Fiche de révision : Introduction à la dérivée et au taux de variation

📋 Plan du Cours

1. Définition taux de variation
2. Dérivabilité en a
3. Nombre dérivé f'(a)
4. Calcul limite h→0
5. Exemples dérivées
6. Calcul dérivée en 4
7. Calcul dérivée en 1
8. Calcul dérivée en -2
9. Exercices dérivées
10. Fonction polynomiale g(x)

📖 1. Définition taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation en a d'une fonction f : Il correspond au rapport entre la variation de la valeur de la fonction lorsque l'on modifie la variable d'entrée de h, et cette variation h elle-même. Formellement, c'est :
  $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ où h est un nombre réel différent de zéro.

• Condition de dérivabilité en a : Si ce taux de variation tend vers un nombre défini lorsque h tend vers 0, alors la fonction f est dite dérivable en a.

• Nombre dérivé de f en a (f'(a)) : C'est la limite du taux de variation lorsque h tend vers 0, si cette limite existe.
  $\boldsymbol{f'(a)} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

📝 Points essentiels

• La définition du taux de variation est basée sur la différence entre f(a+h) et f(a), rapportée à h.
• La dérivabilité en a est assurée si cette limite existe et est finie.
• Le nombre dérivé f'(a) représente la pente de la tangente à la courbe de f en a.
• La limite h→0 est essentielle pour passer du taux de variation à la dérivée.
• La formule du nombre dérivé est une limite du taux de variation, qui doit converger pour que f soit dérivable en a.

💡 À retenir

Le taux de variation mesure la variation instantanée d'une fonction en un point, et si cette variation tend vers un nombre fini lorsque h tend vers 0, ce nombre est la dérivée en ce point.

📖 2. Dérivabilité en a

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité en a : Une fonction $f$ est dite dérivable en un point $a$ si le taux de variation en $a$ tend vers un nombre défini lorsque $h$ tend vers 0.
• Nombre dérivé $f'(a)$ : C'est la limite du taux de variation en $a$ lorsque $h \to 0$, c'est-à-dire :
  $\displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
  Ce nombre représente la pente de la tangente à la courbe de $f$ en $a$.

📝 Points essentiels

• La dérivabilité en $a$ est conditionnée par l'existence de la limite du taux de variation lorsque $h \to 0$.
• La limite $f'(a)$ est calculée via la formule :
  $\displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
• Si cette limite existe, la fonction est dérivable en $a$.
• La dérivabilité implique que le taux de variation en $a$ est stable et tend vers un nombre précis, le nombre dérivé.
• La limite est calculée en étudiant le comportement de $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ lorsque $h$ devient très petit, en utilisant des techniques de calcul limite.

💡 À retenir

La dérivabilité en un point $a$ repose sur l'existence d'une limite du taux de variation lorsque $h$ tend vers 0, et cette limite, appelée nombre dérivé, représente la pente de la tangente à la courbe en ce point.

📖 3. Nombre dérivé f'(a)

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé en a (f'(a)) : C'est la limite lorsque h tend vers 0 du taux de variation en a d'une fonction f, c'est-à-dire la limite du rapport entre la variation de la fonction et la variation de la variable lorsque cette variation h devient infiniment petite.
  Formule :
  f'(a) = lim (h → 0) [f(a + h) - f(a)] / h
  (source : définition du taux de variation, voir section 1)

• Calcul limite h→0 : Opération mathématique qui consiste à déterminer la valeur vers laquelle tend une expression lorsque h approche 0.
  (source : calcul limite h→0, voir section 4)

• Exemples de dérivées : Illustrations concrètes du calcul du nombre dérivé en différents points pour des fonctions spécifiques.
  (source : exemples de dérivées, voir section 5)

📝 Points essentiels

• La dérivabilité en a est assurée si la limite du taux de variation en a existe et est finie.
• Le nombre dérivé en a, noté f'(a), représente la pente de la tangente à la courbe de f en ce point.
• Pour calculer f'(a), on remplace h par une variable tendant vers 0 dans la limite du taux de variation.
• La limite limite h→0 est souvent calculée en développant ou simplifiant l'expression du taux de variation.
• Les exemples montrent que pour des fonctions polynomiales, le calcul du nombre dérivé en un point est systématique en utilisant la définition.

💡 À retenir

Le nombre dérivé en un point a correspond à la limite du taux de variation lorsque h tend vers 0, représentant la pente de la tangente à la courbe en ce point.

📖 4. Calcul limite h→0

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul limite h→0 : La procédure consistant à étudier le comportement d'une expression lorsque la variable h tend vers 0. Elle permet notamment de définir la dérivée d'une fonction en un point en utilisant la limite du taux de variation lorsque h approche 0.

• Exemples dérivées : Illustrations concrètes du calcul de la limite h→0 du taux de variation pour différentes fonctions, permettant de déterminer leur nombre dérivé en un point.

• Fonction polynomiale g(x) : Fonction de la forme $g(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$. Elle sert d'exemple dans le calcul de dérivées via la limite h→0, notamment pour illustrer la méthode dans le cas de fonctions polynomiales.

📝 Points essentiels

• La limite h→0 du taux de variation en a d'une fonction $f$ est définie par :
  $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ Si cette limite existe, la fonction est dérivable en a et $f'(a)$ est son nombre dérivé en ce point.

• Le calcul de cette limite implique souvent de développer $f(a+h)$, puis de simplifier l'expression pour faire apparaître un terme en h au dénominateur, et enfin d'appliquer la limite lorsque h tend vers 0.

• Dans l'exemple de la fonction polynomiale $g(x)$, le processus consiste à calculer $\frac{g(a+h) - g(a)}{h}$ puis à faire tendre h vers 0 pour obtenir la dérivée en a.

• La limite lorsque h→0 permet d'obtenir une expression précise du taux de variation instantané en un point, c'est-à-dire la pente de la tangente à la courbe en ce point.

💡 À retenir

Le calcul limite h→0 du taux de variation d'une fonction en un point permet de définir rigoureusement sa dérivée en ce point, en approchant la variation instantanée par une limite lorsque h tend vers zéro.

📖 5. Exemples dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Exemples dérivées : Illustrations concrètes du calcul du nombre dérivé en utilisant la définition du taux de variation et la limite quand h→0, appliquées à des fonctions spécifiques comme f(x) = 2x² + 7 ou g(x) = 4x² - 7x + 15.

• Calcul limite h→0 : Opération mathématique consistant à déterminer la valeur de l’expression lorsque la variable h tend vers zéro, essentielle pour définir le nombre dérivé.

• Fonction polynomiale g(x) : Fonction composée d’un summe de termes de la forme aₙxⁿ, ici g(x) = 4x² - 7x + 15, utilisée comme exemple pour illustrer le calcul de dérivées.

📝 Points essentiels

• La dérivabilité en un point a est assurée si le taux de variation f(a+h) - f(a) / h tend vers un nombre défini lorsque h→0. Ce nombre est le nombre dérivé f'(a).

• Pour calculer un exemple de dérivée, on commence par exprimer f(a+h) puis on simplifie le numérateur de la fraction (f(a+h) - f(a)) / h.

• La limite de cette expression quand h→0 donne le nombre dérivé en a, par exemple f'(4) = 16 pour la fonction f(x) = 2x² + 7.

• La méthode est illustrée par plusieurs exemples concrets, notamment pour f(x) = 2x² + 7, en calculant f'(4), f'(1), et pour g(x) = 4x² - 7x + 15 en 2.

💡 À retenir

Les exemples dérivées montrent comment appliquer la définition du nombre dérivé à des fonctions polynomiales en utilisant la limite limite h→0 du taux de variation, permettant ainsi de déterminer la pente de la tangente en un point donné.

📖 6. Calcul dérivée en 4

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynomiale g(x) : Fonction définie par un polynôme, c’est-à-dire une expression algébrique composée de termes de la forme aₙxⁿ, où n est un entier naturel, et aₙ un coefficient réel. (source : contenu fourni)

• Exemples dérivées : Illustrations concrètes du calcul de la dérivée d’une fonction polynomiale g(x), notamment en utilisant la définition de la dérivée par limite du taux de variation en un point.

📝 Points essentiels

• La dérivabilité en un point a d’une fonction f est assurée si le taux de variation en a tend vers un nombre fini lorsque h tend vers 0. Ce nombre est appelé nombre dérivé en a, noté f'(a).

• Pour une fonction polynomiale g(x), le calcul du nombre dérivé en un point consiste à :

  1. Calculer f(a+h) et f(a).
  2. Former le taux de variation : $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
  3. Simplifier cette expression.
  4. Calculer la limite quand h → 0.

• Exemple 1 (en 4) : Pour f(x) = 2x² + 7, le nombre dérivé en 4 est 16, obtenu en calculant la limite du taux de variation.

• Exemple 2 et 3 : Même démarche pour d’autres points (ex. 1 et -2), avec des calculs spécifiques pour chaque fonction polynomiale.

• La limite du taux de variation en h → 0 donne le nombre dérivé en ce point, qui correspond à la pente de la tangente à la courbe en ce point.

💡 À retenir

Le calcul de la dérivée en un point pour une fonction polynomiale repose sur la limite du taux de variation, permettant d’obtenir la pente de la tangente en ce point. La méthode consiste à exprimer f(a+h) et f(a), puis à simplifier et à prendre la limite quand h tend vers 0.

📖 7. Calcul dérivée en 1

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul limite h→0 : Opération consistant à déterminer la limite d'une expression lorsque la variable h tend vers 0. Dans ce contexte, il s'agit de la limite du taux de variation pour définir la dérivée (voir section 4).

• Exemples dérivées : Illustrations concrètes du calcul de la dérivée en un point en utilisant la définition du taux de variation et la limite h→0 (voir section 5).

• Nombre dérivé f'(a) : Nombre réel obtenu en faisant tendre le taux de variation f(a+h) - f(a) sur h vers 0. Il représente la pente de la tangente à la courbe de f en a (voir section 3, mais ici utilisé dans le contexte de calcul en 1).

📝 Points essentiels

• La dérivabilité en un point a se définit par l'existence de la limite du taux de variation lorsque h→0 :
  $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

• Pour calculer cette limite, on exprime f(a+h), puis on simplifie le numérateur pour faire apparaître un h en facteur, permettant de réduire l'expression à une forme où h peut tendre vers 0.

• Dans l'exemple 1, pour f(x) = 2x² + 7, le calcul en 4 montre que la limite du taux de variation donne f'(4) = 16.

• Dans l'exemple 2, pour f(x) = 2x² + 7, le calcul en 1 montre que f'(1) = 4.

• Dans l'exemple 3, pour f(x) = 2x² + 7, le calcul en -2 donne f'(-2) = -8.

• La démarche consiste à exprimer f(a+h), simplifier, puis calculer la limite lorsque h→0.

💡 À retenir

Le calcul de la dérivée en un point consiste à déterminer la limite du taux de variation lorsque h tend vers 0, ce qui donne la pente de la tangente à la courbe en ce point. La méthode repose sur l'expression du taux, la simplification, puis la limite.

📖 8. Calcul dérivée en -2

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul limite h→0 : La limite du taux de variation lorsque h tend vers 0, permettant de définir la dérivée en un point.
• Exemples dérivées : Illustrations concrètes du calcul de la dérivée en un point précis à l’aide de la limite du taux de variation (voir section 3).

📝 Points essentiels

• La dérivabilité en a est déterminée par la limite du taux de variation :
  $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
• Pour calculer la dérivée en -2, on remplace a par -2 dans cette limite.
• La procédure consiste à exprimer $f(a+h)$, puis à simplifier le numérateur, et enfin à calculer la limite quand h tend vers 0.
• La fonction est dérivable en -2 si cette limite existe.
• Le résultat obtenu est le nombre dérivé en -2, noté $f'(-2)$.

💡 À retenir

Le calcul de la dérivée en -2 repose sur l’évaluation de la limite du taux de variation lorsque h tend vers 0, en utilisant la formule spécifique pour cette valeur de a. La limite, si elle existe, donne le nombre dérivé en -2.

📖 9. Exercices dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Exercices dérivées : Exercices consistant à appliquer la définition de la dérivée pour calculer le nombre dérivé d'une fonction en un point donné, en utilisant la limite du taux de variation lorsque h tend vers 0.
• Application de la définition de la dérivée : Méthode consistant à calculer le nombre dérivé en a en utilisant la limite du taux de variation :
  $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ où on remplace f(a+h) et f(a) par leurs expressions, puis on simplifie et on calcule la limite quand h tend vers 0.

📝 Points essentiels

• La démarche consiste à calculer d'abord f(a+h) puis à former le taux de variation : $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
• On simplifie l'expression obtenue pour faire apparaître un facteur h au numérateur.
• La limite quand h tend vers 0 donne le nombre dérivé f'(a).
• La méthode est illustrée par des exemples concrets, notamment avec des fonctions polynomiales.
• La vérification de la dérivabilité en un point se fait en montrant que la limite du taux de variation existe et est finie.
• La démarche est répétée pour différents points et différentes fonctions pour maîtriser la méthode.

💡 À retenir

Les exercices de dérivées consistent à appliquer la définition de la dérivée en calculant la limite du taux de variation, ce qui permet d’obtenir le nombre dérivé en un point précis.

📖 10. Fonction polynomiale g(x)

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynomiale g(x) : Fonction définie par une expression algébrique composée de termes de la forme aₙxⁿ, où n est un entier naturel, et aₙ est un coefficient réel. Elle peut s’écrire sous la forme $g(x) = aₙx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$.

• Exemples dérivées : La dérivée d’une fonction polynomiale g(x) peut être calculée en utilisant la règle de dérivation des termes monomiaux, consistant à multiplier le coefficient par l’exposant et à diminuer l’exposant d’une unité. Par exemple, si $g(x) = a x^n$, alors $g'(x) = n a x^{n-1}$.

📝 Points essentiels

• La fonction g(x) est une fonction polynomiale, ce qui implique qu’elle est polynomiale en x, avec une expression algébrique de degré n.

• La dérivée d’une fonction polynomiale g(x) est également une fonction polynomiale, dont le degré est inférieur ou égal à celui de g(x).

• La dérivée d’un terme $a x^n$ est donnée par la règle : $(a x^n)' = n a x^{n-1}$.

• La dérivée de g(x) se calcule en dérivant chaque terme séparément, puis en additionnant les résultats.

💡 À retenir

La fonction polynomiale g(x) possède une dérivée qui est aussi une fonction polynomiale, obtenue en appliquant la règle de dérivation de chaque terme monomiale.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre taux de variation et dérivée : le taux de variation est une moyenne, la dérivée est une limite.
2. Oublier que la limite doit être finie pour que la fonction soit dérivable en ce point.
3. Confondre la limite h→0 pour la dérivée avec d’autres limites (ex : h→∞).
4. Ne pas simplifier l’expression du taux de variation avant de calculer la limite.
5. Penser que la dérivabilité implique la continuité, mais pas l'inverse.
6. Utiliser une formule de dérivée sans vérifier si la limite existe.
7. Erreur dans le développement ou la simplification lors du calcul limite, notamment pour les fonctions polynomiales.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition du taux de variation en un point.
2. Savoir que la dérivabilité en a nécessite l’existence de la limite du taux de variation quand h→0.
3. Maîtriser la formule du nombre dérivé $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
4. Être capable de calculer la limite du taux de variation pour une fonction polynomiale en un point.
5. Comprendre que la limite h→0 permet d’obtenir la pente de la tangente à la courbe en un point.
6. Savoir illustrer avec des exemples concrets (ex : dérivée en 4, 1, -2).
7. Identifier et éviter les pièges liés à la simplification des expressions lors du calcul limite.
8. Connaître la différence entre la dérivabilité et la continuité.
9. Maîtriser la notion de limite limite h→0 dans le contexte de la dérivation.
10. Savoir utiliser la définition pour calculer la dérivée d’une fonction polynomiale $g(x) = a_n x^n + \dots + a_0$.
11. Être capable d’interpréter graphiquement la dérivée comme la pente de la tangente.
12. Vérifier que la limite du taux de variation est finie pour assurer la dérivabilité en un point.