Fiche de révision : Introduction à la dérivation et ses applications

📋 Plan du Cours

1. Limite en zéro d'une fonction et définition de la limite
2. Nombre dérivé, dérivabilité et pente de la tangente en un point
3. Tangente à une courbe et équation de la tangente en un point
4. Dérivées des fonctions usuelles et fonction dérivée
5. Opérations sur les fonctions dérivées : somme, produit, quotient et fonction composée
6. Lien entre signe de la dérivée et variations d'une fonction
7. Étude des variations et extremums des fonctions polynomiales et rationnelles
8. Applications de la dérivation : étude du signe, position relative de courbes et optimisation

📖 1. Limite en zéro d'une fonction et définition de la limite

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition : On dit que la fonction 𝑓 est dérivable en 𝑎 s'il existe un nombre réel 𝐿, tel que : lim ℎ→0 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ = 𝐿.

📝 Points essentiels

• La limite de f(x) en 0 est L si f(x) peut être arbitrairement proche de L quand x est suffisamment proche de 0.
• La limite peut être un nombre réel ou +∞.
• La limite n'implique pas nécessairement que f(0) existe.

💡 À retenir

La limite en zéro décrit le comportement local d'une fonction autour de ce point, indépendamment de la valeur en ce point.

📖 2. Nombre dérivé, dérivabilité et pente de la tangente en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Pour ℎ ≠ 0 : 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ = (𝑎+ℎ)2−𝑎2 ℎ = 𝑎2+2𝑎ℎ+ℎ2−𝑎2 ℎ = ℎ(2𝑎+ℎ) ℎ = 2𝑎 + ℎ Or : lim ℎ→0 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎) ℎ = lim ℎ→0 2𝑎 + ℎ
• Taux d'accroissement : Le rapport (f(a+h) - f(a))/h qui mesure la variation moyenne de la fonction entre a et a+h.

📝 Points essentiels

• Le nombre dérivé f'(a) est la limite du taux d'accroissement (f(a+h)-f(a))/h quand h tend vers 0.
• Une fonction est dérivable en a s'il existe un nombre réel L égal à cette limite.
• Si cette limite n'existe pas ou est infinie, la fonction n'est pas dérivable en a.
• La pente de la tangente à la courbe en a est égale au nombre dérivé f'(a).
• Cette pente s'appelle le nombre dérivé de 𝑓 en 𝑎 et se note 𝑓′(𝑎).
• 𝐿 est appelé le nombre dérivé de 𝑓 en 𝑎 et se note 𝑓′(𝑎).

💡 À retenir

La dérivabilité en un point correspond à la possibilité de définir une pente locale précise via la limite du taux d'accroissement.

📖 3. Tangente à une courbe et équation de la tangente en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente à une courbe : Une droite qui passe par un point de la courbe et dont la pente est égale au nombre dérivé de la fonction en ce point.
• Équation de la tangente : 𝑔’(2) = 2 ℎ’(6)

📝 Points essentiels

• L'équation de la tangente s'écrit y = f'(a)(x - a) + f(a).
• La tangente est la limite des droites sécantes (AM) quand M tend vers A.

💡 À retenir

La notion géométrique de tangente correspond à la définition analytique via le nombre dérivé et son équation.

📖 4. Dérivées des fonctions usuelles et fonction dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode : Une procédure systématique permettant de démontrer la dérivabilité d'une fonction en un point donné.
• Démonstration au programme : Une preuve formelle incluse dans le programme officiel qui établit la dérivabilité d'une fonction ou calcule sa dérivée.
• Théorème : Une assertion mathématique démontrée qui permet d'établir des propriétés, notamment sur la dérivabilité et les variations des fonctions.
• Fonction dérivée : Une fonction qui, à chaque point d'un intervalle où la fonction initiale est dérivable, associe le nombre dérivé en ce point.

📝 Points essentiels

• La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 car la limite du taux d'accroissement tend vers +∞.
• La dérivabilité sur un intervalle signifie dérivabilité en tout point de cet intervalle.
• Dans ce cas, la fonction qui à tout réel 𝑥 de 𝐼 associe le nombre dérivé de 𝑓 en 𝑥 est appelée fonction dérivée de 𝑓 et se note 𝑓′.
• Définitions : On dit que la fonction 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐼, si elle est dérivable en tout réel de 𝐼.

💡 À retenir

Maîtriser les dérivées fondamentales des fonctions usuelles et comprendre les cas de non dérivabilité.

📖 5. Opérations sur les fonctions dérivées : somme, produit, quotient et fonction composée

🔑 Notions clés & Définitions

• Soit : Terme utilisé pour introduire la définition d'une fonction ou d'une relation dans un énoncé mathématique.
• Correction a) 𝑓′(𝑥) : Expression de la dérivée de la fonction 𝑓, calculée ici comme 4𝑥 − 8, représentant la pente de la tangente à la courbe de 𝑓 en un point 𝑥 donné.
• Opérations sur les fonctions dérivées : Ensemble des règles permettant de calculer la dérivée de combinaisons de fonctions dérivables, incluant la somme, le produit, le quotient et la composition de fonctions.

📝 Points essentiels

• La dérivée d'une somme est la somme des dérivées : (u+v)' = u' + v'
• La dérivée d'un produit est donnée par la formule (uv)' = u'v + uv'
• La dérivée d'un quotient est donnée par (u/v)' = (u'v - uv') / v²
• La dérivée d'une fonction composée de la forme f(ax + b) est a × f'(ax + b)
• Ces formules sont valables uniquement si les fonctions considérées sont dérivables sur l'intervalle étudié

💡 À retenir

Il est essentiel de savoir calculer la dérivée de combinaisons de fonctions en appliquant rigoureusement les règles opératoires, en tenant compte des conditions de dérivabilité.

📖 6. Lien entre signe de la dérivée et variations d'une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Déduit que la fonction : Conclusion obtenue à partir de l'étude du signe de la dérivée qui permet de déterminer le comportement monotone de la fonction.
• Fonction 𝑓 est strictement : Propriété d'une fonction qui est strictement croissante ou strictement décroissante selon que sa dérivée est strictement positive ou strictement négative sur un intervalle.
• Elle est donc d’abord : Description de la variation initiale de la fonction sur un intervalle, déterminée par le signe de la dérivée avant un point critique.

📝 Points essentiels

• Si f' ≥ 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle
• Si f' > 0, alors f est strictement croissante
• Si f' < 0, alors f est strictement décroissante

💡 À retenir

Si f' ≥ 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle

📖 7. Étude des variations et extremums des fonctions polynomiales et rationnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• B) Étude du signe de la dérivée : On commence par résoudre l’équation 𝑓′(𝑥) = 0.
• C) On dresse alors le tableau de variations : La double-barre dans le tableau signifie que la fonction n’est pas définie pour 𝑥 = 2.

📝 Points essentiels

• Un extremum local se trouve en un point où la dérivée s'annule et change de signe.
• Le tableau de variations synthétise le signe de la dérivée et les variations de la fonction.
• Pour une fonction polynomiale du second ou troisième degré, on calcule la dérivée, on étudie son signe pour dresser le tableau de variations.
• Pour une fonction rationnelle, on calcule la dérivée en utilisant la règle du quotient, puis on étudie son signe en tenant compte des points d'indéfinition.
• Les extremums correspondent aux maxima ou minima locaux selon le changement de signe de la dérivée.

💡 À retenir

L'application de la dérivation permet d'analyser rigoureusement les variations et extremums des fonctions polynomiales et rationnelles.

📖 8. Applications de la dérivation : étude du signe, position relative de courbes et optimisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Étude du signe : Analyse visant à déterminer les intervalles où une fonction prend des valeurs positives, négatives ou nulles, souvent réalisée à partir de son tableau de variations ou de la résolution de l'équation f(x) = 0.
• Position relative de deux courbes : Analyse de la position des représentations graphiques de deux fonctions en étudiant le signe de la différence de leurs valeurs en chaque point de leur domaine commun.

📝 Points essentiels

• Le signe d'une fonction peut être déterminé à partir de son tableau de variations.
• La position relative de deux courbes se déduit du signe de la différence de leurs fonctions.
• La dérivée permet de déterminer le bénéfice maximal et la quantité correspondante dans un contexte économique.
• Déterminer le bénéfice maximal et le nombre de composants correspondants à produire.

💡 À retenir

Utiliser la dérivation comme outil puissant pour résoudre des problèmes concrets d'analyse de signe, comparaison de courbes et optimisation.

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des dérivées de fonctions usuelles

Règles de dérivation

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre limite finie et limite infinie en zéro.
2. Calcul incorrect de la dérivée d'une fonction composée.
3. Oublier que la dérivabilité n'implique pas la continuité.
4. Erreur dans l'application des règles de dérivation pour le quotient.
5. Interprétation erronée du signe de la dérivée pour la variation.
6. Confusion entre extremum local et global.
7. Mauvaise utilisation du tableau de variations pour fonctions rationnelles.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir la limite en zéro d'une fonction.
2. Calculer la dérivée d'une fonction simple.
3. Utiliser la formule de la dérivée d'une somme.
4. Étudier le signe de la dérivée pour déterminer la croissance.
5. Tracer le tableau de variations d'une fonction polynomiale.
6. Identifier un extremum local à partir de la dérivée.
7. Appliquer la formule de la tangente en un point.
8. Comprendre la relation entre dérivée et pente de la tangente.
9. Utiliser la dérivée pour optimiser une fonction.
10. Analyser la position relative de deux courbes.