Fiche de révision : Introduction à l'Analyse et la Géométrie

📋 Plan du Cours

1. Équations du second degré
2. Suites numériques
3. Dérivation locale
4. Fonctions trigonométriques
5. Dérivation globale
6. Probabilités conditionnelles et indépendance
7. Paraboles
8. Suites arithmétiques et géométriques
9. Fonction exponentielle
10. Calcul vectoriel et produit scalaire
11. Variables aléatoires réelles
12. Géométrie analytique du plan

📖 1. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Une fonction polynôme du second degré est une fonction de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Racine réelle : Une racine réelle de $f$ est un réel $z$ tel que $f(z)=0$.
• Discriminant : Le discriminant d’un polynôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.
• Forme canonique : La forme canonique d’un polynôme du second degré est l’écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ obtenue avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=-\frac{\Delta}{4a}$.
• Forme factorisée : La forme factorisée d’un polynôme du second degré est l’écriture $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ où $x_1,x_2$ sont ses racines.

📝 Points essentiels

• Pour $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$, on résout les racines réelles du polynôme $f(x)=ax^2+bx+c$.
• Si $\Delta>0$, l’équation a deux racines réelles distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta=0$, l’équation admet une unique racine réelle double $x_0=\frac{-b}{2a}$.
• Si $\Delta<0$, l’équation n’a aucune racine réelle car le terme mis au carré reste non négatif.
• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec racines $x_1,x_2$ (éventuellement confondues), on a toujours $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.
• Si $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, alors le signe de $f$ suit le signe de $a$ et change en traversant les racines $x_1$ et $x_2$.

💡 Astuce mémo

$\Delta$: signe→nb de racines ; $+$ deux, $0$ une (double), $-$ aucune (réelle).

📖 2. Suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une fonction définie sur les entiers naturels (à partir d’un rang éventuel) et à valeurs réelles.
• Terme de rang n : Le terme de rang n d’une suite u est la valeur u(n), aussi notée u_n, correspondant à l’entier n.
• Formule explicite : Une suite est définie par une formule explicite lorsque chaque terme u(n) est directement exprimé en fonction de n.
• Relation de récurrence : Une suite est définie par récurrence quand on donne les premiers termes puis une règle qui calcule u_{n+1} à partir de u_n (ou plusieurs termes précédents).
• Monotonie d’une suite : Une suite est monotone lorsqu’elle est croissante ou décroissante, avec des comparaisons entre termes consécutifs.

📝 Points essentiels

• Si la suite est définie par une formule explicite, on calcule le terme voulu directement en remplaçant n dans l’expression.
• Si la suite est définie par une relation de récurrence, on doit d’abord calculer tous les termes précédant celui demandé pour pouvoir l’obtenir.
• Une suite est croissante si pour tout n, u_{n+1}≥u_n, décroissante si u_{n+1}≤u_n, et constante si u_{n+1}=u_n.
• Le cas « stricte » correspond aux inégalités strictes entre termes consécutifs, par exemple u_{n+1}>u_n pour une croissance stricte.
• Pour étudier le sens de variation, on peut utiliser u_{n+1}-u_n≥0 ⇔ u_{n+1}≥u_n.
• Une suite peut ne pas avoir de limite, par exemple p_n=(−1)^n/n ne converge pas.

💡 Astuce mémo

Sens de variation : tu compares u_{n+1} à u_n via le signe de (u_{n+1}−u_n).

📖 3. Dérivation locale

🔑 Notions clés & Définitions

• Sécante : Une sécante est une droite passant par au moins deux points distincts d’une courbe.
• Taux de variation : Le taux de variation de f en a mesure la variation moyenne de f entre a et a+h via f(a+h)−f(a) sur h.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé f'(a) est la limite (si elle existe et est finie) du taux de variation lorsque h tend vers 0.
• Équation de la tangente : L’équation de la tangente en a à la courbe de f utilise la pente f'(a) et le point (a,f(a)).

📝 Points essentiels

• La pente de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a vaut exactement f'(a).
• Si f est dérivable en a, alors la tangente a pour équation y=f'(a)(x−a)+f(a).
• f'(a)=lim_{h→0} (f(a+h)−f(a))/h quand cette limite est finie et existe.
• Pour f(x)=√x, le taux de variation en 0 tend vers +∞ quand h→0+, donc f n’est pas dérivable en 0.
• La tangente verticale en (0,0) pour √x correspond à une pente infinie, associée à une limite du taux d’accroissement qui diverge.

💡 Astuce mémo

Pente de tangente = nombre dérivé : tangente avec y=m(x−a)+f(a), où m=f'(a).

📖 4. Fonctions trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : C’est le cercle de centre O et de rayon 1 parcouru dans le sens direct, dans un repère orthonormé (O; I, J).
• Longueur d’arc en radians : C’est une mesure d’angle sur le cercle où la longueur d’un arc vaut directement l’angle en radians.
• Enroulement E : C’est l’application qui associe à tout réel α son point-image M sur le cercle trigonométrique quand on enroule la droite numérique.
• Cosinus : C’est l’abscisse du point-image de α sur le cercle trigonométrique, notée cos(α).
• Sinus : C’est l’ordonnée du point-image de α sur le cercle trigonométrique, notée sin(α).

📝 Points essentiels

• Le périmètre du cercle trigonométrique vaut 2π, donc pour un angle α en degrés et une longueur d’arc a on a a=2π/360·α=π/180·α.
• La fonction enroulement E vérifie E(α)=M et ses antécédents sur la droite sont tous α+2kπ avec k∈ℤ.
• Pour tout réel α, on a cos^2(α)+sin^2(α)=1 et aussi -1≤cos(α)≤1 et -1≤sin(α)≤1.
• Les fonctions sin et cos sont 2π-périodiques : sin(x+2π)=sin(x) et cos(x+2π)=cos(x).
• La parité est : sin(-x)=-sin(x) (impaire) et cos(-x)=cos(x) (paire).
• Valeurs remarquables : sin(0)=0, cos(0)=1, sin(π/6)=1/2, cos(π/6)=p3/2, sin(π/4)=p2/2, cos(π/4)=p2/2, sin(π/3)=p3/2, cos(π/3)=1/2, sin(π/2)=1, cos(π/2)=0.

💡 Astuce mémo

Antécédents : ajouter 2π ne change rien (α → α+2kπ), comme un tour complet.

📖 5. Dérivation globale

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivable sur I : Être dérivable sur I signifie que la fonction possède un nombre dérivé fini en chaque point intérieur de l’intervalle I.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée sur I associe à chaque x de I la valeur f'(x), quand f est dérivable sur I.
• Extrémum local : Un extrémum local en a est un maximum ou un minimum global atteint par f sur un intervalle [b;c] contenant a.

📝 Points essentiels

• Si f est dérivable sur un intervalle I, alors f' est une fonction définie sur I, donnée par f'(x)=lim_{h→0} (f(x+h)-f(x))/h quand la limite existe.
• Pour f(x)=x^n avec n∈Z, on a f'(x)=n x^{n-1} quand x est dans le domaine de dérivabilité (sur R si n>0, sur R* si n<0).
• La somme de fonctions dérivables est dérivable et (u+v)'=u'+v'.
• Le produit de fonctions dérivables est dérivable et (uv)'=u'v+uv'.
• Si v ne s’annule pas, alors la dérivée d’un quotient vérifie (u/v)'=(u'v-uv')/v^2.
• Pour f dérivable sur un intervalle ouvert I, f'(x)>0 équivaut à une croissance stricte, et f'(x)<0 à une décroissance stricte, et tout extremum (local) implique f'(a)=0.

💡 Astuce mémo

Signe de f' pilote la courbe : + monte, − descend, f'(a)=0 aux extremums.

📖 6. Probabilités conditionnelles et indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle à A, notée $P_A(B)$, mesure la probabilité de $B$ lorsque $A$ est supposé réalisé, via $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ avec $P(A)\neq 0$.
• Probabilité uniforme : La probabilité uniforme sur un univers fini $\Omega$ donne à chaque événement élémentaire la même valeur, soit pour tout $A$, $P_u(A)=\dfrac{\mathrm{card}(A)}{\mathrm{card}(\Omega)}$.
• Partition de l’univers : Une partition de $\Omega$ est un ensemble d’événements deux à deux incompatibles dont la réunion vaut $\Omega$.
• Arbre pondéré : Un arbre pondéré décrit un calcul de probabilités conditionnelles en reliant des événements par des branches, chaque chemin correspondant à l’intersection des événements rencontrés.

📝 Points essentiels

• Si $P(A)\neq 0$, alors $P_A$ est bien une loi de probabilité sur $\Omega$, donc $P_A(\Omega)=1$ et $0\le P_A(B)\le 1$ pour tout événement $B$.
• Avec $P(A)\neq 0$, on a $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.
• Pour des événements $A_1,\dots,A_n$ avec $P(A_1\cap\cdots\cap A_{n-1})\neq 0$, on obtient $P(A_1\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)\,P_{A_1}(A_2)\,P_{A_1\cap A_2}(A_3)\cdots P_{A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}}(A_n)$.
• Si $A_1,\dots,A_n$ forment une partition de $\Omega$, alors $P(A_1)+\cdots+P(A_n)=1$.
• Si $A_1,\dots,A_n$ sont une partition et $P(A_i)\neq 0$, alors $P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)\,P_{A_i}(B)$.
• Dans un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités écrites sur les branches de ce chemin.

💡 Astuce mémo

En probas conditionnelles, c’est toujours : intersection = probabilité du contexte fois probabilité conditionnelle (chemin = produit des branches).

📖 7. Paraboles

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Une parabole est la courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré.
• Sommet de la parabole : Le sommet est le point où la parabole atteint son extremum, avec abscisse égale à −b/(2a) pour $f(x)=ax^2+bx+c$.
• Axe de symétrie : L’axe de symétrie est la droite verticale par rapport à laquelle la parabole est symétrique, d’équation $x=−b/(2a)$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, si $a>0$ alors la parabole est tournée vers le haut et admet un minimum atteint en $x=−b/(2a)$.
• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, si $a<0$ alors la parabole est tournée vers le bas et admet un maximum atteint en $x=−b/(2a)$.
• Le sommet de la parabole est $S\left(−\frac{b}{2a},\,f\left(−\frac{b}{2a}\right)\right)$ et l’axe de symétrie est $x=−b/(2a)$.
• Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $f$ (éventuellement égales), alors l’abscisse du sommet vaut $(x_1+x_2)/2$ et c’est aussi la valeur de $x$ pour l’axe de symétrie.
• Exemple : pour $f(x)=x^2−2x−3$, le minimum est atteint en $x=1$ et vaut $f(1)=−4$.
• Exemple : pour $f(x)=−0{,}1x^2+\frac{2}{3}x−760$, le maximum est atteint en $x=\frac{115}{1}$ et vaut $562{,}5$.

💡 Astuce mémo

Signe de $a$ : $a>0$ → min ; $a<0$ → max ; extremum et symétrie : $x=−b/(2a)$.

📖 8. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite telle que chaque terme suivant s’obtient en ajoutant une constante r au terme précédent.
• Raison d’une suite : La raison d’une suite est la constante r (arithmétique) ou q (géométrique) qui gouverne la relation de récurrence entre deux termes consécutifs.
• Suite géométrique : Une suite géométrique est une suite telle que chaque terme suivant s’obtient en multipliant le terme précédent par une constante q.
• Somme géométrique : La somme géométrique est l’expression qui additionne les termes $1,q,q^2,\dots,q^n$ et qui se simplifie selon la valeur de q.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, on a pour tout n : un = u0 + nr.
• Une suite arithmétique est strictement croissante si r>0, strictement décroissante si r<0, et constante si r=0.
• Pour une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, on a pour tout n : un = u0 q^n.
• Si q≠1, alors $1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
• Si q=1, alors $1+q+q^2+\cdots+q^n=n+1$.
• Si (un) est une suite géométrique, le signe de u0 et la valeur de |q| déterminent l’évolution de (un) (croissante ou décroissante selon que q est entre -1 et 1, et selon le signe de vn).

💡 Astuce mémo

Arithmétique : +r (on ajoute). Géométrique : ×q (on multiplie).

📖 9. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : Fonction dérivable sur R qui vérifie f′ = f et f(0) = 1.
• Nombre e : Nombre défini par e = exp(1), base privilégiée de la fonction exponentielle.
• Notation ex : Écriture ex = exp(x pour alléger les expressions et manipuler les propriétés algébriques.

📝 Points essentiels

• La fonction exponentielle exp est l’unique fonction dérivable sur R telle que exp′(x)=exp(x) et exp(0)=1.
• Pour tout x réel, exp(x)exp(−x)=1, donc exp(x)≠0 pour tout x.
• Pour tous réels x et y, exp(x+y)=exp(x)exp(y).
• Pour tout n∈Z et x∈R, exp(nx)=(exp(x))^n.
• Pour tout x réel, ex>0 et la fonction exp est strictement croissante sur R.
• La dérivée de exp vérifie exp′(x)=exp(x), donc la pente de la tangente en x vaut ex.

💡 Astuce mémo

Règle additive→multiplicative : exp(x+y)=exp(x)·exp(y).

📖 10. Calcul vectoriel et produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel défini à partir de leurs normes et de l’angle entre eux.
• Orthogonalité : Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire vaut 0.
• Bilinearité-symétrie : Le produit scalaire est linéaire en chaque vecteur et invariant par échange des deux vecteurs.
• Base orthonormée : Une base orthonormée permet d’exprimer le produit scalaire et la norme directement avec des coordonnées.
• Formule d’Al-Kashi : La formule d’Al-Kashi relie la longueur d’un côté d’un triangle aux deux autres côtés et au cosinus de l’angle opposé.

📝 Points essentiels

• Pour des vecteurs non nuls $\vec u=\overrightarrow{AB}$ et $\vec v=\overrightarrow{AC}$, on a $\vec u\cdot\vec v=AB\times AC\times \cos(\widehat{BAC})$.
• Si $\vec u=\vec 0$ ou $\vec v=\vec 0$, alors $\vec u\cdot\vec v=0$.
• Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$, alors $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$.
• Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
• Dans une base orthonormée, pour $\vec u=(x,y)$ et $\vec v=(x',y')$, on a $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$ et $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}$.
• Pour un triangle $ABC$ avec les notations usuelles, $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A})$, et si $\widehat{A}=\frac{\pi}{2}$ on retrouve le théorème de Pythagore.

💡 Astuce mémo

Orthogonal = zéro : angle droit ⇔ $\vec u\cdot\vec v=0$.

📖 11. Variables aléatoires réelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire réelle discrète : Une variable aléatoire réelle discrète est une fonction qui associe à chaque issue un nombre réel.
• Ensemble d’arrivée X(Ω) : L’ensemble d’arrivée X(Ω) est l’ensemble des valeurs réellement prises par la variable aléatoire X.
• Loi d’une variable aléatoire : La loi de X est la fonction qui à tout événement A de X(Ω) associe la probabilité P(X ∈ A).
• Espérance E(X) : L’espérance E(X) est la somme des valeurs prises par X pondérées par leurs probabilités.
• Variance V(X) : La variance V(X) mesure la dispersion des valeurs de X autour de E(X) via une moyenne des carrés des écarts.

📝 Points essentiels

• L’événement {X = a} regroupe les issues ω telles que X(ω) = a, et {X ≤ a} celles telles que X(ω) ≤ a.
• La loi de X s’écrit PX(A)=P(X∈A) pour tout événement A de X(Ω).
• PX est une loi de probabilité sur X(Ω), avec PX(X(Ω))=1 et une additivité sur événements disjoints.
• Si les valeurs de X sont x1,…,xn et pi=P(X=xi), alors E(X)=∑_{i=1..n} pi xi.
• Avec les mêmes notations, V(X)=∑_{i=1..n} pi(xi−E(X))^2 et l’écart type vaut σ(X)=√(V(X)).
• Comme Ω est fini, X(Ω) est aussi fini, donc E, V et σ se calculent par des sommes finies.

📖 12. Géométrie analytique du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur normal : Un vecteur normal est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur d’une droite.
• Équation cartésienne d’une droite : Une équation cartésienne d’une droite est une relation ax+by+c=0 avec au moins l’un des coefficients a ou b non nul.
• Équation de cercle : Une équation de cercle est une équation $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2$ décrivant l’ensemble des points situés à distance r du centre.
• Axe de symétrie de la parabole : L’axe de symétrie est la droite verticale qui partage la parabole y=ax^2+bx+c en deux parties symétriques.

📝 Points essentiels

• Une droite admet un vecteur directeur u si et seulement si u est orthogonal à son vecteur normal n.
• Une droite est de vecteur normal $(a,b)$ si et seulement si elle admet une équation cartésienne $ax+by+c=0$ avec a≠0 ou b≠0.
• Le cercle de centre A(x_A,y_A) et de rayon r>0 est l’ensemble des points M(x,y) tels que $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2$.
• Pour une parabole d’équation $y=ax^2+bx+c$, son axe de symétrie a pour équation $x=-b/(2a)$.
• Le sommet d’une parabole $y=f(x)$ (avec $f(x)=ax^2+bx+c$) a pour abscisse $-b/(2a)$ et pour ordonnée $f(-b/(2a))$.
• Pour obtenir le sommet, on calcule d’abord $x_S=-b/(2a)$ puis on remplace dans $y=f(x)$.

💡 Astuce mémo

Normal à la droite : $(a,b)$ donne $ax+by+c=0$ ; parabole : l’axe est au milieu, $x=-b/(2a)$, et le sommet suit $y=f(x)$.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant : nombre de racines

Suites : génération et formule

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la forme canonique f(x)=a(x-α)^2+β avec la factorisée f(x)=a(x-x1)(x-x2 : les paramètres ne sont pas les mêmes.
2. Croire que Δ<0 peut donner des racines réelles : dans le cours, Δ<0 implique aucune racine réelle.
3. Utiliser x1+x2=-b/a et x1x2=c/a sans vérifier que x1,x2 sont bien les racines (éventuellement confondues).
4. Pour une suite de récurrence, essayer de calculer u_{n} “directement” sans avoir calculé tous les termes précédents.
5. Inverser le sens de variation avec le signe de f'(x : le cours relie f'(x)>0 à une croissance (et f'(x)<0 à une décroissance).
6. Penser que f'(a)=0 suffit pour avoir un extremum : le cours indique seulement “tout extremum implique f'(a)=0” (la réciproque est fausse).
7. Se tromper de formule de produit scalaire : une orthogonalité correspond à u·v=0, et en base orthonormée u·v=xx'+yy'.

✅ Checklist Examen

1. Écrire une fonction polynôme de degré 2 sous les formes canonique et factorisée, puis calculer α=-b/(2a) et β=-Δ/(4a).
2. Résoudre un ax^2+bx+c=0 dans R en utilisant Δ=b^2-4ac et choisir le bon cas (Δ>0, Δ=0, Δ<0).
3. Calculer x1+x2 et x1x2 à partir des coefficients a,b,c, puis reconnaître la factorisation à partir des racines.
4. Étudier le signe d’une fonction du second degré sous forme factorisée a(x-x1)(x-x2) en utilisant le rôle du signe de a et le changement aux racines.
5. Déterminer un terme d’une suite : appliquer formule explicite si donnée, ou calculer par récurrence en ordonnant les calculs des termes précédents.
6. Déterminer le sens de variation d’une suite à partir de la comparaison u_{n+1}−u_n et appliquer la croissance/décroissance stricte si inégalités strictes.
7. Calculer un nombre dérivé via la limite du taux de variation quand elle existe, puis écrire l’équation de la tangente y=f'(a)(x-a)+f(a).
8. Pour la trigonométrie, relier E(α) aux antécédents α+2kπ, puis utiliser cos^2(α)+sin^2(α)=1 et les valeurs remarquables.
9. Étudier les variations et extrémums d’une fonction dérivable : utiliser le signe de f' et exploiter que un extremum implique f'(a)=0, puis repérer extremums par changement de signe.
10. En probabilités conditionnelles : calculer P_A(B)=P(A∩B)/P(A), utiliser P(A∩B)=P(A)P_A(B), et appliquer la formule des probabilités totales avec une partition.
11. En géométrie : déterminer une droite à partir d’un point et d’un vecteur normal (ax+by+c=0), identifier le cercle avec (x-xA)^2+(y-yA)^2=r^2, et trouver axe/sommet d’une parabole y=ax^2+bx+c via x=-b/(2a).