Fiche de révision : Introduction à la physique nucléaire et quantique

📋 Plan du Cours

1. Relativité restreinte
2. Mécanique quantique
3. Atome d’hydrogène quantique
4. Atomes à plusieurs électrons
5. Structure et stabilité du noyau
6. Interactions fondamentales et particules
7. Radioactivité bêta, capture et fission
8. Interaction des ions et des neutrons
9. Détecteurs à ionisation et scintillation
10. Détection des neutrons et dosimétrie

📖 1. Relativité restreinte

🔑 Notions clés & Définitions

• Relativité restreinte : Théorie où les lois de la physique restent identiques dans tous les référentiels inertiels et où la vitesse de la lumière a la même valeur pour tous les observateurs.
• Transformations de Galilée : En mécanique classique, transformations reliant les coordonnées de deux référentiels en mouvement relatif, supposant une physique identique sans imposer d’invariance de la lumière.
• Transformations de Lorentz : Transformations qui relient les coordonnées et les grandeurs spatio-temporelles entre référentiels inertiels en rendant compatible la constance de la vitesse de la lumière.
• Facteur de Lorentz gamma : Quantité notée γ qui amplifie les effets relativistes et vaut γ=1/√(1−β²) avec β=v/c.

📝 Points essentiels

• Les lois de la physique sont invariantes lors d’un changement de référentiel inertiel et la vitesse de la lumière est invariante, quel que soit le référentiel.
• Les transformations de Galilée ne conviennent pas car les équations de Maxwell ne sont pas invariantes sous ces transformations.
• Avec β=v/c, on a β∈[0,1[, et en limite classique β≪1, on obtient γ≈1.
• La relativité implique une perte de simultanéité entre des événements observés depuis deux référentiels en mouvement relatif.
• Le temps se dilate avec un facteur γ : τ=γ·τ0.
• La longueur se contracte en fonction de la vitesse par un facteur lié à γ.

💡 Astuce mémo

Gamma fait “monter” le temps et l’énergie : γ=1/√(1−(v/c)²).

📖 2. Mécanique quantique

🔑 Notions clés & Définitions

• Catastrophe ultraviolette : Phénomène où l’intensité du rayonnement de corps noir diverge quand la longueur d’onde tend vers les courtes valeurs.
• Quanta d’énergie : Quantités discrètes d’énergie proposées pour expliquer les échanges d’énergie dans un corps noir, valant $h\nu$.
• Effet photoélectrique : Expérience montrant qu’un courant apparaît seulement au-delà d’une fréquence seuil, interprétée par l’énergie $E=h\nu$ des photons.
• Dualité onde-corpuscule : Idée selon laquelle un même objet quantique peut manifester des comportements d’onde ou de particule selon le type d’observation.
• Fonction d’onde : Grandeur $\psi(\mathbf{r},t)$ dont le carré du module donne la densité de probabilité de présence dans $d^3r$.

📝 Points essentiels

• La quantification de Planck conduit à des échanges d’énergie par paquets $h\nu$ avec $h=6,6\times10^{-34}\,\text{J·s}$.
• Dans l’effet photoélectrique, l’énergie du photon $E=h\nu$ doit dépasser le travail de sortie $W_s$ pour déclencher un courant.
• L’hypothèse de de Broglie relie une particule à une onde via $E=\hbar\omega$ et $p=\hbar k$ (avec $\hbar=h/2\pi$).
• Relation d’incertitude de Heisenberg : $\Delta x\,\Delta p\ge \hbar$ et $\Delta E\,\Delta t\ge \hbar$.
• L’équation de Schrödinger dépendante du temps est $-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\psi+V(\mathbf{r})\,\psi=i\hbar\,\frac{\partial\psi}{\partial t}$, avec $\Delta$ l’opérateur Laplacien adapté au repère.
• Pour une barrière de potentiel, le coefficient de transmission vaut $T=\frac{1}{1+\frac{V_0^2}{4E(V_0-E)}\sinh^2(\rho\ell)}$ avec $\rho=\sqrt{\frac{2m(V_0-E)}{\hbar^2}}$ et, si $\rho\ell\gg1$, $T\simeq\frac{16E(V_0-E)}{V_0^2}e^{-2\rho\ell}$.

💡 Astuce mémo

Heisenberg : plus tu veux localiser $\Delta x$ petit, plus l’impulsion $\Delta p$ doit flamber (et inversement).

📖 3. Atome d’hydrogène quantique

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantification du moment cinétique : La quantification impose que le moment cinétique de l’électron dans l’atome prenne des valeurs discrètes, en accord avec Bohr grâce à la relation de de Broglie.
• Harmonique sphérique Yℓm : L’harmonique sphérique décrit la dépendance angulaire de la fonction d’onde et ne dépend que de ℓ et m.
• Nombres quantiques n, ℓ, m : Les nombres quantiques $n$, $\ell$ et $m$ indexent respectivement le niveau d’énergie, le moment cinétique orbital et sa projection selon l’axe $Oz$.
• Potentiel effectif : Le potentiel effectif regroupe le potentiel coulombien et le terme associé à $\ell(\ell+1)$, ce qui modifie la probabilité de présence selon $\ell$.
• Spin de l’électron : Le spin est un moment cinétique intrinsèque à deux valeurs possibles $s=1/2$ et $m_s=\pm 1/2$, ajoutant une dégénérescence supplémentaire.

📝 Points essentiels

• L’orbite quantifiée s’exprime par la condition de Broglie $2\pi r=n\lambda$, ce qui conduit à la règle $\ell=mrv=n\hbar$.
• Pour un état d’énergie fixé $n$, on a $\ell=0,1,2,\dots,(n-1)$ et pour chaque $\ell$ on a $-\ell\le m\le +\ell$.
• La dégénérescence due aux seuls nombres orbitaux vaut $\sum_{\ell=0}^{n-1}(2\ell+1)=n^2$, et avec le spin elle devient $d_g=2n^2$.
• Le potentiel effectif $\frac{\hbar^2\ell(\ell+1)}{2mr^2}+V(r)$ repousse l’électron du noyau pour $\ell\neq 0$, contrairement au cas $\ell=0$.
• Les niveaux d’énergie de l’hydrogène quantique suivent $E_n=-\frac{m e^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2}\cdot\frac{1}{n^2}$.
• L’évolution angulaire $Y_{\ell m}(\theta,\varphi)$ a une symétrie de révolution autour de l’axe $Oz$, de sorte qu’une représentation ne dépend que de $\theta$ pour la probabilité angulaire.

💡 Astuce mémo

Condition de Broglie: $2\pi r=n\lambda$ ⇒ $\ell=n\hbar$ (la longueur d’onde fait “tomber” le moment cinétique sur des valeurs entières).

📖 4. Atomes à plusieurs électrons

🔑 Notions clés & Définitions

• Remplissage orbital : En atomes à plusieurs électrons, la configuration se construit en remplissant les couches et sous-couches disponibles selon le numéro quantique principal et la structure fine.
• Couche p : La couche $p$ correspond aux orbitales associées à $\ell=1$ et se remplit pour les éléments de $Z=5$ à $Z=9$.
• Couche d : La couche $d$ se remplit après la sous-couche $s$ pour les éléments de transition, avec $Z=21$ à $30$, $39$ à $48$ et $71$ à $80$.
• Couche 4f : Pour les terres rares ($Z=57$ à $70$), la sous-couche $4f$ se remplit alors que la couche $6s$ est déjà complète.
• Moment cinétique total j : Le moment cinétique total $\vec j$ d’un électron est la somme du moment orbital $\vec\ell$ et du spin $\vec s$, soit $\vec j=\vec\ell+\vec s$.

📝 Points essentiels

• En bombardant un atome, on peut soit exciter un électron vers une couche supérieure, soit l’arracher (ionisation), puis les électrons se réarrangent en remplissant à nouveau les couches les plus basses.
• Les transitions obéissent à des lois quantiques de sélection : certaines transitions sont permises et probables, d’autres très peu probables, et certaines interdites.
• Pour $n=2$, on a $\ell=0$ ou $1$, donc uniquement les niveaux $2s$ et $2p$.
• Avec $s=1/2$, le moment cinétique total vaut $j=\ell+1/2$ ou $j=\ell-1/2$, ce qui ajoute une dégénérescence sauf pour les niveaux $ns$ car $\ell=0$.
• La structure fine fait intervenir notamment le couplage spin–orbite, reliant le mouvement magnétique de l’électron au champ du noyau.
• Les dégénérescences données par les formules sont $d_n=2n^2$, $d_\ell=2(2\ell+1)$ et $d_j=2j+1$.

💡 Astuce mémo

j = ℓ ± 1/2 : le “±” disparaît pour ns car ℓ=0.

📖 5. Structure et stabilité du noyau

🔑 Notions clés & Définitions

• Noyau doublement magique : Un noyau doublement magique a des couches nucléaires entièrement remplies à la fois pour les protons et pour les neutrons, ce qui augmente fortement sa stabilité.
• Vallée de stabilité : La vallée de stabilité décrit, dans le plan (Z,N), les combinaisons de protons et de neutrons les plus stables pour un nombre de masse donné.
• Séries isobariques : Les séries isobariques regroupent les noyaux de même nombre A, et la stabilité varie avec le nombre de protons Z selon une dépendance parabolique.

📝 Points essentiels

• Pour 40Ca, les couches sont remplies jusqu’en 1d3/2, ce qui donne une sur-stabilité via l’énergie de couche pour protons et neutrons.
• Pour les séries isobariques à A impair : il existe une seule parabole avec un isotope stable, et le β− est toujours possible tandis que le β+ exige une condition énergétique.
• Pour le cas impair : le β+ est impossible si Mpère ≤ Mfils + 2m_e, tandis que la capture électronique CE est possible seulement si des électrons sont présents.
• Pour les séries isobariques à A pair : on obtient deux paraboles et il y a 1 ou 2 isotopes stables selon la position sur la courbe de masse.
• Dans les calculs, l’excès de masse peut s’écrire sous la forme ΔM(A,Z)=α'+βZ+γZ^2±δ en modélisant les régimes de stabilité.

💡 Astuce mémo

β− facile (toujours possible), β+ difficile (besoin de > 2m_e), CE seulement si électrons disponibles.

📖 6. Interactions fondamentales et particules

🔑 Notions clés & Définitions

• Boson de Yukawa : Boson de masse d’environ 170 MeV.c-2 introduit par H. Yukawa pour modéliser l’interaction forte.
• Hadrons : Particules caractérisées par l’interaction forte résiduelle, des charges électriques entières (multiples de la charge de l’électron) et des interactions faibles.
• Hadrons baryoniques : Classe d’hadrons dont la structure comprend trois quarks.
• Modèle standard : Théorie de classification qui décrit les forces fortes, faibles et électromagnétiques via des bosons de jauge et classe les fermions en quarks et leptons.

📝 Points essentiels

• En 1949, H. Yukawa (prix Nobel de physique) introduit une particule de masse ~170 MeV.c-2, boson de spin entier, pour décrire l’interaction forte.
• En 1947, la découverte du pion (π+, π−, π0) et du muon (μ− et μ+) révèle des particules qui modifient la vision initiale des constituants élémentaires.
• Les hadrons se classent avec des nombres quantiques en multiplets (singulets, octuplets, nonets, décuplets) grâce à des propriétés qui dépassent la charge électrique.
• Le modèle quarks de Gell-Menes et Zweig (1964) décrit les hadrons comme des baryons (3 quarks) et des mésons (2 quarks, dont un antiquark), avec une interaction forte résiduelle entre hadrons.
• Les expériences au LEP montrent en 1990 qu’il existe uniquement 3 familles de quarks, puis le quark b et le quark t les plus lourds sont ajoutés (découverts au Fermilab en 1995).
• Le modèle standard utilise comme bosons médiateurs les gluons, les bosons W±, le Z0 et le photon, et il ne décrit pas la gravitation dont le boson (graviton) n’est pas observé à ce jour.

💡 Astuce mémo

Médiateurs du modèle standard : gluon→fort, W±/Z0→faible, photon→électromagnétisme.

📖 7. Radioactivité bêta, capture et fission

🔑 Notions clés & Définitions

• Interaction faible de Fermi : L’interaction faible décrit, comme une interaction de contact, la désintégration bêta grâce à une force d’intensité plus faible que les interactions électromagnétique et forte.
• Capture électronique : La capture électronique est une désintégration où un électron atomique est absorbé par le noyau et entraîne l’émission d’un neutrino.
• Neutrinos monocinétiques : Les neutrinos issus de la capture électronique sont dits monocinétiques car leurs caractéristiques cinétiques sont déterminées par le processus lui-même.
• Facteur de multiplication k : Le facteur de multiplication k mesure si le nombre de neutrons produit par les fissions permet ou non d’entretenir une réaction en chaîne.

📝 Points essentiels

• Pour Q équivalent, les périodes des émetteurs bêta sont beaucoup plus longues (de quelques minutes à quelques milliards d’années) car l’interaction en jeu est l’interaction faible.
• Dans le modèle de Fermi, la portée est d’ordre $d\!W\approx 2\cdot 10^{-3}$ fm et la bosse associée a une masse $M_W\approx \hbar/d\!W\cdot c\approx 100$ GeV.
• Dans la théorie électrofaible, les bosons $W^\pm$ et $Z^0$ ont été postulés puis découverts au CERN avec $M(W^\pm)\approx 80{,}4$ GeV/$c^2$ et $M(Z^0)\approx 91{,}2$ GeV/$c^2$.
• La capture électronique $^{A}_{Z}X + e^- \to {}^{A}_{Z-1}Y + \nu_e$ est en compétition avec la désintégration $\beta^+$ et requiert $Q_{CE}=M_{A,Z}c^2-M_{A,Z-1}c^2-E_n$ (avec $E_n$ l’énergie de liaison de l’électron atomique).
• La capture sur la couche K est la plus probable car les électrons $1s$ (et plus généralement $ns$) ont une probabilité non nulle au niveau du noyau, conduisant à des cascades X ou électrons Auger.
• Pour la fission en chaîne, $k<1$ donne un réacteur sous-critique, $k=1$ un réacteur critique, et $k>1$ un réacteur sur-critique en fonction du bilan neutronique des générations.

💡 Astuce mémo

Bêta : le spectre continu s’explique si un neutrino emporte l’énergie manquante avec l’électron.

📖 8. Interaction des ions et des neutrons

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime de Bethe-Bloch : Le régime de Bethe-Bloch décrit comment les ions perdent leur énergie en traversant la matière, avec une dépendance en énergie et en nombres de charges.
• Pic de Bragg : Le pic de Bragg est le maximum de dépôt d’énergie d’un ion au voisinage de la fin de son parcours, conduisant à une profondeur de pénétration définie.
• Straggling en énergie : Le straggling en énergie correspond aux fluctuations de la perte d’énergie des ions d’une particule à l’autre pendant la traversée de la matière.
• Diffusion angulaire multiple : La diffusion angulaire multiple désigne l’accumulation de déviations successives de trajectoire des ions par collisions multiples dans la cible.
• Neutron : Le neutron est un constituant du noyau sans charge, de masse 939.5656 MeV·c−2, instable à l’état libre avec une demi-vie de 10.3 min.

📝 Points essentiels

• Dans le régime de Bethe-Bloch, le parcours suit une loi d’échelle reliant les ranges à l’énergie et aux charges des projectile-cible via une relation du type $R_a/E_a = (M_a/M_b)\,(Z_b^2/Z_a^2)\,R_b/M_b\,E_b$.
• Pour les ions, l’énergie déposée se localise en fin de parcours et le pic de Bragg permet une grande localisation du dépôt d’énergie, utilisée notamment en hadronthérapie.
• Les fluctuations de perte d’énergie (straggling) suivent une distribution gaussienne pour des épaisseurs grandes, avec une largeur dépendant de la quantité traversée et des charges, tandis que pour les ions lourds la fluctuation vient aussi des états de charge du projectile.
• Les neutrons interagissent soit sans seuil (diffusion, capture radiative), soit avec seuil (réactions nucléaires comme (n,p), (n,α) ou (n,f)).
• Exemples d’interactions neutron sans seuil : diffusion élastique (n,n) ou inélastique (n,n’) et capture radiative (n,γ) où le noyau émet un photon.
• Catégories en énergie : relativistes $E>50$ MeV, rapides $E>500$ keV, intermédiaires $E\approx 1$ à $500$ keV, épithermiques $0{,}5$ à $1000$ eV et thermiques $0{,}025$ eV.

💡 Astuce mémo

Pic de Bragg = fin de parcours = “Bombe d’énergie” au bout ; Neutrons = deux portes : sans seuil (n, n’/γ) et avec seuil (n,p / n,f).

📖 9. Détecteurs à ionisation et scintillation

🔑 Notions clés & Définitions

• Détecteurs à ionisation : Les détecteurs à ionisation mesurent des charges créées dans un volume gazeux quand un rayonnement l’irradie, puis collectées sous champ électrique.
• Chambre à ionisation : La chambre à ionisation est un détecteur à ionisation où les charges collectées ne subissent pas d’amplification, ce qui limite la mesure mais reste stable.
• Compteur Geiger-Müller : Le compteur Geiger-Müller est un détecteur à ionisation à forte amplification produisant une impulsion, avec un temps mort élevé imposant une limite au taux de comptage.
• Scintillation : La scintillation est l’émission de lumière par un matériau après excitation ou ionisation, et cette lumière est ensuite convertie en signal électrique.
• Photomultiplicateur : Le photomultiplicateur convertit des photons de scintillation en électrons via la photocathode puis multiplie ces électrons par dynodes pour amplifier le signal.

📝 Points essentiels

• Dans un gaz, l’énergie déposée est proportionnelle aux paires d’ions créées, avec w≈10 à 20 eV par paire et typiquement 1 MeV dans O2 → environ 30000 paires e−/ions.
• Le temps de collection des charges dans un détecteur à ionisation est typiquement de quelques millisecondes, et sans champ il y a recombinaison alors qu’avec champ les charges sont collectées.
• Régimes : chambre à ionisation sans amplification, compteur proportionnel avec amplification proportionnelle, Geiger-Müller avec forte amplification et nécessitant un quench (méthane, isobutane, éthanol…).
• Temps mort typique et taux max : chambre d’ionisation et compteur proportionnel ont un temps mort 1 à 10 μs (jusqu’à 10^4 à 10^5 s−1), tandis que Geiger-Müller a ~100 μs (≈10^3 s−1).
• Photons : pour un scintillateur donné, le nombre de photons de scintillation est proportionnel à l’énergie déposée, avec NaI ~25 eV/photon (≈40 photons/keV) et BGO ~300 eV/photon (≈4 photons/keV).
• Photomultiplicateur : l’amplification totale sur une dizaine de dynodes peut atteindre ~10^6, avec un coefficient par dynode d’environ 4 à 5.

💡 Astuce mémo

Ionisation = Charges collectées; Scintillation = Lumière collectée. Geiger = très amplificateur mais temps mort géant (≈100 μs).

📖 10. Détection des neutrons et dosimétrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Détecteurs à remplissage gazeux : Détecteurs à gaz où les neutrons sont convertis en produits ionisants via une réaction nucléaire sur un noyau cible.
• Scintillateurs pour neutrons rapides : Scintillateurs dont le signal vient surtout des collisions élastiques des neutrons rapides sur des noyaux légers, produisant des protons de recul scintillants.
• Discrimination neutron gamma : Capacité du détecteur à distinguer les événements dus aux neutrons de ceux dus aux rayons gamma.
• Dosimétrie passive : Mesure différée de l’exposition externe à partir d’un dosimètre analysé après irradiation.
• Dosimétrie active : Mesure en temps réel de l’exposition externe à l’aide d’un dispositif opérationnel.

📝 Points essentiels

• Dans un détecteur à remplissage gazeux, des réactions comme $^3$He+n→$^1$H+$^3$H (0,76 MeV) et $^{10}$B+n→$^4$He+$^7$Li* (2,31 MeV dans 94% des cas) convertissent le neutron en particules ionisantes.
• Les sections efficaces citées décroissent comme environ $(1/ olinebreak E^{1/2})$, ce qui rend les détecteurs à conversion nucléaire surtout adaptés aux neutrons thermiques.
• Pour des neutrons, la discrimination neutron/gamma est faible pour les scintillateurs, bonne pour les compteurs à $^3$He/BF3, et excellente pour des chambres à dépôt de $^{10}$B.
• Les détecteurs à dépôt (ou chambre à fission avec $^{235}$U) s’attachent à des produits de réaction déposés sur une paroi et produisent des réponses souvent mieux séparées de celles du gamma.
• Pour les scintillateurs détectant des neutrons rapides, la diffusion élastique donne des protons de recul qui scintillent, mais le détecteur reste très sensible aux rayons gamma.
• La dosimétrie passive évalue l’exposition externe en temps différé à partir d’un dosimètre, tandis que la dosimétrie active fournit une évaluation en temps réel via une personne compétente en radioprotection.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Régimes des détecteurs à ionisation

Dosimétrie passive vs active

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre γ=1/√(1−β²) avec un simple facteur “toute vitesse” : en limite classique γ≈1 car β≪1.
2. Dire que les transformations de Galilée conviennent : les équations de Maxwell ne sont pas invariantes sous Galilée.
3. Croire que le spectre bêta est discret : il est continu car le neutrino emporte l’énergie manquante.
4. Penser que l’énergie d’un état d’hydrogène dépend de m (ou de ℓ) seulement : dans le cours, elle est fixée par n (dégénérescence).
5. Mélanger capture électronique et β+ : la CE compétitivement nécessite QCE=M(A,Z)c²−M(A,Z−1)c²−En, et n’émet pas de e+.
6. Oublier que le Geiger-Müller a un temps mort élevé : il limite fortement le taux de comptage (≈10³ s−1 dans le cours).
7. Penser que les neutrinos se détectent “directement” : le cours insiste sur la nécessité d’un grand volume (eau) et des réactions dans l’eau.

✅ Checklist Examen

1. Écrire les hypothèses de la relativité restreinte et expliquer pourquoi les transformations de Galilée ne conviennent pas aux équations de Maxwell.
2. Utiliser β=v/c et donner γ=1/√(1−β²), puis relier temps dilaté τ=γ·τ0 et perte de simultanéité.
3. Associer l’onde et la particule via E=hν=ħω et p=ħk (de Broglie) et rappeler les relations d’incertitude Δx·Δp≥ħ.
4. Énoncer l’équation de Schrödinger dépendante du temps avec l’opérateur Laplacien et interpréter la fonction d’onde via |ψ|².
5. Pour l’atome d’hydrogène, relier la quantification à 2πr=nλ puis donner les domaines de ℓ et m pour un n donné, et la dégénérescence d_g=2n² (avec spin).
6. Pour un atome à plusieurs électrons, donner les règles de remplissage (Klechkovsky) et le principe de Pauli (une sous-couche ne peut contenir deux électrons identiques dans le même état).
7. Décrire les trois types d’émission en série isobarique (β− toujours possible ; β+ exige condition énergétique ; CE possible seulement si électrons présents) et relier Q à ces seuils.
8. Expliquer la fission en chaîne avec le facteur k : k<1 sous-critique, k=1 critique, k>1 sur-critique, puis associer “bilan neutronique des générations”.
9. Résumer l’interaction des ions : pouvoir d’arrêt (Bethe-Bloch) et l’existence du pic de Bragg en fin de parcours, ainsi que straggling et diffusion angulaire multiple.
10. Résumer la détection : comparer chambre/compteur proportionnel/Geiger-Müller (amplification et temps mort), puis donner le principe des scintillateurs (linéarité, photons, PM).
11. Pour les neutrons et la dosimétrie, distinguer conversion nucléaire gazeuse (ex. 3He+n et 10B+n) vs diffusion sur scintillateurs, puis rappeler discrimination neutron/gamma et dosimétrie passive vs active.