Fiche de révision : Intégrales et mécanique des solides

📋 Plan du Cours

1. Masse centre et matrice d’inertie
2. Intégrales doubles et Fubini-Tonelli
3. Coordonnées polaires
4. Intégrales triples et coordonnées
5. Changements de variables et symétries
6. Notations mécaniques des intégrales
7. Exercices d’intégrales multiples
8. Centre d’inertie et théorèmes de Guldin
9. Solide indéformable et repères
10. Vitesses, rotations et torseurs
11. Champs vectoriels et scalaires
12. Vecteur vitesse de rotation
13. Torseurs et champs de moments
14. Torseurs fondamentaux de la mécanique
15. Matrice et opérateur d’inertie
16. Principe fondamental et résolution
17. Applications dynamiques et équations différentielles
18. Dynamique du volant en virage

📖 1. Masse centre et matrice d’inertie

📝 Points essentiels

📐 Formule — La masse d’un solide D de masse volumique ρ(x,y,z) est $M(D)=\iiint_D \rho(x,y,z)\,dxdydz$, et son volume est $V(D)=\iiint_D dxdydz$.

📐 Formule — Pour une masse volumique constante ρ, la masse vérifie $M(D)=\rho V(D)$.

📐 Formule — Les coordonnées du centre d’inertie G sont $x_G=\frac{1}{M(D)}\iiint_D x\rho\,dxdydz$, $y_G=\frac{1}{M(D)}\iiint_D y\rho\,dxdydz$ et $z_G=\frac{1}{M(D)}\iiint_D z\rho\,dxdydz$.

• La matrice d’inertie dans une base orthonormée est symétrique et possède pour termes diagonaux $\iiint_D(y^2+z^2)\rho\,dxdydz$, $\iiint_D(x^2+z^2)\rho\,dxdydz$ et $\iiint_D(x^2+y^2)\rho\,dxdydz$, avec les termes extradiagonaux $\iiint_D-xy\rho\,dxdydz$, $\iiint_D-xz\rho\,dxdydz$ et $\iiint_D-yz\rho\,dxdydz$.

💡 Astuce mémo

Masse → centre d’inertie → rotation

📖 2. Intégrales doubles et Fubini-Tonelli

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale double : Le volume compris entre le graphe de f et le plan (O,x,y), compté positivement là où f est positive et négativement là où f est négative.

★ À maîtriser

• 🔄 Le calcul d’une intégrale double suit ces étapes:
  1. Déterminer les sections du domaine
  2. Calculer l’intégrale simple sur chaque section
  3. Intégrer le résultat par rapport à la variable fixée

📐 Formule — Si f est continue et D est un sous-ensemble borné fermé de R², le théorème de Fubini-Tonelli donne $\iint_D f(x,y)\,dxdy=\int_A\left(\int_{D_x}f(x,y)\,dy\right)dx=\int_B\left(\int_{D_y}f(x,y)\,dx\right)dy$.

Compléments

• Sur le carré $[0,\frac{\pi}{2}]\times[0,\frac{\pi}{2}]$, l’intégrale double $\iint \sin(x+y)\,dxdy$ vaut 2.

• Sur le triangle de sommets (0,1), (-1,0) et (1,0), l’intégrale $\iint_D(x^2+y^2)\,dxdy$ vaut $\frac{1}{3}$.

💡 Astuce mémo

Fixer x puis y, ou fixer y puis x

📖 3. Coordonnées polaires

★ À maîtriser

• Le changement de variables polaires remplace dxdy par $r\,drd\theta$, remplace x et y par $r\cos\theta$ et $r\sin\theta$, puis transforme D en son domaine polaire.

📐 Formule — Le changement polaire s’écrit $\iint_D f(x,y)\,dxdy=\iint_{D_{polaire}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,rdrd\theta$.

Compléments

• Pour le quart d’anneau défini par $1\le x^2+y^2\le4$, x≥0 et y≥0, le domaine polaire est $[1{,}2]\times[0,\frac{\pi}{2}]$.

• Pour le quart d’anneau précédent, $\iint_D\frac{1}{x^2+y^2}\,dxdy=\frac{\pi}{2}\ln 2$.

💡 Astuce mémo

Élément → fonction → domaine

📖 4. Intégrales triples et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale triple : L’intégrale d’une fonction de trois variables sur un sous-ensemble de R³.

📝 Points essentiels

• 🔄 Le calcul d’une intégrale triple suit ces étapes:
  1. Fixer une variable
  2. Calculer l’intégrale double sur la section correspondante
  3. Intégrer le résultat par rapport à la variable fixée

📐 Formule — En coordonnées cylindriques, $dxdydz=r\,drd\theta dz$, avec $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$.

📐 Formule — En coordonnées sphériques, $dxdydz=r^2\sin\theta\,drd\theta d\phi$, avec $x=r\sin\theta\cos\phi$, $y=r\sin\theta\sin\phi$ et $z=r\cos\theta$.

• Une pyramide droite homogène de base carrée de côté a et de hauteur h a pour volume $V=\frac{a^2h}{3}$, masse $M=\rho\frac{a^2h}{3}$ et centre d’inertie situé à $z_G=\frac{h}{4}$ avec xG=yG=0.

💡 Astuce mémo

Cartésiennes → cylindriques → sphériques

📖 5. Changements de variables et symétries

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une application inversible de classe C¹, la formule générale de changement de variables est $\iiint_{f(D)}k(x)\,dx=\iiint_D k(f(X))\left|\det\nabla f(X)\right|\,dX$.

• Si un plan passant par A est un plan de symétrie d’un solide homogène, les intégrales des produits de coordonnées associées au changement de signe de la coordonnée normale sont nulles, cette coordonnée du centre d’inertie est nulle et l’axe normal au plan est un axe principal d’inertie.

• Si deux plans de symétrie orthogonaux passent par A, le centre d’inertie appartient à leur axe commun et la matrice d’inertie est diagonale dans le repère associé.

• Si un solide possède un axe de révolution (A,e3), son centre d’inertie appartient à cet axe, sa matrice d’inertie est diagonale dans le repère associé et les intégrales de x1²ρ et x2²ρ sont égales.

Compléments

• Pour les coordonnées sphériques, le jacobien vaut $\left|\det\nabla f\right|=r^2\sin\theta$.

• Si un solide possède trois plans de symétrie orthogonaux passant par A, son centre d’inertie coïncide avec A.

💡 Astuce mémo

Symétrie → intégrales croisées nulles → axes principaux

📖 6. Notations mécaniques des intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ vectoriel : Application qui associe à chaque point M de l’espace affine un vecteur V(M) de R3.
• Champ scalaire : Application qui associe à chaque point M de l’espace affine un nombre réel f(M).

★ À maîtriser

📐 Formule — Une intégrale triple s’écrit $\iiint_{(x,y,z)\in D} f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\int_{M\in D}f(M)\,dH^3(M)$, où dH3(M) désigne un élément de volume.

• L’intégrale vectorielle d’un champ V(M) s’écrit $\int_{M\in D}\vec V(M)\,dH^3(M)$ et équivaut au vecteur formé par les intégrales triples de ses trois composantes.

Compléments

📌 En mécanique, les coordonnées (x,y,z) d’un point M permettent d’écrire f(x,y,z)=f(M), et une intégrale triple peut s’écrire soit avec les coordonnées, soit comme une intégrale sur les points M du domaine.

💡 Astuce mémo

dM reste ambigu, tandis que dH3(M) identifie explicitement un volume

📖 7. Exercices d’intégrales multiples

📝 Points essentiels

• Sur le quart de disque unité x≥0, y≥0, x2+y2≤1, le changement de variables polaires permet de calculer l’intégrale $\iint_D\frac{1}{1+x^2+y^2}\,dx\,dy=\frac{\pi\log 2}{4}$.

• Sur le domaine tétraédrique x≥0, y≥0, z≥0 et x+y+z≤1, l’intégrale triple $\iiint_Dx\,dx\,dy\,dz$ vaut $\frac{1}{24}$.

💡 Astuce mémo

Rectangulaire → quelconque → polaire/cylindrique → sphérique

📖 8. Centre d’inertie et théorèmes de Guldin

🔑 Notions clés & Définitions

• Centre d’inertie : Le centre d’inertie G d’un solide S de masse volumique ρ est défini par $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{m(S)}\int_S\rho\,\overrightarrow{OM}\,dH^3(M)$, avec $m(S)=\int_S\rho\,dH^3(M)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un assemblage de deux solides de masses m1 et m2 et de centres G1 et G2, le centre d’inertie vérifie $\overrightarrow{OG}=\frac{m_1\overrightarrow{OG_1}+m_2\overrightarrow{OG_2}}{m_1+m_2}$.

📐 Formule — Pour un solide obtenu en retirant une partie de masse m2 à un solide de masse m1, le centre d’inertie vérifie $\overrightarrow{OG}=\frac{m_1\overrightarrow{OG_1}-m_2\overrightarrow{OG_2}}{m_1-m_2}$.

📐 Formule — Les théorèmes de Guldin donnent $H^3(V)=2\pi R_{G_S}H^2(S)$ pour le volume engendré par une surface et $H^2(S)=2\pi R_{G_L}H^1(L)$ pour la surface engendrée par un arc.

📐 Formule — La vitesse et l’accélération du centre d’inertie d’un solide vérifient respectivement $\vec V(G)=\frac{1}{m}\int_S\rho\,\vec V(M)\,dH^3$ et $\vec\Gamma(G)=\frac{1}{m}\int_S\rho\,\vec\Gamma(M)\,dH^3$.

Compléments

📐 Formule — La dérivée particulaire permet de dériver une intégrale sur un solide indéformable en mouvement selon $\frac{\partial}{\partial t}\int_{S(t)}\rho\,\vec h\,dH^3=\int_{S(t)}\rho\,\frac{d\vec h}{dt}\,dH^3$.

• Pour un cône homogène de hauteur h et de rayon de base R, la masse vaut $m=\frac{\rho\pi R^2h}{3}$ et son centre d’inertie est situé à la distance $\frac{3h}{4}$ du sommet sur l’axe de révolution.

💡 Astuce mémo

Masse répartie → centre d’inertie ; révolution autour d’un axe → volume ou surface

📖 9. Solide indéformable et repères

🔑 Notions clés & Définitions

• Solide indéformable : Si la distance séparant les points matériels qui le constituent ne varie pas au cours du temps.

★ À maîtriser

• Un repère orthonormé attaché à un solide indéformable reste orthonormé au cours du temps, car les longueurs et les produits scalaires entre ses vecteurs de base sont conservés.

• Les coordonnées d’un point matériel dans le repère attaché au solide indéformable ne varient pas au cours du temps.

📐 Formule — La matrice O_t de la transformation linéaire d’un solide indéformable est orthogonale et vérifie $O_t^{\mathsf T}O_t=I$.

📐 Formule — Pour un mouvement continu d’un solide indéformable, le déterminant de la transformation vaut toujours $\det L_t=1$ et donc $\det\nabla f_t=1$.

Compléments

📐 Formule — La transformation linéaire associée à un solide indéformable vérifie $\overrightarrow{M_tN_t}=L_t(\overrightarrow{M_0N_0})$ et conserve les longueurs.

💡 Astuce mémo

La translation déplace l’origine, la rotation transforme les axes

📖 10. Vitesses, rotations et torseurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse de rotation : Le vecteur vitesse de rotation du solide S, ou du repère attaché au solide, par rapport au repère fixe R.
• Torseur : Champ vectoriel T pour lequel il existe un vecteur R tel que $\vec T(B)=\vec T(A)+\overrightarrow{BA}\wedge\vec R$ pour tous les points A et B.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les vecteurs de base du repère attaché vérifient $\frac{d\vec e_i}{dt}\bigg|_R=\vec\Omega_t\wedge\vec e_i$ pour i=1,2,3.

📐 Formule — La vitesse d’un point B d’un solide vérifie $\vec V(B/R)=\vec V(A/R)+\overrightarrow{AB}\wedge\vec\Omega_t$.

📐 Formule — Les vitesses se composent selon $\vec V(M\in S/R)=\vec V(M\in S/R_1)+\vec V(M\in R_1/R)$.

• Le champ des vitesses d’un solide est un torseur appelé torseur cinématique, dont la résultante est le vecteur vitesse de rotation.

Compléments

📐 Formule — Les vitesses de rotation se composent selon $\vec\Omega(R_2/R)=\vec\Omega(R_2/R_1)+\vec\Omega(R_1/R)$.

📐 Formule — Pour une rotation autour d’un axe fixe Oz d’angle θ, le vecteur vitesse de rotation vaut $\vec\Omega(S/R)=\dot\theta\,\vec k$.

📐 Formule — Avec les angles d’Euler ψ, θ et ϕ, la vitesse de rotation s’écrit $\vec\Omega(S/R)=\dot\psi\,\vec z+\dot\theta\,\vec u+\dot\phi\,\vec z'$.

💡 Astuce mémo

Repère → vitesse de rotation → vitesse des points → torseur

📖 11. Champs vectoriels et scalaires

📝 Points essentiels

• Les exemples de champs vectoriels et scalaires sont:
  • le champ gravitationnel
  • le champ électrique
  • le champ magnétique
  • le champ des vitesses
  • le champ des accélérations
  • la température
  • la masse volumique

💡 Astuce mémo

Champ vectoriel = vecteur en chaque point ; champ scalaire = nombre en chaque point

📖 12. Vecteur vitesse de rotation

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le vecteur vitesse de rotation d’un solide décrit par les angles d’Euler vérifie $\vec{\Omega}(S/R)=\dot{\psi}\,\vec{z}+\dot{\theta}\,\vec{u}+\dot{\varphi}\,\vec{z}'$.

💡 Astuce mémo

Angles d’Euler : ψ autour de z, θ autour de u, φ autour de z′

📖 13. Torseurs et champs de moments

🔑 Notions clés & Définitions

• Torseur : Champ vectoriel vérifiant $\vec{T}(B)=\vec{T}(A)+\overrightarrow{BA}\wedge\vec{R}$ pour tous les points A et B, où $\vec{R}$ est sa résultante.
• Champ équiprojectif : Champ vectoriel vérifiant $\vec{T}(B)\cdot\overrightarrow{AB}=\vec{T}(A)\cdot\overrightarrow{AB}$ pour tous les points A et B.
• Champ des moments : Défini par $\vec{M}_{h}(A)=\int_S\overrightarrow{AM}\wedge\vec{h}(M)\,dH^3(M)$.

📝 Points essentiels

• Un champ vectoriel est un torseur si et seulement s’il est équiprojectif.

💡 Astuce mémo

Résultante : translation globale ; moment : valeur locale du torseur

📖 14. Torseurs fondamentaux de la mécanique

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le torseur cinétique a pour résultante $\vec{R}_{\mathrm{cinétique}}=m(S)\vec{V}(G)$ et pour moment $\vec{\sigma}_S(A)=\int_S\overrightarrow{AM}\wedge\rho\vec{V}(M)\,dH^3(M)$.

📐 Formule — Le torseur dynamique a pour résultante $\vec{R}_{\mathrm{dynamique}}=m(S)\vec{\Gamma}(G)$ et pour moment $\vec{\delta}_S(A)=\int_S\overrightarrow{AM}\wedge\rho\vec{\Gamma}(M)\,dH^3(M)$.

📐 Formule — Le torseur des efforts de pesanteur a pour résultante $\vec{P}(S)=m(S)\vec{g}$ et pour moment au point A $\vec{M}_{\mathrm{pesanteur}}(A)=\overrightarrow{AG}\wedge\vec{P}(S)$.

💡 Astuce mémo

C-D-P : cinétique, dynamique, pesanteur

📖 15. Matrice et opérateur d’inertie

🔑 Notions clés & Définitions

• Opérateur d’inertie : Application $\vec{L}^{\,\mathrm{inertie}}_A(\vec{u})=\int_S\overrightarrow{AM}\wedge(\vec{u}\wedge\overrightarrow{AM})\rho\,dH^3(M)$, qui est linéaire et symétrique.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le moment cinétique au point A vérifie $\vec{\sigma}_S(A)=m\overrightarrow{AG}\wedge\vec{V}(A)+\vec{L}^{\,\mathrm{inertie}}_A(\vec{\Omega})$.

📐 Formule — Le théorème de Huygens donne $I(A,S)=I(G,S)+m\begin{pmatrix}a_2^2+a_3^2&-a_1a_2&-a_1a_3\\-a_1a_2&a_1^2+a_3^2&-a_2a_3\\-a_1a_3&-a_2a_3&a_1^2+a_2^2\end{pmatrix}$ lorsque les coordonnées de A dans le repère d’origine G sont $(a_1,a_2,a_3)$.

• Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée, ce qui permet de choisir les axes principaux d’inertie.

Compléments

📐 Formule — Dans une base orthonormée, la matrice d’inertie est $I(A,S)=\begin{pmatrix}\int(x_2^2+x_3^2)\rho dH^3&-\int x_1x_2\rho dH^3&-\int x_1x_3\rho dH^3\\-\int x_1x_2\rho dH^3&\int(x_1^2+x_3^2)\rho dH^3&-\int x_2x_3\rho dH^3\\-\int x_1x_3\rho dH^3&-\int x_2x_3\rho dH^3&\int(x_1^2+x_2^2)\rho dH^3\end{pmatrix}$.

💡 Astuce mémo

Choix du point et de la base → moments, produits et axes principaux d’inertie

📖 16. Principe fondamental et résolution

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le principe fondamental de la dynamique s’écrit T_{\mathrm{dynamique}}(S)=T_{\mathrm{efforts\ extérieurs\to S}(S).

📐 Formule — Pour un solide indéformable, le moment dynamique vérifie $\vec{\delta}_S(A)=\frac{d\vec{\sigma}_S(A)}{dt}+\vec{V}(A)\wedge m\vec{V}(G)$.

• L’étude du mouvement d’un solide par le PFD suit les étapes suivantes : déterminer les vitesses, les éléments géométriques des masses, le torseur cinétique, le torseur dynamique, le torseur des efforts extérieurs, puis appliquer le PFD et linéariser si les mouvements sont petits.

💡 Astuce mémo

Vitesses → inertie → cinétique → dynamique → efforts → équations

📖 17. Applications dynamiques et équations différentielles

★ À maîtriser

📐 Formule — Une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants $a_1\dot y+a_0y=0$ admet les solutions $y(t)=Ae^{rt}$, où r est la racine de $a_1r+a_0=0$.

📐 Formule — Pour une équation différentielle linéaire du second ordre, le polynôme caractéristique associé à $a_2\ddot y+a_1\dot y+a_0y=0$ est $P_{\mathrm{car}}(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$.

📌 Pour une racine double r du polynôme caractéristique, la solution homogène est $y(t)=A_1e^{rt}+A_2te^{rt}$, tandis que pour deux racines distinctes r_1 et r_2 elle est $y(t)=A_1e^{r_1t}+A_2e^{r_2t}$.

Compléments

📐 Formule — Pour un disque lesté, l’équation du mouvement est $\left(\frac{m_D R^2}{2}+m_Bb^2\right)\ddot\alpha=-m_Bbg\cos\alpha$.

📐 Formule — Autour de l’équilibre stable du disque lesté, la linéarisation conduit à $\ddot\theta+\omega^2\theta=0$ avec $\omega^2=\frac{m_Bbg}{m_DR^2/2+m_Bb^2}>0$.

📖 18. Dynamique du volant en virage

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie cinétique : Scalaire $$E_c(S)=\int_{M\in S}\frac12|\vec V(M)|^2\rho,dH^3

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans le modèle du bus, la vitesse de rotation du bus est $\vec\Omega(B/R_g)=\dot\alpha\,\vec z_g$ et, lorsque $\dot\alpha=\omega$ et $\dot\varphi=\Omega$ avec $\omega\gg\Omega$, le vecteur rotation du volant est approximativement $\vec\Omega(V/R_g)=\omega\sin\psi\,\vec n-\omega\sin\theta\cos\psi\,\vec w+\Omega\,\vec z_v$.

📐 Formule — Avec la matrice d’inertie diagonale de coefficients $A,A,C$, le moment cinétique approximatif du volant en G est $\vec\sigma_V(G)=A\omega\sin\psi\,\vec n-A\omega\sin\theta\cos\psi\,\vec w+C\Omega\,\vec z_v$.

📐 Formule — Dans l’approximation $\omega\gg\Omega$, le moment dynamique du volant est approximativement $\vec\delta_V(G)=C\Omega\omega\cos\psi\sin\theta\,\vec n+C\Omega\omega\sin\psi\,\vec w$.

📌 Pour éviter que la rotation du volant ne perturbe le comportement du bus dans le virage, il faut choisir $\theta=\psi=0$, ce qui impose $\vec z_v=\vec z_b$ et annule approximativement les moments exercés dans la liaison pivot.

📐 Formule — Pour le disque roulant relié au point fixe H, la condition de roulement sans glissement donne $\dot\theta=-\frac{L}{R}\dot\psi$, avec $\vec V(G)=L\dot\psi\,\vec v$.

📐 Formule — L’équation du mouvement du disque soumis au couple moteur C est $\ddot\psi=\frac{-C(t)}{mRL+\frac{R}{L}J+\frac{L}{R}I}$, où $I=\frac{mR^2}{2}$ et $J=\frac{mR^2}{4}$.

📌 La condition de roulement sans glissement s’écrit $\frac{\|\vec R_{TI}\|}{\|\vec R_{NI}\|}\leq\mu$ et devient $\left|\frac{(mL+J/L)a}{(I/R)(at+b)^2+mg}\right|\leq\mu$.

• À vitesse initiale positive, le roulement sans glissement est plus facile à maintenir lorsque la roue accélère, c’est-à-dire lorsque $C<0$ et $a>0$, que lorsqu’elle freine, c’est-à-dire lorsque $C>0$ et $a<0$.

📐 Formule — Pour un solide indéformable, la dérivée du moment cinétique au point A vérifie $\frac{d\vec\sigma_S(A)}{dt}=m\,\overrightarrow{AG}\wedge\vec\Gamma(A)-\vec V(A)\wedge m\vec V(G)+I(A,S)\dot{\vec\Omega}+\vec\Omega\wedge I(A,S)\vec\Omega$.

📐 Formule — Le moment dynamique au point A s’écrit $\vec\delta_S(A)=m\,\overrightarrow{AG}\wedge\vec\Gamma(A)+I(A,S)\dot{\vec\Omega}+\vec\Omega\wedge I(A,S)\vec\Omega$.

📐 Formule — Pour un solide indéformable, l’énergie cinétique vérifie $E_c(S)=\frac12m\vec V(G)\cdot\vec V(A)+\frac12\vec\Omega\cdot\vec\sigma_S(A)$ pour tout point A du solide.

📐 Formule — En prenant A=G, l’énergie cinétique devient $E_c=\frac12m\|\vec V(G)\|^2+\frac12\vec\Omega\cdot[I(S,G)]\vec\Omega$.

📐 Formule — L’énergie cinétique d’un solide est égale à la moitié du comoment de son torseur cinématique et de son torseur cinétique : $E_c(S)=\frac12\,T_{cinématique}(S)\cdot T_{cinétique}(S)$.

📐 Formule — Pour un solide soumis à des efforts extérieurs quelconques, la puissance extérieure est $P^{ext\to S}=T_{cinématique}(S)\cdot T_{efforts\ extérieurs\to S}(S)$.

📐 Formule — Dans un référentiel galiléen, le théorème de l’énergie cinétique donne $\frac{dE_c(S)}{dt}=P^{ext\to S}$ pour un solide indéformable.

💡 Astuce mémo

Axe incliné → moments perturbateurs ; axe aligné → perturbation nulle

📊 Tableaux de synthèse

Facteurs jacobiens des coordonnées

Types de champs mécaniques