Fiche de révision : Introduction à la logique mathématique

📋 Plan du Cours

1. Propositions et négation
2. Implication, réciproque et équivalence
3. Quantificateurs logiques
4. Déduction et contre-exemple
5. Absurde, contraposée et cas
6. Récurrence mathématique

📖 1. Propositions et négation

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition : Une proposition est un énoncé mathématique qui peut être jugé vrai ou faux.
• Négation : La négation d’une proposition P est le contraire logique de P, noté non P.
• Contradiction vraie/fausse : Si P est vraie alors non P est fausse, et inversement si P est fausse alors non P est vraie.

📝 Points essentiels

• Une phrase du type « 4 > 6 » constitue une proposition et son évaluation donne la valeur de vérité correspondante.
• L’assertion « ∀ n ∈ Z, 2n est pair » est vraie, tandis que « ∀ n ∈ R, 2n est pair » est fausse sur l’ensemble des réels.
• Si P désigne une proposition, alors « non P » correspond à son contraire logique et sert à raisonner par distinction vrai/faux.
• Pour « ∀ x ∈ R, x² > 6 », l’assertion a une forme de quantification universelle qui appelle une vérification selon x.

💡 Astuce mémo

Vrai et non P s’excluent : tu ne peux pas avoir les deux à la fois.

📖 2. Implication, réciproque et équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : L’implication P ⇒ Q affirme que dès que P est vraie, Q doit aussi être vraie.
• Réciproque : La réciproque de P ⇒ Q est l’implication Q ⇒ P, en échangeant les rôles de P et Q.
• Équivalence : L’équivalence P ⇔ Q signifie que P ⇒ Q et Q ⇒ P sont toutes deux vraies.

📝 Points essentiels

• Par définition, P ⇒ Q signifie : si P est vrai alors Q est vrai, ce qui définit un lien de causalité logique.
• La réciproque Q ⇒ P n’est pas automatiquement vraie : elle doit être démontrée si on veut l’utiliser.
• On a P ⇔ Q quand les deux implications P ⇒ Q et Q ⇒ P sont satisfaites.
• Dans l’exemple, « ABC rectangle en A » entraîne « BC² = AB² + AC² » et l’inverse est formulé comme la réciproque.

💡 Astuce mémo

Implication : P déclenche Q ; réciproque : on inverse le déclenchement ; équivalence : double sens.

📖 3. Quantificateurs logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur universel : Le quantificateur universel ∀ signifie que la propriété étudiée vaut pour tous les éléments d’un ensemble donné.
• Quantificateur existentiel : Le quantificateur existentiel ∃ affirme qu’il existe au moins un élément satisfaisant la propriété.
• Existence unique : Le quantificateur ∃! exprime qu’il existe exactement un seul élément vérifiant la propriété.
• Équivalence logique : L’écrite ⇔ indique que deux propositions sont équivalentes, donc vraies simultanément.

📝 Points essentiels

• ∀ s’utilise par exemple avec « ∀ x ∈ R, x² > 6 » pour demander que la propriété soit vraie pour tout réel x.
• ∃ s’utilise pour exprimer un exemple d’existence, comme « ∃ x ∈ R tel que 2x soit impair » dans le cours.
• ∃! sert à imposer l’unicité, comme « ∃! x ∈ [0,1] tel que x soit impair » avec la valeur x = 0,5 donnée.
• Le symbole ⇔ est noté comme l’équivalence de deux propositions : l’une est vraie exactement quand l’autre l’est.

💡 Astuce mémo

∀ = pour tous ; ∃ = pour au moins un ; ∃! = pour exactement un.

📖 4. Déduction et contre-exemple

🔑 Notions clés & Définitions

• Déduction : La déduction est un raisonnement où l’on part d’hypothèses et, via définitions et propriétés, on obtient logiquement une conclusion.
• Contre-exemple : Un contre-exemple est un exemple qui contredit une proposition universelle ou générale.
• Raisonnement par contre-exemple : Le raisonnement par contre-exemple consiste à prouver qu’une proposition est fausse en exhibant un cas qui la viole.

📝 Points essentiels

• Le raisonnement par déduction part d’hypothèses et utilise définitions et propriétés pour arriver à une conclusion nécessaire.
• Pour contredire une affirmation du type « tout entier vérifie X », il suffit de donner un entier qui vérifie les hypothèses mais pas la conclusion.
• Exemple fourni : « un entier multiple de 4 et de 10 est multiple de 40 » est faux car 20 est multiple de 4 et de 10 mais pas de 40.
• L’exemple de triangle illustre une trajectoire déductive : on part de longueurs AB, AC, BC pour conclure que le triangle est rectangle.

💡 Astuce mémo

Pour réfuter ∀, cherche un x qui casse la règle : un contre-exemple suffit.

📖 5. Absurde, contraposée et cas

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par l’absurde : Le raisonnement par l’absurde consiste à supposer le contraire de la conclusion voulue puis à mener à une contradiction.
• Contraposée : La contraposée de « A implique B » est « non B implique non A ».
• Disjonction de cas : La disjonction de cas consiste à traiter séparément les valeurs pertinentes d’un paramètre lorsque le raisonnement dépend de lui.
• Équivalence contraposée : Une proposition et sa contraposée sont équivalentes : démontrer l’une revient à démontrer l’autre.

📝 Points essentiels

• En l’absurde, on part de l’opposé de ce qu’on veut montrer, puis on prolonge le raisonnement jusqu’à obtenir une contradiction.
• Le cours donne l’exemple « 1/3 n’est pas décimal » en commençant par supposer « 1/3 est décimal » pour viser la contradiction.
• Pour la contraposée, si l’on veut prouver « n² pair ⇒ n pair », on peut prouver « n impair ⇒ n² impair » car les deux sont équivalentes.
• La disjonction de cas s’applique quand on doit raisonner selon que le paramètre prend différentes valeurs, comme n pair ou n impair.

💡 Astuce mémo

Contraposée : tu renverses tout (on échange et on nie) pour garder l’équivalence.

📖 6. Récurrence mathématique

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété héréditaire : Une propriété P(n) est héréditaire à partir de n₀ si, pour tout n ≥ n₀, la vérité de P(n) entraîne la vérité de P(n+1).
• Axiome de récurrence : L’axiome de récurrence dit que si P(n₀) est vraie et si P est héréditaire à partir de n₀, alors P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.
• Initialisation : L’initialisation est l’étape qui vérifie que la propriété P(n₀) est vraie au point de départ n₀.
• Hypothèse de récurrence : L’hypothèse de récurrence est l’étape où l’on suppose P(n) vraie pour en déduire P(n+1) lors du pas suivant.

📝 Points essentiels

• Principe de récurrence : si P(n₀) est vraie et si P(n) vrai implique P(n+1) vrai pour tout n ≥ n₀, alors P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.
• Dans l’exemple, P(n) est la propriété « 4^n − 1 est multiple de 3 » et l’on travaille avec n ∈ N.
• Initialisation choisie : pour n = 0, on obtient 4⁰ − 1 = 0, donc la propriété est vraie au départ.
• Étape héréditaire : en supposant 4^n − 1 = 3k, on réécrit 4^(n+1) − 1 = 4(4^n − 1) + 3 puis on factorise sous la forme 3k’ pour conclure que 4^(n+1) − 1 reste multiple de 3.

💡 Astuce mémo

Récurrence = départ (n₀) + chaînage (n → n+1) jusqu’à l’infini.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre négation et contraire simple : non P doit retourner une valeur de vérité inverse, pas juste une reformulation.
2. Croire que la réciproque d’une implication est toujours vraie : elle doit être prouvée séparément.
3. Mélanger ∀ et ∃ : ∀ exige tous les cas, tandis que ∃ n’exige qu’un cas satisfaisant.
4. Utiliser ∃! comme si elle voulait dire « il y en a au moins un » : l’unicité est une exigence supplémentaire.
5. Oublier l’initialisation dans une preuve par récurrence : sans P(n₀) vrai, l’axiome ne s’applique pas.
6. Faire la contraposée sans inverser et nier correctement : il faut passer de « A ⇒ B » à « non B ⇒ non A ».
7. En contre-exemple, ne pas vérifier que l’exemple respecte bien les hypothèses : sinon il ne contredit pas la bonne proposition.

✅ Checklist Examen

1. Définir ce qu’est une proposition et déterminer la valeur de vérité d’un exemple du type « a > b ».
2. Écrire la négation d’une proposition P et expliquer la relation vrai/faux entre P et non P.
3. Interpréter et utiliser la notation P ⇒ Q comme implication de vérité.
4. Passer correctement de P ⇒ Q à sa réciproque Q ⇒ P.
5. Reconnaître quand deux propositions sont équivalentes et exprimer cela avec P ⇔ Q.
6. Distinguer ∀, ∃ et ∃! et choisir le bon quantificateur dans un énoncé à trous.
7. Lire un énoncé quantifié du type « ∀ x ∈ R, … » et savoir ce que doit montrer une preuve.
8. Expliquer le principe de la déduction et décrire le schéma hypothèses → définitions/propriétés → conclusion.
9. Utiliser un contre-exemple pour réfuter une proposition générale et vérifier que l’exemple contredit la conclusion.
10. Décrire la démarche d’un raisonnement par l’absurde : supposer le contraire puis obtenir une contradiction.
11. Transformer une implication en contraposée correcte et rappeler l’équivalence avec la contraposée.
12. Décrire la logique d’une disjonction de cas et savoir quand séparer les cas (ex. paramètre pair/impair).
13. Structurer une preuve par récurrence en trois éléments : initialisation, hérédité (P(n) ⇒ P(n+1)), puis conclusion pour tout n ≥ n₀.