QCM : Introduction à la dérivée et au taux de variation — 10 questions

Explication

Le taux de variation, lorsqu'on considère la limite h→0, permet d'obtenir la dérivée, c'est-à-dire la pente de la tangente à la courbe en un point. Son rôle est donc de mesurer la variation instantanée ou la pente locale de la fonction en ce point.

Explication

La dérivabilité en un point a est définie par l'existence d'une limite finie du taux de variation lorsque h tend vers 0. Cette limite, si elle existe, est le nombre dérivé en a. La continuité seule ne garantit pas la dérivabilité, et la dérivée seconde ou la monotonicité ne sont pas directement liées à cette caractéristique.

Explication

Le nombre dérivé f'(a) est défini comme la limite du taux de variation lorsque h tend vers 0. Le taux de variation en a est une valeur moyenne pour un h fixé, tandis que le nombre dérivé représente la variation instantanée, c'est-à-dire la limite de cette moyenne lorsque h devient infinitésimal. La bonne réponse précise cette distinction entre limite et valeur pour un h donné.

Explication

Le nombre dérivé f'(a) est défini comme la limite du taux de variation (f(a+h)-f(a))/h lorsque h tend vers 0, représentant la pente de la tangente à la courbe en a.

Explication

Gottfried Wilhelm Leibniz est souvent crédité d'avoir introduit la notation du différentiel et d'avoir formulé la définition du nombre dérivé en tant que limite du taux de variation. Bien que Newton ait également développé le calcul infinitésimal, Leibniz est associé à cette formulation précise et à la notation moderne.

Explication

La pente de la tangente en x=4 est donnée par la dérivée en ce point, qui se calcule comme la limite du taux de variation lorsque h tend vers 0. La méthode consiste à prendre $rac{f(4+h) - f(4)}{h}$ et à faire tendre h vers 0, ce qui donne la valeur du nombre dérivé en 4, ici 16.

Explication

La formalisation rigoureuse de la dérivée, notamment en utilisant la limite du taux de variation, a été établie au début du XIXe siècle, avec des figures comme Cauchy qui ont posé les bases du calcul différentiel moderne.

Explication

La méthode correcte consiste à appliquer la définition de la dérivée : la limite lorsque h→0 du taux de variation (f(-2+h) - f(-2))/h. Il faut simplifier cette expression puis calculer la limite pour obtenir la dérivée en -2.

Explication

La formule du nombre dérivé en un point est la limite du taux de variation quand h tend vers 0, c'est-à-dire $f'(a) = ext{lim}_{h o 0} rac{f(a+h) - f(a)}{h}$. La seule option correcte est la première, qui correspond à la définition fondamentale.

Explication

La fonction g(x) est utilisée pour illustrer la méthode de calcul de la dérivée en utilisant la limite du taux de variation en un point. En effet, dans ce contexte, on calcule la limite du taux de variation de g(x) en un point pour obtenir sa dérivée, ce qui montre son rôle pédagogique ou illustratif dans le cadre du calcul différentiel.