(f(a+h) − f(a)) / h
Explication
Le taux de variation est bien le quotient f0(f(a+h)-f(a))/h, avec h non nul. Les autres expressions inversent l’ordre ou oublient la division par h.
h tend vers 0 en restant strictement positif
Explication
La notation h → 0+ indique que h se rapproche de 0 tout en restant positif. À l’inverse, h → 0− correspond à des valeurs négatives.
Lorsque le taux de variation admet une limite réelle quand h tend vers 0
Explication
Être dérivable en a signifie que la limite du taux de variation existe et est un réel. La simple continuité ou la définition pour un seul h ne suffit pas.
Les limites à droite et à gauche du taux de variation sont différentes
Explication
En 0, le taux de variation tend vers 1 quand h→0+ et vers −1 quand h→0−, donc il n’y a pas de limite réelle unique. La fonction est pourtant continue en 0.
La droite passant par A(a;f(a)) dont la pente est f'(a)
Explication
La tangente en x=a passe par le point A(a;f(a)) et a pour coefficient directeur f'(a). Elle n’est ni forcément verticale ni liée à l’origine.
Elle est horizontale
Explication
Si le coefficient directeur vaut 0, la droite est parallèle à l’axe des abscisses, donc horizontale. Ce n’est pas une tangente verticale.
y = f'(a)(x − a) + f(a)
Explication
L’équation de la tangente s’écrit y = f'(a)(x−a)+f(a), car elle doit passer par A(a;f(a)) et avoir pour pente f'(a). Les autres formules mélangent la pente et l’ordonnée du point.
y = (1/3)x + 5/3
Explication
On remplace dans y = f'(1)(x−1)+f(1), soit y = (1/3)(x−1)+2, puis on développe en y = (1/3)x + 5/3. Les autres propositions n’ont pas la bonne constante ou la bonne pente.
Une nouvelle fonction qui associe à chaque x la valeur f'(x)
Explication
La fonction dérivée est une nouvelle fonction qui, à chaque x du domaine de dérivabilité, associe le nombre f'(x). Elle ne désigne pas une tangente particulière ni un unique taux de variation.
Sa fonction dérivée existe en tout point de I
Explication
Si une fonction est dérivable en chaque point d’un intervalle I, alors f' existe pour tout x de I. Ni la constance ni le caractère affine ne sont imposés.
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} pour x>0
Explication
Pour f(x)=\sqrt{x}, la dérivée vaut \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) sur l’intervalle \(]0;+\infty[\). Elle n’est pas définie en 0, donc l’extension à tout réel est fausse.
f'(x)=-\frac{n}{x^{n+1}} pour x\neq 0
Explication
On applique la règle des puissances à \(x^{-n}\), ce qui donne \(-n x^{-n-1}\), soit \(-\frac{n}{x^{n+1}}\). Le domaine exclut 0 car le dénominateur ne peut pas s’annuler.
(uv)'=u'v+uv'
Explication
La règle du produit donne la somme des deux dérivées partielles : \((uv)'=u'v+uv'\). La formule avec un signe moins correspond plutôt à certains quotients, pas au produit.
f'(x)=a\,g'(ax+b)
Explication
Pour une composition affine, on multiplie par le coefficient de x dans l’argument, donc \(f'(x)=a\,g'(ax+b)\). Les autres réponses oublient la règle de chaîne ou modifient mal le facteur.
Le coefficient directeur de la tangente
Explication
La dérivée en a est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a. L’ordonnée seule ou l’aire sous la courbe ne donnent pas la pente de la tangente.
y=f'(a)(x-a)+f(a)
Explication
L’équation réduite d’une tangente s’écrit avec la pente \(f'(a)\) et le point \(A(a;f(a))\) : \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\). Les autres formes placent mal la pente ou la valeur au point de tangence.
Mémorisez les réponses avec 16 flashcards sur Introduction à la dérivation et à la tangente.
Taux de variation — définition ?
Rapport (f(a+h)−f(a))/h pour h≠0.
Nombre dérivé — rôle ?
Mesure la pente de la tangente en un point.
Dérivabilité en un point — condition ?
Limite du taux de variation quand h→0 existe et est finie.
Consultez la fiche de révision complète sur Introduction à la dérivation et à la tangente.
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