calcul d'une intégrale triple ?

Réponse

Fixer une variable et calculer une intégrale double sur la section correspondante.

21Question

Quelle est la formule de l'élément de volume en coordonnées cylindriques ?

Réponse

$dxdydz=r\,drd\theta dz$ .

22Question

Comment s'expriment x et y en coordonnées cylindriques ?

Réponse

$x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$ .

23Question

Quelle est la formule de l'élément de volume en coordonnées sphériques ?

Réponse

$dxdydz=r^2\sin\theta\,drd\theta d\phi$ .

24Question

Comment s'expriment x, y et z en coordonnées sphériques ?

Réponse

$x=r\sin\theta\cos\phi$ , $y=r\sin\theta\sin\phi$ , $z=r\cos\theta$ .

25Question

Quelle est la formule du volume d'une pyramide droite de base carrée ?

Réponse

$V=\frac{a^2h}{3}$ .

26Question

Où se situe le centre d'inertie d'une pyramide droite homogène de hauteur h ?

Réponse

À $z_G=\frac{h}{4}$ avec $x_G=y_G=0$ .

27Question

Quelle est la formule générale du changement de variables pour une application inversible C¹ ?

Réponse

$\iiint_{f(D)}k(x)\,dx=\iiint_D k(f(X))\left|\det\nabla f(X)\right|\,dX$ .

28Question

Quelle est la valeur du jacobien pour les coordonnées sphériques ?

Réponse

Le jacobien vaut $r^2\sin\theta$ .

29Question

Que vaut l'intégrale des produits de coordonnées associées au changement de signe normal à un plan de symétrie ?

Réponse

Elle est nulle.

30Question

Quelle conséquence a un plan de symétrie sur la coordonnée normale du centre d'inertie ?

Réponse

Cette coordonnée du centre d'inertie est nulle.

31Question

Quel est l'effet d'un plan de symétrie sur l'axe normal au plan dans un solide homogène ?

Réponse

L'axe normal est un axe principal d'inertie.

32Question

Où se situe le centre d'inertie si deux plans de symétrie orthogonaux passent par A ?

Réponse

Le centre d'inertie appartient à leur axe commun.

33Question

Quelle est la forme de la matrice d'inertie si deux plans de symétrie orthogonaux passent par A ?

Réponse

La matrice d'inertie est diagonale dans le repère associé.

34Question

Que vaut le centre d'inertie d'un solide avec trois plans de symétrie orthogonaux passant par A ?

Réponse

Le centre d'inertie coïncide avec A.

35Question

Qu'est-ce qu'un champ vectoriel en mécanique ?

Réponse

Une application associant à chaque point M un vecteur V(M) de R3.

36Question

Qu'est-ce qu'un champ scalaire en mécanique ?

Réponse

Une application associant à chaque point M un nombre réel f(M).

37Question

Comment s'écrit une intégrale triple en fonction des coordonnées (x,y,z) ?

Réponse

$\iiint_{(x,y,z)\in D} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$

38Question

Comment peut-on exprimer une intégrale triple sur un domaine D ?

Réponse

Comme une intégrale sur les points M du domaine, $\int_{M\in D} f(M)\,dH^3(M)$ .

39Question

Quelle est la formule d'une intégrale triple avec élément de volume ?

Réponse

$\iiint_{(x,y,z)\in D} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\int_{M\in D} f(M)\,dH^3(M)$

40Question

Que désigne $dH^3(M)$ dans une intégrale triple ?

Réponse

Un élément de volume.

41Question

Comment s'écrit l'intégrale vectorielle d'un champ $\vec V(M)$ ?

Réponse

$\int_{M\in D} \vec V(M)\,dH^3(M)$

42Question

À quoi équivaut l'intégrale vectorielle d'un champ $\vec V(M)$ ?

Réponse

Au vecteur formé par les intégrales triples de ses trois composantes.

43Question

Sur quel domaine le changement en coordonnées polaires calcule-t-il l'intégrale donnée?

Réponse

Sur le quart de disque unité où x≥0, y≥0, et x²+y²≤1.

44Question

Quelle est la valeur de l'intégrale $\iint_D \frac{1}{1+x^2+y^2} \, dx \, dy$ sur le quart de disque unité?

Réponse

La valeur est $\frac{\pi \log 2}{4}$ .

45Question

Sur quel domaine est calculée l'intégrale triple $\iiint_D x \, dx \, dy \, dz$ ?

Réponse

Sur le domaine tétraédrique où x≥0, y≥0, z≥0 et x+y+z≤1.

46Question

Quelle est la valeur de l'intégrale triple $\iiint_D x \, dx \, dy \, dz$ sur le domaine tétraédrique?

Réponse

La valeur est $\frac{1}{24}$ .

47Question

Comment est défini le centre d'inertie G d'un solide S ?

Réponse

Par $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{m(S)}\int_S\rho\,\overrightarrow{OM}\,dH^3(M)$ .

48Question

Quelle formule donne le centre d'inertie d'un assemblage de deux solides ?

Réponse

$\overrightarrow{OG}=\frac{m_1\overrightarrow{OG_1}+m_2\overrightarrow{OG_2}}{m_1+m_2}$ .

49Question

Quelle formule donne le centre d'inertie d'un solide avec une partie retirée ?

Réponse

$\overrightarrow{OG}=\frac{m_1\overrightarrow{OG_1}-m_2\overrightarrow{OG_2}}{m_1-m_2}$ .

50Question

Que donnent les théorèmes de Guldin pour le volume engendré par une surface ?

Réponse

$H^3(V)=2\pi R_{G_S}H^2(S)$ .

51Question

Que donnent les théorèmes de Guldin pour la surface engendrée par un arc ?

Réponse

$H^2(S)=2\pi R_{G_L}H^1(L)$ .

52Question

Quelle relation exprime la dérivée particulaire d'une intégrale sur un solide en mouvement ?

Réponse

$\frac{\partial}{\partial t}\int_{S(t)}\rho\,\vec h\,dH^3=\int_{S(t)}\rho\,\frac{d\vec h}{dt}\,dH^3$ .

53Question

Comment s'expriment la vitesse et l'accélération du centre d'inertie ?

Réponse

$\vec V(G)=\frac{1}{m}\int_S\rho\,\vec V(M)\,dH^3$ et $\vec\Gamma(G)=\frac{1}{m}\int_S\rho\,\vec\Gamma(M)\,dH^3$ .

54Question

Quelle est la masse et la position du centre d'inertie d'un cône homogène ?

Réponse

Masse $m=\frac{\rho\pi R^2h}{3}$ et centre à $\frac{3h}{4}$ du sommet.

55Question

Qu'est-ce qu'un solide indéformable ?

Réponse

Un solide dont la distance entre ses points matériels ne varie pas dans le temps.

56Question

Pourquoi un repère orthonormé attaché à un solide indéformable reste-t-il orthonormé ?

Réponse

Parce que les longueurs et produits scalaires entre ses vecteurs de base sont conservés.

57Question

Comment varient les coordonnées d’un point matériel dans le repère attaché au solide indéformable ?

Réponse

Elles ne varient pas au cours du temps.

58Question

Quelle relation vérifie la transformation linéaire associée à un solide indéformable ?

Réponse

$\overrightarrow{M_tN_t}=L_t(\overrightarrow{M_0N_0})$

59Question

Que conserve la transformation linéaire associée à un solide indéformable ?

Réponse

Elle conserve les longueurs.

60Question

Quelle propriété vérifie la matrice $O_t$ de la transformation linéaire d’un solide indéformable ?

Réponse

Elle est orthogonale et vérifie $O_t^{\mathsf T}O_t=I$ .

61Question

Quelle est la valeur du déterminant de la transformation $L_t$ pour un mouvement continu d’un solide indéformable ?

Réponse

$\det L_t=1$

62Question

Quelle conséquence a $\det L_t=1$ sur $\det \nabla f_t$ dans un mouvement continu d’un solide indéformable ?

Réponse

$\det \nabla f_t=1$

63Question

Qu'est-ce que le vecteur $\vec{\Omega}_t$ représente pour un solide ?

Réponse

Le vecteur vitesse de rotation du solide par rapport au repère fixe.

64Question

Quelle relation lie la dérivée temporelle des vecteurs de base $\vec{e}_i$ au vecteur vitesse de rotation ?

Réponse

$\frac{d\vec{e}_i}{dt}\bigg|_R=\vec{\Omega}_t \wedge \vec{e}_i$ pour $i=1,2,3$ .

65Question

Comment s'exprime la vitesse d'un point $B$ d'un solide en fonction d'un point $A$ et de $\vec{\Omega}_t$ ?

Réponse

$\vec{V}(B/R)=\vec{V}(A/R)+\overrightarrow{AB} \wedge \vec{\Omega}_t$ .

66Question

Comment se composent les vitesses dans un système avec un solide $S$ et deux repères $R_1$ et $R$ ?

Réponse

$\vec{V}(M\in S/R)=\vec{V}(M\in S/R_1)+\vec{V}(M\in R_1/R)$ .

67Question

Quelle est la formule de composition des vitesses de rotation entre trois repères ?

Réponse

$\vec{\Omega}(R_2/R)=\vec{\Omega}(R_2/R_1)+\vec{\Omega}(R_1/R)$ .

68Question

Quelle est l'expression du vecteur vitesse de rotation pour une rotation autour de l'axe fixe $Oz$ d'angle $\theta$ ?

Réponse

$\vec{\Omega}(S/R)=\dot{\theta}\,\vec{k}$ .

69Question

Comment s'écrit la vitesse de rotation avec les angles d'Euler $\psi, \theta, \phi$ ?

Réponse

$\vec{\Omega}(S/R)=\dot{\psi}\,\vec{z}+\dot{\theta}\,\vec{u}+\dot{\phi}\,\vec{z}'$ .

70Question

Qu'est-ce qu'un torseur vectoriel $\vec{T}$ ?

Réponse

Un champ vectoriel tel que $\vec{T}(B)=\vec{T}(A)+\overrightarrow{BA} \wedge \vec{R}$ pour un vecteur $\vec{R}$ et tous points $A,B$ .

71Question

Quels champs sont des champs vectoriels ?

Réponse

Le champ gravitationnel, électrique, magnétique, des vitesses et des accélérations.

72Question

Quels champs sont des champs scalaires ?

Réponse

La température et la masse volumique.

73Question

Quelle est la formule du vecteur vitesse de rotation d'un solide avec angles d'Euler ?

Réponse

$\vec{\Omega}(S/R)=\dot{\psi}\,\vec{z}+\dot{\theta}\,\vec{u}+\dot{\varphi}\,\vec{z}'$

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Teste tes connaissances avec un QCM de 58 questions sur Intégrales et mécanique des solides.

1. Pour un solide de masse volumique variable $\rho(x,y,z)$ , quelle expression donne sa masse ?

2. Dans quel cas peut-on écrire $M(D)=\rho V(D)$ pour un solide ?

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