QCM : Intégrales et mécanique des solides — 58 questions

Question 1

1. Pour un solide de masse volumique variable $\rho(x,y,z)$ , quelle expression donne sa masse ?

M(D)=\iiint_D (x+y+z)\,dxdydz

M(D)=\iiint_D dxdydz

M(D)=\iiint_D \rho(x,y,z)\,dxdydz

M(D)=\rho V(D)

avec une valeur moyenne de

\rho

Explication

La masse s’obtient en intégrant la masse volumique sur tout le volume du solide. L’intégrale sans facteur de densité donne le volume, et la relation $M(D)=\rho V(D)$ exige une masse volumique constante.

Answer

$$M(D)=\iiint_D \rho(x,y,z)\,dxdydz$$

Question 2

2. Dans quel cas peut-on écrire $M(D)=\rho V(D)$ pour un solide ?

Lorsque

\rho

est constante dans tout le solide

Lorsque

\rho

dépend des coordonnées du point

Lorsque la forme du solide est décrite en coordonnées polaires

Lorsque le volume est calculé avec une densité égale à zéro

Explication

Le facteur $\rho$ peut être extrait de l’intégrale lorsque la masse volumique est constante. Si elle varie selon le point, il faut conserver $\rho(x,y,z)$ à l’intérieur de l’intégrale triple.

Answer

Lorsque $$\rho$$ est constante dans tout le solide

Question 3

3. Comment calcule-t-on la coordonnée $x_G$ du centre d’inertie d’un solide de masse $M(D)$ ?

x_G=\frac{1}{M(D)}\iiint_D x\rho\,dxdydz

x_G=\iiint_D x\,dxdydz

x_G=M(D)\iiint_D x\rho\,dxdydz

x_G=\frac{1}{V(D)}\iiint_D \rho\,dxdydz

Explication

La coordonnée $x_G$ est le moment pondéré par la masse volumique, divisé par la masse totale. Le volume ou la masse ne peuvent pas remplacer le facteur de normalisation approprié.

Answer

$$x_G=\frac{1}{M(D)}\iiint_D x\rho\,dxdydz$$

Question 4

4. Quel terme diagonal apparaît dans la matrice d’inertie lorsque l’axe considéré est l’axe des $x$ ?

\iiint_D (y^2+z^2)\rho\,dxdydz

\iiint_D (x^2+y^2)\rho\,dxdydz

\iiint_D (x^2+z^2)\rho\,dxdydz

\iiint_D -xy\rho\,dxdydz

Explication

Le moment d’inertie autour de l’axe des $x$ mesure la distance au carré dans le plan des coordonnées $y$ et $z$ . Les expressions contenant $x^2$ correspondent aux axes des $y$ ou des $z$ , tandis que $-xy$ est un terme extradiagonal.

Answer

$$\iiint_D (y^2+z^2)\rho\,dxdydz$$

Question 5

5. Quelle démarche décrit le calcul d’une intégrale double sur un domaine donné ?

Remplacer le domaine par son contour, puis intégrer la fonction sur cette frontière

Calculer d’abord le volume total, puis dériver ce volume selon les deux variables

Fixer les deux variables, calculer une constante sur chaque section, puis la sommer

Déterminer les sections, intégrer sur chacune, puis intégrer selon la variable fixée

Explication

Le calcul consiste à découper le domaine en sections, à effectuer une intégrale simple sur chaque section, puis à intégrer les résultats par rapport à la variable restante. Les autres démarches ne décrivent pas la construction d’une intégrale double.

Answer

Déterminer les sections, intégrer sur chacune, puis intégrer selon la variable fixée

Question 6

6. Que permet le théorème de Fubini-Tonelli pour une fonction continue sur un domaine borné fermé ?

Remplacer l’intégrale double par une intégrale sur le contour du domaine

Inverser l’ordre des intégrations en adaptant les bornes au même domaine

Intégrer la fonction sans tenir compte des sections horizontales ou verticales

Conserver les mêmes bornes après inversion, même si elles décrivent un autre domaine

Explication

Le théorème permet de calculer l’intégrale en intégrant selon l’une ou l’autre variable, à condition que les bornes décrivent correctement le domaine. Inverser l’ordre ne dispense donc pas de transformer les bornes.

Answer

Inverser l’ordre des intégrations en adaptant les bornes au même domaine

Question 7

7. Lors d’un changement de variables polaires, par quelle expression l’élément de surface $dxdy$ est-il remplacé ?

r\,drd\theta

\cos\theta\sin\theta\,drd\theta

drd\theta

r^2\,drd\theta

Explication

Le jacobien du changement polaire vaut $r$ , d’où $dxdy=r\,drd\theta$ . Une simple substitution de $x$ et $y$ sans ce facteur ne donne pas le bon élément de surface.

Answer

$$r\,drd\theta$$

Question 8

8. Quelle formule représente correctement une intégrale double après passage en coordonnées polaires ?

\iint_D f(x,y)\,dxdy=\iint_{D_{polaire}}f(r\sin\theta,r\cos\theta)\,drd\theta

\iint_D f(x,y)\,dxdy=\iint_{D_{polaire}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,dxd y

\iint_D f(x,y)\,dxdy=\iint_{D_{polaire}}f(r,\theta)\,r^2drd\theta

\iint_D f(x,y)\,dxdy=\iint_{D_{polaire}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,rdrd\theta

Explication

Le changement polaire remplace les coordonnées par $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$ , tout en introduisant le jacobien $r$ . Omettre ce facteur ou conserver $dxdy$ ne correspond pas au changement de variables.

Answer

$$\iint_D f(x,y)\,dxdy=\iint_{D_{polaire}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,rdrd\theta$$

Question 9

9. Quelle caractéristique distingue une intégrale triple d’une intégrale double ?

Elle porte sur quatre variables et un domaine spatial

Elle porte sur trois variables et un domaine de l’espace

Elle porte sur deux variables et une surface plane

Elle porte sur une variable et une courbe orientée

Explication

Une intégrale triple intègre une fonction de trois variables sur un sous-ensemble de l’espace tridimensionnel. L’intégrale double, elle, ne concerne que deux variables.

Answer

Elle porte sur trois variables et un domaine de l’espace

Question 10

10. Quelle démarche permet de calculer une intégrale triple en intégrant d’abord selon une variable fixée ?

Fixer deux variables, calculer une intégrale simple, puis multiplier par le volume

Projeter le domaine sur un plan, puis remplacer l’intégrale par une somme discrète

Calculer une intégrale simple sur une ligne, puis dériver le résultat obtenu

Calculer une intégrale double sur la section correspondante, puis intégrer le résultat

Explication

On fixe une variable, puis on évalue l’intégrale double sur la section du domaine associée à cette valeur. Le résultat dépend encore de la variable fixée et doit ensuite être intégré.

Answer

Calculer une intégrale double sur la section correspondante, puis intégrer le résultat

Question 11

11. Quel élément de volume convient aux coordonnées cylindriques définies par $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$ ?

r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi

r\,dr\,d\theta\,dz

r^2\,dr\,d\theta\,dz

dr\,d\theta\,dz

Explication

Le passage aux coordonnées cylindriques introduit le facteur jacobien $r$ , d’où l’élément $r\,dr\,d\theta\,dz$ . Le facteur $r^2\sin\theta$ appartient aux coordonnées sphériques.

Answer

$$r\,dr\,d\theta\,dz$$

Question 12

12. Pour une pyramide droite homogène de base carrée de côté $a$ et de hauteur $h$ , quelles sont sa masse et la position de son centre d’inertie ?

M=\rho\frac{a^2h}{3}

et

z_G=\frac{3h}{4}

, avec

x_G=y_G=0

M=\rho\frac{a^2h}{2}

et

z_G=\frac{h}{3}

, avec

x_G=y_G=0

M=\rho\frac{a^2h}{3}

et

z_G=\frac{h}{4}

, avec

x_G=y_G=0

M=\rho a^2h

et

z_G=\frac{h}{2}

, avec

x_G=y_G=0

Explication

Le volume de la pyramide vaut $\frac{a^2h}{3}$ , donc sa masse homogène vaut $\rho\frac{a^2h}{3}$ , et son centre d’inertie se situe à $z_G=\frac{h}{4}$ . La position $\frac{h}{2}$ correspondrait à une répartition différente de la masse.

Answer

$$M=\rho\frac{a^2h}{3}$$ et $$z_G=\frac{h}{4}$$, avec $$x_G=y_G=0$$

Question 13

13. Dans un changement de variables associé à une application inversible de classe $C^1$ , quel facteur doit accompagner l’intégrande ?

Le carré du déterminant du jacobien

La trace de la matrice jacobienne

La somme des dérivées partielles de l’application

La valeur absolue du déterminant du jacobien

Explication

La formule de changement de variables multiplie l’intégrande par $\left|\det\nabla f(X)\right|$ . Un simple remplacement des variables ne tient pas compte de la déformation des volumes.

Answer

La valeur absolue du déterminant du jacobien

Question 14

14. Un solide homogène possède un plan de symétrie passant par un point $A$ . Que peut-on déduire concernant la coordonnée normale et l’axe correspondant ?

La coordonnée normale du centre d’inertie est nulle et l’axe normal est principal

La coordonnée normale du centre d’inertie est constante et l’axe normal est quelconque

La coordonnée normale du centre d’inertie est maximale et l’axe normal est tangent

La coordonnée normale du centre d’inertie est négative et l’axe normal est secondaire

Explication

La symétrie annule les intégrales des produits de coordonnées associées au changement de signe de la coordonnée normale. Elle impose aussi une coordonnée nulle au centre d’inertie et fait de l’axe normal un axe principal.

Answer

La coordonnée normale du centre d’inertie est nulle et l’axe normal est principal

Question 15

15. Que se passe-t-il lorsqu’un solide possède deux plans de symétrie orthogonaux passant par $A$ ?

Le centre d’inertie appartient à leur axe commun et la matrice d’inertie est diagonale

Le centre d’inertie coïncide avec chacun des deux plans et la matrice d’inertie est scalaire

Le centre d’inertie est éloigné de leur axe commun et la matrice d’inertie est nulle

Le centre d’inertie appartient à leur intersection plane et la matrice d’inertie est antisymétrique

Explication

Les deux symétries imposent que le centre d’inertie se trouve sur l’axe commun aux plans. Elles annulent également les termes non diagonaux appropriés de la matrice d’inertie.

Answer

Le centre d’inertie appartient à leur axe commun et la matrice d’inertie est diagonale

Question 16

16. Pour un solide possédant un axe de révolution $\left(A,\vec e_3\right)$ , quelle propriété est correcte ?

Le centre d’inertie est dans un plan parallèle à l’axe et les intégrales de

x_1^2\rho

et

x_2^2\rho

sont différentes

Le centre d’inertie est à l’extérieur de l’axe et les intégrales de

x_1^2\rho

et

x_2^2\rho

sont nulles

Le centre d’inertie est dans un plan perpendiculaire à l’axe et les intégrales de

x_1^2\rho

et

x_2^2\rho

sont opposées

Le centre d’inertie est sur l’axe et les intégrales de

x_1^2\rho

et

x_2^2\rho

sont égales

Explication

La révolution autour de $\left(A,\vec e_3\right)$ rend les directions transverses équivalentes. Le centre d’inertie appartient donc à l’axe, la matrice est diagonale et les deux intégrales quadratiques sont égales.

Answer

Le centre d’inertie est sur l’axe et les intégrales de $$x_1^2\rho$$ et $$x_2^2\rho$$ sont égales

Question 17

17. Qu’est-ce qu’un champ vectoriel défini sur l’espace affine ?

Une application qui associe une matrice carrée à chaque domaine

Une application qui associe une surface orientée à chaque vecteur

Une application qui associe un nombre réel à chaque point

Une application qui associe un vecteur de

\mathbb R^3

à chaque point

Explication

Un champ vectoriel attribue à chaque point $M$ un vecteur $V(M)$ de $\mathbb R^3$ . L’association d’un nombre réel à chaque point définit plutôt un champ scalaire.

Answer

Une application qui associe un vecteur de $$\mathbb R^3$$ à chaque point

Question 18

18. Qu’est-ce qu’un champ scalaire défini sur l’espace affine ?

Une application qui associe un vecteur

V(M)

à chaque point

Une application qui associe un nombre réel

f(M)

à chaque point

Une application qui associe un tenseur d’inertie à chaque surface

Une application qui associe trois coordonnées à chaque domaine

Explication

Un champ scalaire fournit une valeur réelle $f(M)$ pour chaque point $M$ de l’espace affine. Un champ vectoriel fournirait au contraire un vecteur dépendant du point.

Answer

Une application qui associe un nombre réel $$f(M)$$ à chaque point

Question 19

19. Quelle écriture représente une intégrale triple sur un domaine $D$ avec une notation mécanique du volume ?

\iiint_{(x,y,z)\in D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\int_{M\in D}f(M)\,dH^3(M)

\iiint_{(x,y,z)\in D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\int_{M\in D}f(M)\,dH^2(M)

\iiint_{(x,y,z)\in D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\int_{M\in D}\nabla f(M)\,dH^3(M)

\iiint_{(x,y,z)\in D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\int_{M\in D}f(M)\,dM

Explication

La mesure $dH^3(M)$ indique explicitement un élément de volume et permet d’écrire l’intégrale sur les points du domaine. La mesure $dH^2(M)$ correspondrait à un degré dimensionnel différent.

Answer

$$\iiint_{(x,y,z)\in D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\int_{M\in D}f(M)\,dH^3(M)$$

Question 20

20. Comment s’exprime l’intégrale triple d’un champ vectoriel $\vec V(M)$ sur un domaine $D$ ?

Comme une intégrale scalaire de la norme de

\vec V(M)

sur le bord de

D

Comme le vecteur formé par les intégrales triples de ses trois composantes

Comme le gradient de l’intégrale triple du champ sur

D

Comme le produit des intégrales triples des trois composantes de

\vec V(M)

Explication

L’intégrale vectorielle est $\int_{M\in D}\vec V(M)\,dH^3(M)$ et se calcule composante par composante. Elle produit donc un vecteur dont chaque composante est une intégrale triple.

Answer

Comme le vecteur formé par les intégrales triples de ses trois composantes

Question 21

21. Sur le quart de disque unité défini par $x\geq 0$ , $y\geq 0$ et $x^2+y^2\leq 1$ , quelle méthode de changement de variables est la plus adaptée pour calculer $\iint_D\frac{1}{1+x^2+y^2}\,dx\,dy$ ?

Les coordonnées cylindriques, car le domaine est un volume circulaire

Les coordonnées cartésiennes, car le domaine est un rectangle

Les coordonnées polaires, car le domaine est délimité par un cercle

Les coordonnées sphériques, car l’intégrande dépend de la distance

Explication

Les coordonnées polaires décrivent naturellement le quart de disque et transforment l’intégrande en une fonction de la variable radiale. Les coordonnées cartésiennes rectangulaires sont moins adaptées à cette frontière circulaire.

Answer

Les coordonnées polaires, car le domaine est délimité par un cercle

Question 22

22. Quelle est la valeur de l’intégrale triple $\iiint_D x\,dx\,dy\,dz$ sur le domaine $x\geq 0$ , $y\geq 0$ , $z\geq 0$ et $x+y+z\leq 1$ ?

\frac{1}{12}

\frac{1}{24}

\frac{1}{8}

\frac{1}{6}

Explication

L’intégration successive de la fonction $x$ sur le tétraèdre unité conduit à la valeur $\frac{1}{24}$ . La valeur $\frac{1}{6}$ correspond notamment au volume du domaine, sans tenir compte du facteur $x$ intégré.

Answer

$$\frac{1}{24}$$

Question 23

23. Comment définit-on le centre d’inertie $G$ d’un solide de masse volumique $\rho$ ?

Par la moyenne pondérée des positions, avec la masse volumique comme poids

Par le point où la masse volumique atteint sa valeur maximale

Par la moyenne simple des positions des points matériels

Par le centre géométrique, indépendamment de la masse volumique

Explication

Le centre d’inertie est donné par l’intégrale des positions pondérées par $\rho$ , divisée par la masse totale du solide. Le centre géométrique peut différer lorsque la masse volumique n’est pas uniformément répartie.

Answer

Par la moyenne pondérée des positions, avec la masse volumique comme poids

Question 24

24. Pour deux solides de masses $m_1$ et $m_2$ , situés respectivement aux centres $G_1$ et $G_2$ , quelle relation détermine le centre d’inertie $G$ de l’assemblage ?

\overrightarrow{OG}=\frac{m_1\overrightarrow{OG_1}-m_2\overrightarrow{OG_2}}{m_1-m_2}

\overrightarrow{OG}=m_1\overrightarrow{OG_1}+m_2\overrightarrow{OG_2}

\overrightarrow{OG}=\frac{m_1\overrightarrow{OG_1}+m_2\overrightarrow{OG_2}}{m_1+m_2}

\overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OG_1}+\overrightarrow{OG_2}}{2}

Explication

Le centre d’inertie est une moyenne des positions pondérée par les masses, puis normalisée par la masse totale. La moyenne géométrique simple ne convient que dans un cas particulier où les masses sont égales.

Answer

$$\overrightarrow{OG}=\frac{m_1\overrightarrow{OG_1}+m_2\overrightarrow{OG_2}}{m_1+m_2}$$

Question 25

25. Un solide de masse $m_1$ possède un centre d’inertie $G_1$ , puis une partie de masse $m_2$ et de centre $G_2$ est retirée ; quelle expression donne le centre d’inertie du solide restant ?

\overrightarrow{OG}=\frac{m_1\overrightarrow{OG_1}+m_2\overrightarrow{OG_2}}{m_1+m_2}

\overrightarrow{OG}=\frac{m_2\overrightarrow{OG_2}-m_1\overrightarrow{OG_1}}{m_1+m_2}

\overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OG_1}-\overrightarrow{OG_2}}{m_1-m_2}

\overrightarrow{OG}=\frac{m_1\overrightarrow{OG_1}-m_2\overrightarrow{OG_2}}{m_1-m_2}

Explication

La partie retirée est représentée par une contribution de masse négative, ce qui explique la soustraction au numérateur et au dénominateur. La formule avec une somme correspond à l’assemblage de deux masses conservées.

Answer

$$\overrightarrow{OG}=\frac{m_1\overrightarrow{OG_1}-m_2\overrightarrow{OG_2}}{m_1-m_2}$$

Question 26

26. Quelle relation associe correctement les théorèmes de Guldin au volume engendré par une surface et à la surface engendrée par un arc ?

H^3(V)=2\pi R_{G_L}H^1(L)

et

H^2(S)=2\pi R_{G_S}H^2(S)

H^3(V)=2\pi R_{G_S}H^2(S)

et

H^2(S)=2\pi R_{G_L}H^1(L)

H^3(V)=\pi R_{G_S}^2H^2(S)

et

H^2(S)=\pi R_{G_L}^2H^1(L)

H^3(V)=R_{G_S}H^2(S)

et

H^2(S)=R_{G_L}H^1(L)

Explication

Le volume est égal à la longueur de la trajectoire du centre de gravité de la surface multipliée par son aire, tandis que l’aire engendrée dépend de la trajectoire du centre de gravité de l’arc. Les expressions avec un rayon au carré ne correspondent pas à ces théorèmes.

Answer

$$H^3(V)=2\pi R_{G_S}H^2(S)$$ et $$H^2(S)=2\pi R_{G_L}H^1(L)$$

Question 27

27. Quelle propriété caractérise un solide indéformable ?

La position de chaque point matériel reste fixe dans un repère extérieur

La distance entre deux points matériels reste constante au cours du temps

La masse volumique de chaque point matériel devient constante

La forme du solide change avec les forces qui lui sont appliquées

Explication

Un solide indéformable conserve les distances entre ses points matériels pendant son mouvement. Ses points peuvent cependant se déplacer dans un repère extérieur, contrairement à ce que suggère la deuxième proposition.

Answer

La distance entre deux points matériels reste constante au cours du temps

Question 28

28. Pourquoi un repère orthonormé attaché à un solide indéformable reste-t-il orthonormé au cours du temps ?

Ses axes restent parallèles aux axes du repère extérieur

Les longueurs et les produits scalaires de ses vecteurs de base sont conservés

La transformation du solide modifie les angles mais conserve les longueurs

Ses vecteurs de base sont constamment immobiles dans l’espace

Explication

L’indéformabilité conserve les longueurs et les produits scalaires entre les vecteurs de base, donc leurs normes et leur orthogonalité. Le repère attaché peut tourner par rapport au repère extérieur sans perdre son caractère orthonormé.

Answer

Les longueurs et les produits scalaires de ses vecteurs de base sont conservés

Question 29

29. Comment évoluent les coordonnées d’un point matériel exprimées dans le repère attaché à un solide indéformable ?

Elles sont proportionnelles à la masse du point matériel

Elles deviennent nulles lorsque le solide se translate

Elles restent constantes au cours du temps

Elles varient selon la rotation du repère extérieur

Explication

Un point matériel est fixe relativement au repère attaché au solide, de sorte que ses coordonnées dans ce repère ne varient pas. Sa position dans un repère extérieur peut en revanche changer par translation ou rotation.

Answer

Elles restent constantes au cours du temps

Question 30

30. Quelle propriété vérifie la matrice $O_t$ de la transformation linéaire associée à un solide indéformable ?

Elle est orthogonale et vérifie

O_t^{\mathsf T}O_t=I

Elle est symétrique et vérifie

O_t^{\mathsf T}O_t=0

Elle est triangulaire et vérifie

O_t^{\mathsf T}O_t=O_t

Elle est singulière et vérifie

O_t^{\mathsf T}O_t=I

Explication

La relation $O_t^{\mathsf T}O_t=I$ exprime l’orthogonalité de la transformation et la conservation des produits scalaires. Une matrice singulière ne pourrait pas représenter une transformation qui conserve les longueurs.

Answer

Elle est orthogonale et vérifie $$O_t^{\mathsf T}O_t=I$$

Question 31

31. Que représente le vecteur $\vec{\Omega}_t$ pour un solide $S$ par rapport à un repère fixe $R$ ?

L’accélération angulaire d’un point du solide

La vitesse de translation d’un point particulier du solide

La vitesse de rotation du solide ou de son repère attaché

La position angulaire d’un axe du repère attaché

Explication

Le vecteur $\vec{\Omega}_t$ décrit la rotation du solide ou du repère qui lui est attaché par rapport au repère fixe. La vitesse d’un point comprend aussi les effets de translation et ne se réduit donc pas à ce vecteur.

Answer

La vitesse de rotation du solide ou de son repère attaché

Question 32

32. Dans quel repère la dérivée des vecteurs de base vérifie-t-elle $\frac{d\vec e_i}{dt}\bigg|_R=\vec\Omega_t\wedge\vec e_i$ ?

Dans un repère lié au point étudié

Dans le repère attaché au solide

Dans un repère inertiel distinct de

R

Dans le repère fixe

R

Explication

La relation donnée exprime la dérivée des vecteurs de base du repère attaché lorsqu’elle est calculée relativement au repère fixe $R$ . Dans le repère attaché, ces vecteurs de base sont constants et leur dérivée est nulle.

Answer

Dans le repère fixe $$R$$

Question 33

33. Un solide possède une vitesse $\vec V(A/R)$ au point $A$ et une vitesse de rotation $\vec\Omega_t$ . Quelle relation donne la vitesse de son point $B$ ?

\vec V(B/R)=\vec V(A/R)+\overrightarrow{BA}\wedge\vec\Omega_t

\vec V(B/R)=\vec V(A/R)+\vec\Omega_t\wedge\overrightarrow{AB}

\vec V(B/R)=\vec V(A/R)+\overrightarrow{AB}\wedge\vec\Omega_t

\vec V(B/R)=\vec V(A/R)-\overrightarrow{AB}\wedge\vec\Omega_t

Explication

La vitesse de $B$ s’obtient en ajoutant à celle de $A$ le produit vectoriel de $\overrightarrow{AB}$ par $\vec\Omega_t$ . Inverser l’ordre des vecteurs ou changer le signe modifie le produit vectoriel et donne une relation différente.

Answer

$$\vec V(B/R)=\vec V(A/R)+\overrightarrow{AB}\wedge\vec\Omega_t$$

Question 34

34. Comment s’exprime la composition des vitesses d’un point $M$ appartenant à un solide $S$ , lorsque $S$ est étudié par rapport à $R$ via $R_1$ ?

\vec V(M\in S/R)=\vec V(M\in S/R_1)-\vec V(M\in R_1/R)

\vec V(M\in S/R)=\vec V(M\in S/R_1)+\vec V(M\in R_1/R)

\vec V(M\in S/R)=\vec V(M\in R_1/R)-\vec V(M\in S/R_1)

\vec V(M\in S/R)=\vec V(M\in S/R_1)\wedge\vec V(M\in R_1/R)

Explication

La vitesse relative à $R$ est la somme de la vitesse de $M$ par rapport à $R_1$ et de la vitesse de $R_1$ par rapport à $R$ . Une soustraction ou un produit vectoriel ne correspond pas à cette composition cinématique.

Answer

$$\vec V(M\in S/R)=\vec V(M\in S/R_1)+\vec V(M\in R_1/R)$$

Question 35

35. Laquelle de ces grandeurs constitue un champ scalaire plutôt qu’un champ vectoriel ?

La température

Le champ des accélérations

Le champ gravitationnel

Le champ des vitesses

Explication

La température associe une valeur numérique à chaque point et constitue donc un champ scalaire. Les champs gravitationnel, des vitesses et des accélérations associent des vecteurs aux points de l’espace.

Answer

La température

Question 36

36. Quelle classification distingue correctement les champs physiques suivants ?

La température est vectorielle, tandis que le champ électrique est scalaire

La masse volumique est vectorielle, tandis que le champ magnétique est scalaire

La masse volumique est scalaire, tandis que le champ magnétique est vectoriel

Le champ des accélérations est scalaire, tandis que la température est vectorielle

Explication

La masse volumique est un champ scalaire, alors que le champ magnétique est un champ vectoriel. Les autres propositions inversent la nature des grandeurs citées.

Answer

La masse volumique est scalaire, tandis que le champ magnétique est vectoriel

Question 37

37. Pour un solide décrit par les angles d’Euler $\psi$ , $\theta$ et $\varphi$ , quelle expression donne son vecteur vitesse de rotation ?

\vec{\Omega}(S/R)=\dot{\psi}\,\vec z+\dot{\varphi}\,\vec u+\dot{\theta}\,\vec z'

\vec{\Omega}(S/R)=\dot{\psi}\,\vec z+\dot{\theta}\,\vec u+\dot{\varphi}\,\vec z'

\vec{\Omega}(S/R)=\psi\,\vec z+\theta\,\vec u+\varphi\,\vec z'

\vec{\Omega}(S/R)=\dot{\varphi}\,\vec z+\dot{\theta}\,\vec u+\dot{\psi}\,\vec z'

Explication

La vitesse de rotation totale est la somme des trois contributions associées aux dérivées temporelles des angles d’Euler selon les axes indiqués. Elle ne correspond pas à une simple combinaison des angles eux-mêmes ni à une permutation de leurs axes.

Answer

$$\vec{\Omega}(S/R)=\dot{\psi}\,\vec z+\dot{\theta}\,\vec u+\dot{\varphi}\,\vec z'$$

Question 38

38. Pourquoi la vitesse de rotation totale d’un solide décrit par les angles d’Euler ne se réduit-elle pas à $\dot{\varphi}\,\vec z'$ ?

Parce que

\dot{\varphi}\,\vec z'

représente une accélération et non une vitesse

Parce que le vecteur

\vec z'

est toujours confondu avec le vecteur

\vec z

Parce qu’elle comprend aussi les contributions de

\dot{\psi}\,\vec z

et de

\dot{\theta}\,\vec u

Parce que l’angle

\varphi

ne peut pas être utilisé dans la description d’Euler

Explication

La vitesse de rotation totale additionne les contributions liées aux trois dérivées angulaires, notamment celles de $\psi$ et de $\theta$ en plus de celle de $\varphi$ . La contribution selon $\vec z'$ est donc réelle, mais elle ne constitue pas à elle seule le mouvement de rotation complet.

Answer

Parce qu’elle comprend aussi les contributions de $$\dot{\psi}\,\vec z$$ et de $$\dot{\theta}\,\vec u$$

Question 39

39. Quelle relation caractérise un torseur entre les moments pris en deux points quelconques A et B ?

\vec{T}(B)=\vec{T}(A)-\overrightarrow{BA}\wedge\vec{R}

\vec{T}(B)=\vec{T}(A)+\overrightarrow{AB}\cdot\vec{R}

\vec{T}(B)=\vec{T}(A)+\overrightarrow{BA}\wedge\vec{R}

\vec{T}(B)=\vec{T}(A)+\overrightarrow{AB}\wedge\vec{T}(A)

Explication

Un torseur satisfait la loi de transport $\vec{T}(B)=\vec{T}(A)+\overrightarrow{BA}\wedge\vec{R}$ , où $\vec{R}$ est la résultante. L’emploi du produit scalaire ou l’inversion du vecteur de transport ne respecte pas cette structure.

Answer

$$\vec{T}(B)=\vec{T}(A)+\overrightarrow{BA}\wedge\vec{R}$$

Question 40

40. Quelle égalité définit un champ vectoriel équiprojectif pour deux points A et B ?

\vec{T}(B)+\overrightarrow{AB}=\vec{T}(A)+\overrightarrow{BA}

\vec{T}(B)\cdot\overrightarrow{BA}=-\vec{T}(A)\cdot\overrightarrow{AB}

\vec{T}(B)\wedge\overrightarrow{AB}=\vec{T}(A)\wedge\overrightarrow{AB}

\vec{T}(B)\cdot\overrightarrow{AB}=\vec{T}(A)\cdot\overrightarrow{AB}

Explication

L’équiprojectivité signifie que les projections des vecteurs aux points A et B sur la direction $\overrightarrow{AB}$ sont égales. La relation repose donc sur le produit scalaire avec le même vecteur $\overrightarrow{AB}$ .

Answer

$$\vec{T}(B)\cdot\overrightarrow{AB}=\vec{T}(A)\cdot\overrightarrow{AB}$$

Question 41

41. Quelle relation logique lie l’équiprojectivité et la structure de torseur pour un champ vectoriel ?

Un champ est un torseur lorsqu’il est équiprojectif et constant.

Un champ est équiprojectif lorsqu’il possède une résultante nulle.

Un champ est un torseur si et seulement s’il est équiprojectif.

Un champ est équiprojectif lorsque ses moments sont tous parallèles.

Explication

L’équiprojectivité est une condition nécessaire et suffisante pour qu’un champ vectoriel soit un torseur. Elle n’est donc pas une conséquence unilatérale ni une condition liée à une résultante nulle.

Answer

Un champ est un torseur si et seulement s’il est équiprojectif.

Question 42

42. Quelle expression donne la résultante du torseur cinétique d’un système matériel S ?

\vec{R}_{\mathrm{cinétique}}=m(S)\vec{\Gamma}(G)

\vec{R}_{\mathrm{cinétique}}=m(S)\vec{V}(G)

\vec{R}_{\mathrm{cinétique}}=m(S)\vec{g}

\vec{R}_{\mathrm{cinétique}}=\vec{V}(G)\wedge\vec{\Gamma}(G)

Explication

La résultante cinétique est le produit de la masse du système par la vitesse de son centre d’inertie. La quantité $m(S)\vec{\Gamma}(G)$ correspond à la résultante dynamique, tandis que $m(S)\vec{g}$ représente le poids.

Answer

$$\vec{R}_{\mathrm{cinétique}}=m(S)\vec{V}(G)$$

Question 43

43. Un système matériel possède une accélération du centre d’inertie $\vec{\Gamma}(G)$ . Quelle résultante appartient à son torseur dynamique ?

\vec{R}_{\mathrm{dynamique}}=m(S)\vec{g}

\vec{R}_{\mathrm{dynamique}}=m(S)\vec{V}(G)

\vec{R}_{\mathrm{dynamique}}=m(S)\vec{\Gamma}(G)

\vec{R}_{\mathrm{dynamique}}=\vec{\Gamma}(G)\wedge\vec{V}(G)

Explication

La résultante dynamique est obtenue en multipliant la masse par l’accélération du centre d’inertie. La vitesse du centre intervient dans la résultante cinétique, et le champ gravitationnel dans la résultante des efforts de pesanteur.

Answer

$$\vec{R}_{\mathrm{dynamique}}=m(S)\vec{\Gamma}(G)$$

Question 44

44. Comment s’exprime le moment au point A du torseur des efforts de pesanteur ?

\vec{M}_{\mathrm{pesanteur}}(A)=\overrightarrow{GA}\wedge\vec{P}(S)

\vec{M}_{\mathrm{pesanteur}}(A)=\overrightarrow{AG}\cdot\vec{P}(S)

\vec{M}_{\mathrm{pesanteur}}(A)=m(S)\vec{V}(G)\wedge\overrightarrow{AG}

\vec{M}_{\mathrm{pesanteur}}(A)=\overrightarrow{AG}\wedge\vec{P}(S)

Explication

Le moment du poids au point A est le produit vectoriel du bras $\overrightarrow{AG}$ par la résultante de pesanteur $\vec{P}(S)$ . Remplacer le produit vectoriel par un produit scalaire ou inverser l’ordre des points modifie le signe ou la nature du moment.

Answer

$$\vec{M}_{\mathrm{pesanteur}}(A)=\overrightarrow{AG}\wedge\vec{P}(S)$$

Question 45

45. Quelle décomposition du moment cinétique au point A utilise l’opérateur d’inertie ?

\vec{\sigma}_S(A)=m\overrightarrow{AG}\wedge\vec{V}(A)+\vec{L}^{\,\mathrm{inertie}}_A(\vec{\Omega})

\vec{\sigma}_S(A)=m\overrightarrow{AG}\cdot\vec{V}(A)+\vec{L}^{\,\mathrm{inertie}}_A(\vec{\Omega})

\vec{\sigma}_S(A)=m\overrightarrow{GA}\wedge\vec{\Gamma}(A)+\vec{L}^{\,\mathrm{inertie}}_A(\vec{V})

\vec{\sigma}_S(A)=m\vec{V}(A)+\overrightarrow{AG}\wedge\vec{L}^{\,\mathrm{inertie}}_A(\vec{\Omega})

Explication

Le moment cinétique se décompose en une contribution de translation, $m\overrightarrow{AG}\wedge\vec{V}(A)$ , et une contribution liée à la rotation, $\vec{L}^{\,\mathrm{inertie}}_A(\vec{\Omega})$ . Les autres expressions changent le produit vectoriel, la grandeur cinématique ou la structure de l’opérateur.

Answer

$$\vec{\sigma}_S(A)=m\overrightarrow{AG}\wedge\vec{V}(A)+\vec{L}^{\,\mathrm{inertie}}_A(\vec{\Omega})$$

Question 46

46. Quelle propriété distingue l’opérateur d’inertie d’une application linéaire générale ?

Il est linéaire et symétrique.

Il est constant et orthogonal.

Il est affine et antisymétrique.

Il est scalaire et indépendant du point.

Explication

L’opérateur d’inertie est une application linéaire qui possède en plus une symétrie. Une application linéaire générale ne vérifie pas nécessairement cette propriété de symétrie.

Answer

Il est linéaire et symétrique.

Question 47

47. Un point A a pour coordonnées $$(a_1,a_2,a_3)$ $ dans un repère d’origine G. Quelle matrice intervient dans le théorème de Huygens pour passer de G à A ?

m\begin{pmatrix}a_1^2& a_1a_2& a_1a_3\a_1a_2&a_2^2&a_2a_3\a_1a_3&a_2a_3&a_3^2\end{pmatrix}

m\begin{pmatrix}a_2^2+a_3^2&-a_1a_2&-a_1a_3\\-a_1a_2&a_1^2+a_3^2&-a_2a_3\\-a_1a_3&-a_2a_3&a_1^2+a_2^2\end{pmatrix}

m\begin{pmatrix}a_2a_3&-a_1a_2&-a_1a_3\\-a_1a_2&a_1a_3&-a_2a_3\\-a_1a_3&-a_2a_3&a_1a_2\end{pmatrix}

m\begin{pmatrix}a_1^2+a_2^2&-a_1a_3&-a_2a_3\\-a_1a_3&a_2^2+a_3^2&-a_1a_2\\-a_2a_3&-a_1a_2&a_1^2+a_3^2\end{pmatrix}

Explication

Le théorème de Huygens ajoute à $I(G,S)$ une matrice dont les termes diagonaux sont les sommes des carrés des deux coordonnées transversales et dont les termes hors diagonale sont des produits opposés. Les autres matrices ne respectent pas cette construction.

Answer

$$m\begin{pmatrix}a_2^2+a_3^2&-a_1a_2&-a_1a_3\\-a_1a_2&a_1^2+a_3^2&-a_2a_3\\-a_1a_3&-a_2a_3&a_1^2+a_2^2\end{pmatrix}$$

Question 48

48. Pourquoi peut-on choisir des axes principaux d’inertie pour un solide décrit par une matrice d’inertie réelle symétrique ?

Parce que toute matrice symétrique réelle possède trois valeurs propres distinctes.

Parce que les produits d’inertie sont nécessairement nuls dans le repère initial.

Parce que la matrice d’inertie est diagonale dans n’importe quelle base.

Parce que toute matrice symétrique réelle possède une base orthonormée de vecteurs propres.

Explication

Le théorème spectral garantit la diagonalisation d’une matrice symétrique réelle dans une base orthonormée, ce qui fournit les axes principaux d’inertie. Les valeurs propres ne sont pas forcément distinctes et la matrice n’est pas nécessairement diagonale dans le repère initial.

Answer

Parce que toute matrice symétrique réelle possède une base orthonormée de vecteurs propres.

Question 49

49. Quelle égalité exprime le principe fondamental de la dynamique appliqué à un solide S ?

T_{\mathrm{dynamique}}(S)=T_{\mathrm{cinétique}}(S)

T_{\mathrm{efforts\ extérieurs\to S}(S)=T_{\mathrm{cinétique}}(S)+T_{\mathrm{dynamique}}(S)

T_{\mathrm{cinétique}}(S)=T_{\mathrm{efforts\ extérieurs\to S}(S)

T_{\mathrm{dynamique}}(S)=T_{\mathrm{efforts\ extérieurs\to S}(S)

Explication

Le PFD met en égalité le torseur dynamique et le torseur des efforts extérieurs appliqués au solide. Le torseur cinétique décrit le mouvement, mais il ne constitue pas le membre directement égal au torseur des efforts extérieurs.

Answer

$$T_{\mathrm{dynamique}}(S)=T_{\mathrm{efforts\ extérieurs\to S}(S)$$

Question 50

50. Dans quelle situation le moment dynamique en un point A peut-il être obtenu par la dérivée temporelle du moment cinétique en A sans terme supplémentaire ?

Lorsque le moment cinétique reste constant dans le temps

Lorsque le solide possède une masse nulle

Lorsque

\vec V(A)=\vec 0

Lorsque le point A coïncide avec un point quelconque du solide

Explication

La formule générale contient le terme de transport $\vec V(A)\wedge m\vec V(G)$ , qui disparaît lorsque le point A est immobile dans le référentiel considéré. La constance du moment cinétique ne supprime pas à elle seule ce terme de transport.

Answer

Lorsque $$\vec V(A)=\vec 0$$

Question 51

51. Quelle succession d’étapes correspond à une résolution du mouvement d’un solide par le PFD ?

Linéariser le mouvement, calculer les efforts, puis déduire les éléments géométriques des masses

Écrire le PFD, calculer les efforts, déterminer les vitesses, puis construire les torseurs

Déterminer les efforts, appliquer le PFD, puis calculer les vitesses et les torseurs nécessaires

Déterminer les vitesses, les masses géométriques, les torseurs, les efforts, puis appliquer le PFD

Explication

La démarche part des vitesses et des éléments géométriques des masses, puis construit les torseurs cinétique et dynamique ainsi que celui des efforts extérieurs avant d’appliquer le PFD. La linéarisation intervient ensuite lorsque les mouvements sont petits.

Answer

Déterminer les vitesses, les masses géométriques, les torseurs, les efforts, puis appliquer le PFD

Question 52

52. Pour l’équation homogène $a_1\dot y+a_0y=0$ , quelle forme prend une solution lorsque r vérifie $a_1r+a_0=0$ ?

y(t)=A+rt

y(t)=A\cos(rt)+A\sin(rt)

y(t)=Ae^{at}+rt

y(t)=Ae^{rt}

Explication

L’insertion d’une solution exponentielle conduit à la condition caractéristique $a_1r+a_0=0$ , d’où la forme $y(t)=Ae^{rt}$ . Une expression affine ne satisfait pas en général cette équation différentielle homogène.

Answer

$$y(t)=Ae^{rt}$$

Question 53

53. Quel polynôme caractéristique est associé à l’équation $a_2\ddot y+a_1\dot y+a_0y=0$ ?

P_{\mathrm{car}}(x)=a_2x^3+a_1x^2+a_0x

P_{\mathrm{car}}(x)=a_2+a_1x^2+a_0x

P_{\mathrm{car}}(x)=a_2x^2+a_1x+a_0

P_{\mathrm{car}}(x)=a_2x+a_1+a_0x^2

Explication

Le degré de chaque terme du polynôme correspond à l’ordre de la dérivée associée dans l’équation. Le coefficient de la dérivée seconde accompagne donc $x^2$ , celui de la dérivée première accompagne $x$ , et le terme constant reste associé à $a_0$ .

Answer

$$P_{\mathrm{car}}(x)=a_2x^2+a_1x+a_0$$

Question 54

54. Quelle solution homogène correspond à une racine double r du polynôme caractéristique ?

y(t)=A_1e^{r_1t}+A_2e^{r_2t}

y(t)=A_1\cos(rt)+A_2\sin(rt)

y(t)=A_1e^{rt}+A_2t^2e^{rt}

y(t)=A_1e^{rt}+A_2te^{rt}

Explication

Une racine double nécessite une seconde solution indépendante obtenue en multipliant l’exponentielle par t. Deux racines distinctes produisent au contraire deux exponentielles simples associées à des valeurs différentes.

Answer

$$y(t)=A_1e^{rt}+A_2te^{rt}$$

Question 55

55. Dans l’approximation $\omega\gg\Omega$ , quelle expression décrit le moment cinétique approximatif du volant au point G ?

\vec\sigma_V(G)=C\omega\sin\psi\,\vec n-A\Omega\sin\theta\cos\psi\,\vec w+C\omega\,\vec z_v

\vec\sigma_V(G)=A\omega\cos\psi\,\vec n+A\omega\sin\theta\sin\psi\,\vec w+C\Omega\,\vec z_b

\vec\sigma_V(G)=A\Omega\sin\psi\,\vec n-C\omega\sin\theta\cos\psi\,\vec w+A\Omega\,\vec z_v

\vec\sigma_V(G)=A\omega\sin\psi\,\vec n-A\omega\sin\theta\cos\psi\,\vec w+C\Omega\,\vec z_v

Explication

Avec les coefficients d’inertie diagonaux $A,A,C$ , chaque composante de la vitesse de rotation est pondérée par le coefficient correspondant, ce qui donne l’expression proposée. Les autres expressions échangent des coefficients d’inertie ou modifient les directions et les facteurs trigonométriques.

Answer

$$\vec\sigma_V(G)=A\omega\sin\psi\,\vec n-A\omega\sin\theta\cos\psi\,\vec w+C\Omega\,\vec z_v$$

Question 56

56. Quelle est l’expression approximative du moment dynamique du volant dans l’approximation $\omega\gg\Omega$ ?

\vec\delta_V(G)=C\Omega\omega\cos\psi\sin\theta\,\vec n+C\Omega\omega\sin\psi\,\vec w

\vec\delta_V(G)=C\Omega\omega\sin\psi\,\vec n-C\Omega\omega\cos\psi\sin\theta\,\vec w

\vec\delta_V(G)=A\Omega\omega\cos\psi\sin\theta\,\vec n+A\Omega\omega\sin\psi\,\vec w

\vec\delta_V(G)=C\omega^2\cos\psi\sin\theta\,\vec n+C\omega^2\sin\psi\,\vec w

Explication

Le moment dynamique approximatif comporte deux composantes proportionnelles à $C\Omega\omega$ , selon $\vec n$ et $\vec w$ , avec les facteurs trigonométriques indiqués. Les autres expressions utilisent le mauvais coefficient d’inertie, une dépendance en $\omega^2$ ou des facteurs angulaires incorrects.

Answer

$$\vec\delta_V(G)=C\Omega\omega\cos\psi\sin\theta\,\vec n+C\Omega\omega\sin\psi\,\vec w$$

Question 57

57. Quel choix d’orientation du volant permet d’éviter que sa rotation perturbe le comportement du bus dans un virage ?

Choisir

\theta=\psi=0

, de sorte que

\vec z_v=\vec z_b

Choisir

\theta=\frac{\pi}{2}

et

\psi=0

, de sorte que l’axe soit transversal

Choisir

\theta=0

et

\psi=\frac{\pi}{2}

, de sorte que l’axe soit longitudinal

Choisir

\theta=\psi=\frac{\pi}{4}

, de sorte que l’axe soit incliné

Explication

Lorsque $\theta=\psi=0$ , l’axe du volant est aligné avec celui du bus et les moments perturbateurs dans la liaison pivot s’annulent approximativement. Une orientation inclinée conserve des composantes susceptibles d’exercer ces moments.

Answer

Choisir $$\theta=\psi=0$$, de sorte que $$\vec z_v=\vec z_b$$

Question 58

58. Pour un disque roulant sans glissement relié au point fixe H, quelle relation lie les vitesses angulaires $\dot\theta$ et $\dot\psi$ ?

\dot\theta=\frac{R}{L}\dot\psi

\dot\theta=-\frac{L}{R}\dot\psi

\dot\theta=\frac{L}{R}\dot\psi

\dot\theta=-\frac{R}{L}\dot\psi

Explication

La condition de roulement sans glissement impose $\dot\theta=-\frac{L}{R}\dot\psi$ et s’accompagne de $\vec V(G)=L\dot\psi\,\vec v$ . Le signe négatif traduit le sens opposé des deux rotations, tandis que le rapport géométrique est fixé par $L/R$ .

Answer

$$\dot\theta=-\frac{L}{R}\dot\psi$$

QCM : Intégrales et mécanique des solides — 58 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour un solide de masse volumique variable ρ(x,y,z)\rho(x,y,z)ρ(x,y,z), quelle expression donne sa masse ?

2. Dans quel cas peut-on écrire M(D)=ρV(D)M(D)=\rho V(D)M(D)=ρV(D) pour un solide ?

3. Comment calcule-t-on la coordonnée xGx_GxG​ du centre d’inertie d’un solide de masse M(D)M(D)M(D) ?

4. Quel terme diagonal apparaît dans la matrice d’inertie lorsque l’axe considéré est l’axe des xxx ?

5. Quelle démarche décrit le calcul d’une intégrale double sur un domaine donné ?

6. Que permet le théorème de Fubini-Tonelli pour une fonction continue sur un domaine borné fermé ?

7. Lors d’un changement de variables polaires, par quelle expression l’élément de surface dxdydxdydxdy est-il remplacé ?

8. Quelle formule représente correctement une intégrale double après passage en coordonnées polaires ?

9. Quelle caractéristique distingue une intégrale triple d’une intégrale double ?

10. Quelle démarche permet de calculer une intégrale triple en intégrant d’abord selon une variable fixée ?

11. Quel élément de volume convient aux coordonnées cylindriques définies par x=rcos⁡θx=r\cos\thetax=rcosθ et y=rsin⁡θy=r\sin\thetay=rsinθ ?

12. Pour une pyramide droite homogène de base carrée de côté aaa et de hauteur hhh, quelles sont sa masse et la position de son centre d’inertie ?

13. Dans un changement de variables associé à une application inversible de classe C1C^1C1, quel facteur doit accompagner l’intégrande ?

14. Un solide homogène possède un plan de symétrie passant par un point AAA. Que peut-on déduire concernant la coordonnée normale et l’axe correspondant ?

15. Que se passe-t-il lorsqu’un solide possède deux plans de symétrie orthogonaux passant par AAA ?

16. Pour un solide possédant un axe de révolution (A,e⃗3)\left(A,\vec e_3\right)(A,e3​), quelle propriété est correcte ?

17. Qu’est-ce qu’un champ vectoriel défini sur l’espace affine ?

18. Qu’est-ce qu’un champ scalaire défini sur l’espace affine ?

19. Quelle écriture représente une intégrale triple sur un domaine DDD avec une notation mécanique du volume ?

20. Comment s’exprime l’intégrale triple d’un champ vectoriel V⃗(M)\vec V(M)V(M) sur un domaine DDD ?

21. Sur le quart de disque unité défini par x≥0x\geq 0x≥0, y≥0y\geq 0y≥0 et x2+y2≤1x^2+y^2\leq 1x2+y2≤1, quelle méthode de changement de variables est la plus adaptée pour calculer ∬D11+x2+y2 dx dy\iint_D\frac{1}{1+x^2+y^2}\,dx\,dy∬D​1+x2+y21​dxdy ?

22. Quelle est la valeur de l’intégrale triple ∭Dx dx dy dz\iiint_D x\,dx\,dy\,dz∭D​xdxdydz sur le domaine x≥0x\geq 0x≥0, y≥0y\geq 0y≥0, z≥0z\geq 0z≥0 et x+y+z≤1x+y+z\leq 1x+y+z≤1 ?

23. Comment définit-on le centre d’inertie GGG d’un solide de masse volumique ρ\rhoρ ?

24. Pour deux solides de masses m1m_1m1​ et m2m_2m2​, situés respectivement aux centres G1G_1G1​ et G2G_2G2​, quelle relation détermine le centre d’inertie GGG de l’assemblage ?

25. Un solide de masse m1m_1m1​ possède un centre d’inertie G1G_1G1​, puis une partie de masse m2m_2m2​ et de centre G2G_2G2​ est retirée ; quelle expression donne le centre d’inertie du solide restant ?

26. Quelle relation associe correctement les théorèmes de Guldin au volume engendré par une surface et à la surface engendrée par un arc ?

27. Quelle propriété caractérise un solide indéformable ?

28. Pourquoi un repère orthonormé attaché à un solide indéformable reste-t-il orthonormé au cours du temps ?

29. Comment évoluent les coordonnées d’un point matériel exprimées dans le repère attaché à un solide indéformable ?

30. Quelle propriété vérifie la matrice OtO_tOt​ de la transformation linéaire associée à un solide indéformable ?

31. Que représente le vecteur Ω⃗t\vec{\Omega}_tΩt​ pour un solide SSS par rapport à un repère fixe RRR ?

32. Dans quel repère la dérivée des vecteurs de base vérifie-t-elle de⃗idt∣R=Ω⃗t∧e⃗i\frac{d\vec e_i}{dt}\bigg|_R=\vec\Omega_t\wedge\vec e_idtdei​​​R​=Ωt​∧ei​ ?

33. Un solide possède une vitesse V⃗(A/R)\vec V(A/R)V(A/R) au point AAA et une vitesse de rotation Ω⃗t\vec\Omega_tΩt​. Quelle relation donne la vitesse de son point BBB ?

34. Comment s’exprime la composition des vitesses d’un point MMM appartenant à un solide SSS, lorsque SSS est étudié par rapport à RRR via R1R_1R1​ ?

35. Laquelle de ces grandeurs constitue un champ scalaire plutôt qu’un champ vectoriel ?

36. Quelle classification distingue correctement les champs physiques suivants ?

37. Pour un solide décrit par les angles d’Euler ψ\psiψ, θ\thetaθ et φ\varphiφ, quelle expression donne son vecteur vitesse de rotation ?

38. Pourquoi la vitesse de rotation totale d’un solide décrit par les angles d’Euler ne se réduit-elle pas à φ˙ z⃗′\dot{\varphi}\,\vec z'φ˙​z′ ?

39. Quelle relation caractérise un torseur entre les moments pris en deux points quelconques A et B ?

40. Quelle égalité définit un champ vectoriel équiprojectif pour deux points A et B ?

41. Quelle relation logique lie l’équiprojectivité et la structure de torseur pour un champ vectoriel ?

42. Quelle expression donne la résultante du torseur cinétique d’un système matériel S ?

43. Un système matériel possède une accélération du centre d’inertie Γ⃗(G)\vec{\Gamma}(G)Γ(G). Quelle résultante appartient à son torseur dynamique ?

44. Comment s’exprime le moment au point A du torseur des efforts de pesanteur ?

45. Quelle décomposition du moment cinétique au point A utilise l’opérateur d’inertie ?

46. Quelle propriété distingue l’opérateur d’inertie d’une application linéaire générale ?

47. Un point A a pour coordonnées $(a_1,a_2,a_3)$ dans un repère d’origine G. Quelle matrice intervient dans le théorème de Huygens pour passer de G à A ?

48. Pourquoi peut-on choisir des axes principaux d’inertie pour un solide décrit par une matrice d’inertie réelle symétrique ?

49. Quelle égalité exprime le principe fondamental de la dynamique appliqué à un solide S ?

50. Dans quelle situation le moment dynamique en un point A peut-il être obtenu par la dérivée temporelle du moment cinétique en A sans terme supplémentaire ?

51. Quelle succession d’étapes correspond à une résolution du mouvement d’un solide par le PFD ?

52. Pour l’équation homogène a1y˙+a0y=0a_1\dot y+a_0y=0a1​y˙​+a0​y=0, quelle forme prend une solution lorsque r vérifie a1r+a0=0a_1r+a_0=0a1​r+a0​=0 ?

53. Quel polynôme caractéristique est associé à l’équation a2y¨+a1y˙+a0y=0a_2\ddot y+a_1\dot y+a_0y=0a2​y¨​+a1​y˙​+a0​y=0 ?

54. Quelle solution homogène correspond à une racine double r du polynôme caractéristique ?

55. Dans l’approximation ω≫Ω\omega\gg\Omegaω≫Ω, quelle expression décrit le moment cinétique approximatif du volant au point G ?

56. Quelle est l’expression approximative du moment dynamique du volant dans l’approximation ω≫Ω\omega\gg\Omegaω≫Ω ?

57. Quel choix d’orientation du volant permet d’éviter que sa rotation perturbe le comportement du bus dans un virage ?

58. Pour un disque roulant sans glissement relié au point fixe H, quelle relation lie les vitesses angulaires θ˙\dot\thetaθ˙ et ψ˙\dot\psiψ˙​ ?

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Crée tes propres QCM

1. Pour un solide de masse volumique variable $\rho(x,y,z)$ , quelle expression donne sa masse ?

2. Dans quel cas peut-on écrire $M(D)=\rho V(D)$ pour un solide ?

3. Comment calcule-t-on la coordonnée $x_G$ du centre d’inertie d’un solide de masse $M(D)$ ?

4. Quel terme diagonal apparaît dans la matrice d’inertie lorsque l’axe considéré est l’axe des $x$ ?

7. Lors d’un changement de variables polaires, par quelle expression l’élément de surface $dxdy$ est-il remplacé ?

11. Quel élément de volume convient aux coordonnées cylindriques définies par $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$ ?

12. Pour une pyramide droite homogène de base carrée de côté $a$ et de hauteur $h$ , quelles sont sa masse et la position de son centre d’inertie ?

13. Dans un changement de variables associé à une application inversible de classe $C^1$ , quel facteur doit accompagner l’intégrande ?

14. Un solide homogène possède un plan de symétrie passant par un point $A$ . Que peut-on déduire concernant la coordonnée normale et l’axe correspondant ?

15. Que se passe-t-il lorsqu’un solide possède deux plans de symétrie orthogonaux passant par $A$ ?

16. Pour un solide possédant un axe de révolution $\left(A,\vec e_3\right)$ , quelle propriété est correcte ?

19. Quelle écriture représente une intégrale triple sur un domaine $D$ avec une notation mécanique du volume ?

20. Comment s’exprime l’intégrale triple d’un champ vectoriel $\vec V(M)$ sur un domaine $D$ ?

21. Sur le quart de disque unité défini par $x\geq 0$ , $y\geq 0$ et $x^2+y^2\leq 1$ , quelle méthode de changement de variables est la plus adaptée pour calculer $\iint_D\frac{1}{1+x^2+y^2}\,dx\,dy$ ?

22. Quelle est la valeur de l’intégrale triple $\iiint_D x\,dx\,dy\,dz$ sur le domaine $x\geq 0$ , $y\geq 0$ , $z\geq 0$ et $x+y+z\leq 1$ ?

23. Comment définit-on le centre d’inertie $G$ d’un solide de masse volumique $\rho$ ?

24. Pour deux solides de masses $m_1$ et $m_2$ , situés respectivement aux centres $G_1$ et $G_2$ , quelle relation détermine le centre d’inertie $G$ de l’assemblage ?

25. Un solide de masse $m_1$ possède un centre d’inertie $G_1$ , puis une partie de masse $m_2$ et de centre $G_2$ est retirée ; quelle expression donne le centre d’inertie du solide restant ?

30. Quelle propriété vérifie la matrice $O_t$ de la transformation linéaire associée à un solide indéformable ?

31. Que représente le vecteur $\vec{\Omega}_t$ pour un solide $S$ par rapport à un repère fixe $R$ ?

32. Dans quel repère la dérivée des vecteurs de base vérifie-t-elle $\frac{d\vec e_i}{dt}\bigg|_R=\vec\Omega_t\wedge\vec e_i$ ?

33. Un solide possède une vitesse $\vec V(A/R)$ au point $A$ et une vitesse de rotation $\vec\Omega_t$ . Quelle relation donne la vitesse de son point $B$ ?

34. Comment s’exprime la composition des vitesses d’un point $M$ appartenant à un solide $S$ , lorsque $S$ est étudié par rapport à $R$ via $R_1$ ?

37. Pour un solide décrit par les angles d’Euler $\psi$ , $\theta$ et $\varphi$ , quelle expression donne son vecteur vitesse de rotation ?

38. Pourquoi la vitesse de rotation totale d’un solide décrit par les angles d’Euler ne se réduit-elle pas à $\dot{\varphi}\,\vec z'$ ?

43. Un système matériel possède une accélération du centre d’inertie $\vec{\Gamma}(G)$ . Quelle résultante appartient à son torseur dynamique ?

47. Un point A a pour coordonnées $$(a_1,a_2,a_3)$ $ dans un repère d’origine G. Quelle matrice intervient dans le théorème de Huygens pour passer de G à A ?

52. Pour l’équation homogène $a_1\dot y+a_0y=0$ , quelle forme prend une solution lorsque r vérifie $a_1r+a_0=0$ ?

53. Quel polynôme caractéristique est associé à l’équation $a_2\ddot y+a_1\dot y+a_0y=0$ ?

55. Dans l’approximation $\omega\gg\Omega$ , quelle expression décrit le moment cinétique approximatif du volant au point G ?

56. Quelle est l’expression approximative du moment dynamique du volant dans l’approximation $\omega\gg\Omega$ ?

58. Pour un disque roulant sans glissement relié au point fixe H, quelle relation lie les vitesses angulaires $\dot\theta$ et $\dot\psi$ ?