Fiche de révision : Introduction à la Dérivée et à la Tangente

📋 Plan du Cours

1. Taux de variation
2. Limite de la dérivée
3. Dérivabilité en un point
4. Tangent à la courbe
5. Equation de la tangente
6. Fonction dérivée

📖 1. Taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : La différence relative entre deux valeurs d'une fonction en deux points, exprimée par le rapport de leur variation par rapport à la variation de la variable indépendante.
• Formule du taux de variation : $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$, où $h$ représente une variation de la variable $x$.
• Calcul par simplification algébrique : La simplification du quotient $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ permet d'obtenir une expression plus simple, souvent pour analyser la limite quand $h \to 0$.
• Interprétation géométrique : Le taux de variation moyen entre deux points correspond à la pente de la droite secante reliant ces deux points sur la courbe de la fonction.

📝 Points essentiels

• Le taux de variation entre deux points $x$ et $x+h$ mesure la variation de la fonction sur cet intervalle.
• La formule $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ est fondamentale pour définir la dérivée en limite lorsque $h \to 0$ (voir section 2).
• Lorsqu'on simplifie algébriquement cette formule, on peut analyser le comportement de la fonction et préparer le passage à la limite.
• La métaphore limite, $\lim_{h \to 0} (10 + h) = 10$, illustre que le taux de variation instantané en un point est la limite du taux de variation moyen lorsque l'intervalle tend vers zéro.
• Si cette limite existe et est finie, la fonction est dérivable en ce point, et le taux de variation devient la dérivée locale, représentant la pente de la tangente (voir section 3).

💡 À retenir

Le taux de variation entre deux points d'une fonction, calculé par $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$, permet d'appréhender la pente moyenne entre ces points et sert de base pour définir la dérivée en limite lorsque l'intervalle devient infinitésimal.

📖 2. Limite de la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite de la fonction : La limite d'une fonction $f(x)$ en un point $a$ est la valeur que $f(x)$ approche lorsque $x$ tend vers $a$.
• Limite du taux de variation : La limite du rapport $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ lorsque $h$ tend vers 0, qui permet de définir la dérivée en un point.
• Limite de l'expression $10 + h$ : $\lim_{h \to 0} (10 + h) = 10$, illustrant que la limite d'une constante plus un terme tendant vers 0 est la constante elle-même.
• Lien entre limite et dérivabilité : Si la limite du taux de variation existe et est finie lorsque $h \to 0$, alors la fonction est dérivable en ce point, et la limite est la valeur de la dérivée (voir PERROUX (date)).

📝 Points essentiels

• La limite du taux de variation $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ permet de définir la dérivée en un point $x$.
• Lorsqu’on calcule cette limite pour un exemple comme $f(x) = (5)^2$, on obtient $\lim_{h \to 0} (10 + h) = 10$, ce qui montre que la dérivée en ce point est 10.
• La limite de l’expression $10 + h$ lorsque $h \to 0$ est simplement 10, illustrant la constance de la limite pour une fonction affine.
• La dérivabilité en un point $a$ est assurée si cette limite existe et est finie, ce qui permet de définir la pente de la tangente à la courbe en ce point.
• La tangente à la courbe au point d’abscisse $a$ est donnée par l’équation réduite $T_a : y = f'(a)(x - a) + f(a)$, où $f'(a)$ est la limite du taux de variation en $a$.

💡 À retenir

La limite du taux de variation quand $h \to 0$ permet de définir la dérivée en un point, établissant ainsi un lien fondamental entre limite et dérivabilité.

📖 3. Dérivabilité en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité en un point a : La fonction $f$ est dérivable en un point $a$ si la limite du taux de variation existe et est finie lorsque $h$ tend vers 0, c'est-à-dire si
  $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \quad \text{existe et est finie.}$
• Condition de dérivabilité : La limite du taux de variation $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ doit exister et être finie pour que $f$ soit dérivable en $a$.
• Nombre dérivé $f'(a)$ : La valeur de la limite du taux de variation en $a$, si elle existe, constitue le nombre dérivé en ce point, représentant la pente de la tangente à la courbe en $a$.
• Exemple : Si $f$ est dérivable en 5 et $f'(5) = 10$, cela signifie que la limite du taux de variation en 5 est 10, et la tangente à la courbe en ce point a une pente de 10.
• AUTEUR (source): La limite du taux de variation, métaphore limite, illustre la notion de dérivabilité en un point (voir source).

📝 Points essentiels

• La dérivabilité en un point $a$ repose sur l'existence et la finitude de la limite du taux de variation $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ lorsque $h \to 0$.
• La limite du taux de variation, si elle existe, donne le nombre dérivé $f'(a)$, qui est la pente de la tangente à la courbe en $a$.
• La démonstration par l'exemple montre que si $f(x) = (5+h)^2$, alors en $x=5$, la limite du taux de variation est 10, donc $f$ est dérivable en 5 avec $f'(5) = 10$.
• La notion de limite est essentielle : $\lim_{h \to 0} (10 + h) = 10$, ce qui confirme la dérivabilité en ce point.
• La dérivabilité implique que la fonction est localement approchable par sa tangente en ce point, dont l'équation est $T_a : y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

💡 À retenir

La dérivabilité en un point $a$ est assurée si la limite du taux de variation existe et est finie, ce qui garantit l'existence du nombre dérivé $f'(a)$ et la possibilité de tracer la tangente à la courbe en ce point.

📖 4. Tangent à la courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition de la tangente à la courbe au point d'abscisse a : La tangente à la courbe de fonction f au point d'abscisse a est la droite passant par le point A(a, f(a)) dont le coefficient directeur est le nombre dérivé f'(a). Son équation réduite est :
  $T_a : y = f'(a)(x - a) + f(a)$ (source)

• Lien entre dérivabilité en a et existence de la tangente : Si la fonction f est dérivable en a, alors la tangente à la courbe en ce point existe et est unique. La dérivabilité garantit que le nombre dérivé f'(a) est fini, ce qui assure la définition précise de la tangente.

• Interprétation géométrique : La tangente passe par le point A(a, f(a)) et possède pour coefficient directeur le nombre dérivé f'(a). Elle représente la meilleure approximation locale de la courbe en ce point, en étant la droite qui "touche" la courbe sans la couper localement.

📝 Points essentiels

• La définition de la tangente repose sur la limite du taux de variation :
  $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} = f'(a)$ Si cette limite existe et est finie, f est dérivable en a, et la tangente est bien définie par l'équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

• La dérivabilité en a implique que la limite du taux de variation, qui est le coefficient directeur de la tangente, existe. La tangente est donc la droite qui "touche" la courbe en un point sans la couper localement, représentant une approximation linéaire de f en a.

• La relation entre la dérivée et la tangente permet de visualiser le comportement local de la fonction : si f'(a) > 0, la tangente est croissante ; si f'(a) < 0, elle est décroissante ; si f'(a) = 0, la tangente est horizontale.

💡 À retenir

La tangente à la courbe en un point d'abscisse a est la droite passant par A(a, f(a)) dont le coefficient directeur est le nombre dérivé f'(a), représentant l'approximation linéaire locale de la fonction en ce point. La dérivabilité en a garantit l'existence et l'unicité de cette tangente.

📖 5. Equation de la tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule de l'équation réduite de la tangente :
  $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
  C'est l'équation de la droite tangente à la courbe de la fonction $f$ en un point d'abscisse $a$.
  AUTEUR (date inconnue) : cette formule relie la dérivée en $a$ au tracé de la tangente.

• Signification des termes dans l'équation de la tangente :

  • $f'(a)$ : coefficient directeur de la tangente, égal à la dérivée de $f$ en $a$.
  • $a$ : abscisse du point de tangence.
  • $f(a)$ : ordonnée du point de tangence, valeur de la fonction en $a$.
  • $x$ : variable indépendante.

• Lien entre équation de la tangente et dérivée en $a$ :
  La dérivée $f'(a)$ donne la pente de la tangente au point $a$. Si $f$ est dérivable en $a$, l'équation de la tangente peut être construite directement à partir de cette dérivée.

• Utilisation de l'équation pour tracer la tangente :
  En connaissant $f(a)$ et $f'(a)$, on peut tracer la droite passant par $A(a, f(a))$ avec une pente $f'(a)$, ce qui permet de représenter graphiquement la tangente à la courbe en ce point.

📝 Points essentiels

• La formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ est valable si $f$ est dérivable en $a$.
• La tangente passe par le point $A(a, f(a))$ et possède pour coefficient directeur $f'(a)$.
• La dérivée $f'(a)$ est la limite du taux de variation de $f$ en $a$ lorsque $h \to 0$, ce qui justifie la relation entre la pente et la taux de variation instantané.
• La construction de la tangente repose sur la connaissance de la dérivée en $a$ (voir section 3).
• La tangente sert à approcher la courbe localement et à analyser la croissance ou décroissance de $f$ autour de $a$.

💡 À retenir

L'équation de la tangente, $y = f'(a)(x - a) + f(a)$, relie la dérivée en un point à la droite qui touche la courbe en ce point, permettant une représentation locale précise de la fonction.

📖 6. Fonction dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée sur un intervalle : Une fonction $f$ est dite dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en tout point de cet intervalle, c'est-à-dire si la limite du taux de variation existe et est finie en chaque point (voir section 3).
• Condition de dérivabilité : $f$ doit être dérivable en chaque point de l'intervalle considéré, ce qui implique que la limite du taux de variation, appelée limite de la différence, doit exister et être finie en chaque point (voir section 3).
• Notations et interprétation de la fonction dérivée $f'$ : La fonction dérivée $f'$ associe à chaque point $x$ de l'intervalle le nombre dérivé $f'(x)$, qui représente la pente de la tangente à la courbe de $f$ en ce point (voir section 4).
• Lien entre fonction dérivée et dérivées ponctuelles : La valeur $f'(a)$ est la dérivée ponctuelle en $a$, c'est-à-dire la limite du taux de variation lorsque $h \to 0$ (voir section 2).
• Théorie de la limite : La dérivée en un point $a$ est définie comme la limite du taux de variation $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$, si cette limite existe et est finie (voir section 2).

📝 Points essentiels

• La fonction dérivée $f'$ est définie sur un intervalle si $f$ est dérivable en tout point de cet intervalle. La dérivabilité implique que la limite du taux de variation existe en chaque point, ce qui garantit l'existence de $f'(x)$.
• La notation $f'$ est couramment utilisée pour représenter la fonction dérivée, et elle peut être interprétée comme la pente de la tangente à la courbe de $f$ en un point donné.
• La dérivée ponctuelle en $a$, notée $f'(a)$, est la limite du taux de variation lorsque $h \to 0$, illustrée par l'exemple du calcul de la limite $\lim_{h \to 0} (10 + h) = 10$.
• La relation entre la fonction dérivée et la dérivée ponctuelle permet d'établir une correspondance entre chaque point de l'intervalle et la pente de la tangente à la courbe en ce point.
• La tangente à la courbe en $a$ a pour équation réduite $T_a : y = f'(a)(x - a) + f(a)$, où $f'(a)$ est le coefficient directeur (voir section 4).

💡 À retenir

La fonction dérivée $f'$ est une fonction qui, sur un intervalle, associe à chaque point la pente de la tangente à la courbe de $f$, conditionnée par la dérivabilité de $f$ en tout point de cet intervalle.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre taux de variation moyen et instantané : le premier entre deux points, le second en limite quand $h \to 0$.
2. Oublier que la limite du taux de variation doit être finie pour que la fonction soit dérivable en un point.
3. Confondre la dérivée $f'(a)$ avec la valeur de la fonction $f(a)$.
4. Négliger que la dérivabilité implique l'existence d'une tangente, mais que l'inverse n'est pas toujours vrai.
5. Se tromper dans le signe du coefficient directeur lors de l'écriture de l'équation de la tangente.
6. Oublier que la limite du taux de variation est la pente de la tangente, pas la valeur de la fonction.
7. Confondre la limite d'une fonction et la limite du taux de variation (qui implique une différence).

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition du taux de variation et sa formule $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$.
2. Savoir calculer la limite du taux de variation pour définir la dérivée en un point.
3. Comprendre que la limite du taux de variation quand $h \to 0$ permet de définir la dérivée $f'(a)$.
4. Maîtriser la condition de dérivabilité : limite du taux de variation finie et existante.
5. Savoir que la dérivée $f'(a)$ représente la pente de la tangente à la courbe en $a$.
6. Connaître la formule de l’équation de la tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
7. Savoir que la tangente est la droite qui touche la courbe en un point sans la couper localement, si la fonction est dérivable.
8. Être capable d’interpréter graphiquement la dérivée comme la pente de la tangente.
9. Identifier les erreurs fréquentes dans le calcul ou l’interprétation du taux de variation et de la dérivée.
10. Connaître la référence de PERROUX sur la croissance et la limite.
11. Savoir que la dérivabilité implique l’existence d’une tangente unique en un point.
12. Vérifier la maîtrise du vocabulaire : taux de variation, limite, dérivée, tangente, équation de la tangente.