QCM : Introduction à l'Analyse et la Géométrie — 24 questions

Questions et réponses du QCM

1. Comment s’interprète la loi d’une variable aléatoire réelle discrète X ?

Comme une fonction qui associe à tout événement de X(Ω) la probabilité P(X∈A)
Comme une fonction qui associe à tout réel sa dérivée
Comme une fonction qui associe à chaque issue une probabilité égale
Comme une fonction qui associe à tout intervalle sa longueur

Comme une fonction qui associe à tout événement de X(Ω) la probabilité P(X∈A)

Explication

La loi de X donne à chaque événement A de l’ensemble des valeurs X(Ω) la probabilité que X appartienne à A. Ce n’est pas la valeur de X elle-même, mais la distribution des probabilités de ses valeurs.

2. Dans un arbre pondéré, comment calcule-t-on la probabilité d’un chemin ?

En divisant la probabilité finale par le nombre de branches
En multipliant les probabilités inscrites sur les branches
En prenant la plus grande probabilité parmi les branches
En additionnant les probabilités des branches du chemin

En multipliant les probabilités inscrites sur les branches

Explication

La probabilité d’un chemin dans un arbre pondéré est le produit des probabilités portées par ses branches successives. L’addition sert plutôt à regrouper plusieurs chemins distincts vers un même événement.

3. Quelle expression donne le terme général d’une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r ?

u_n = r^n + u0
u_n = u0 + nr
u_n = u0 - nr
u_n = u0 × r^n

u_n = u0 + nr

Explication

Pour une suite arithmétique, chaque terme s’obtient en ajoutant la raison r, donc u_n=u0+nr. La formule u0×r^n correspond à une suite géométrique.

4. Pour une parabole d’équation y=ax^2+bx+c, quelle est l’abscisse de son axe de symétrie ?

b/(2a)
−c/(2a)
−b/(2a)
−b/a

−b/(2a)

Explication

L’axe de symétrie d’une parabole y=ax^2+bx+c a pour équation x=−b/(2a). Cette abscisse est aussi celle du sommet de la parabole.

5. Que représente le nombre dérivé f'(a) ?

La pente de la sécante entre deux points fixes
L’ordonnée à l’origine de la courbe
La valeur moyenne de f entre a et a+h
La limite du taux de variation quand h tend vers 0

La limite du taux de variation quand h tend vers 0

Explication

Le nombre dérivé est la limite du taux de variation lorsque h tend vers 0, si cette limite existe et est finie. C’est ce qui donne la pente de la tangente en a.

6. Dans l’étude d’une parabole d’équation y=ax²+bx+c, que signifie le signe de a ?

Il donne directement les racines de la parabole
Il détermine si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas
Il indique la valeur du sommet de la parabole
Il fixe l’axe de symétrie de la parabole

Il détermine si la parabole est tournée vers le haut ou vers le bas

Explication

Le signe de a détermine l’orientation de la parabole : si a>0, elle est tournée vers le haut, et si a<0, elle est tournée vers le bas. L’axe de symétrie dépend quant à lui de -b/(2a).

7. Quelle condition traduit le fait qu’une suite est décroissante ?

u_{n+1} ≥ u_n pour tout n
u_{n+1} = u_n pour tout n
u_{n+1} ≤ u_n pour tout n
u_{n+1} < 0 pour tout n

u_{n+1} ≤ u_n pour tout n

Explication

Une suite est décroissante lorsque chaque terme est inférieur ou égal au suivant, donc u_{n+1} ≤ u_n. L’égalité pour tout n correspondrait à une suite constante.

8. Quel est le discriminant du polynôme ax² + bx + c ?

a² − 4bc
b² − 4ac
4a² − bc
b² + 4ac

b² − 4ac

Explication

Le discriminant d’un polynôme du second degré est bien défini par Δ = b² − 4ac. Il sert à déterminer le nombre de racines réelles.

9. Que vaut sin²(α) + cos²(α) pour tout réel α ?

0
1
π
2

1

Explication

Sur le cercle trigonométrique, les coordonnées d’un point vérifient toujours cos²(α) + sin²(α) = 1. C’est une identité fondamentale de la trigonométrie.

10. Comment obtient-on directement un terme d’une suite définie par une formule explicite ?

En résolvant une équation du second degré
En utilisant uniquement le signe des différences
En remplaçant n par le rang demandé dans l’expression
En calculant tous les termes précédents un par un

En remplaçant n par le rang demandé dans l’expression

Explication

Une suite définie par formule explicite donne le terme u_n directement en fonction de n. Il suffit donc de remplacer n par la valeur voulue.

11. Quelle expression donne la variance d’une variable aléatoire réelle discrète prenant les valeurs x1,…,xn avec les probabilités p1,…,pn ?

V(X)=E(X)^2−∑ pixi
V(X)=∑ pi(xi−E(X))^2
V(X)=√(∑ pi(xi−E(X))^2)
V(X)=∑ pi xi

V(X)=∑ pi(xi−E(X))^2

Explication

La variance mesure la dispersion autour de l’espérance par une moyenne pondérée des carrés des écarts à E(X). La racine carrée de cette quantité correspond à l’écart type, pas à la variance.

12. Quelle expression donne le terme général d’une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q ?

u_n = u_0^n q
u_n = q + n u_0
u_n = u_0 q^n
u_n = u_0 + n q

u_n = u_0 q^n

Explication

Pour une suite géométrique, chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par q, d’où la formule u_n = u_0 q^n. Les autres propositions correspondent à une suite arithmétique ou mélangent incorrectement les puissances et les additions.

13. Que peut-on affirmer lorsqu’une fonction dérivable admet un extremum local en a ?

La fonction n’est pas dérivable en a
On a forcément f'(a) > 0
On a forcément f'(a) < 0
On a forcément f'(a) = 0

On a forcément f'(a) = 0

Explication

Tout extremum local d’une fonction dérivable implique f'(a)=0. En revanche, la réciproque est fausse : f'(a)=0 ne garantit pas un extremum.

14. Quand deux vecteurs non nuls sont-ils orthogonaux ?

Lorsque leur produit scalaire vaut 1
Lorsque leur produit scalaire vaut 0
Lorsque leurs normes sont égales
Lorsque l’angle entre eux vaut 45°

Lorsque leur produit scalaire vaut 0

Explication

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. La valeur 1 ne caractérise pas l’orthogonalité.

15. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle ?

Elle s’annule pour au moins une valeur réelle
Elle vérifie f′=-f et f(0)=0
Elle est périodique de période 2π
Elle vérifie f′=f et f(0)=1

Elle vérifie f′=f et f(0)=1

Explication

La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur R telle que sa dérivée est elle-même et que sa valeur en 0 vaut 1. Elle ne s’annule jamais, car exp(x)exp(-x)=1.

16. Quel est l’ensemble des antécédents d’un réel α par l’enroulement sur le cercle trigonométrique ?

α + kπ avec k entier
α − kπ/2 avec k entier
α + k/2 avec k entier
α + 2kπ avec k entier

α + 2kπ avec k entier

Explication

Ajouter un tour complet ne change pas le point-image sur le cercle, donc les antécédents sont α + 2kπ. La période de sin et cos est d’ailleurs 2π.

17. Quel lien relie le signe de f' à la variation d’une fonction dérivable sur un intervalle ouvert ?

f'(x) < 0 correspond à une croissance stricte
f'(x) = 0 correspond toujours à une croissance stricte
f'(x) > 0 correspond à une croissance stricte
f'(x) > 0 correspond à une décroissance stricte

f'(x) > 0 correspond à une croissance stricte

Explication

Le cours indique que f'(x) > 0 équivaut à une croissance stricte, tandis que f'(x) < 0 équivaut à une décroissance stricte. Le fait que f'(a)=0 n’implique pas à lui seul une croissance.

18. Dans une base orthonormée, quelle est la formule du produit scalaire de u=(x,y) et v=(x',y') ?

x+x'+y+y'
xx'+yy'
(x+y)(x'+y')
xx'-yy'

xx'+yy'

Explication

Dans une base orthonormée, le produit scalaire s’écrit u·v=xx'+yy'. Cette formule est directe et permet aussi de tester l’orthogonalité.

19. Quelle formule donne la probabilité conditionnelle de B sachant A, lorsque P(A) est non nul ?

P(A) + P(B)
P(B) / P(A∩B)
P(A∩B) / P(A)
P(A) × P(B)

P(A∩B) / P(A)

Explication

La probabilité conditionnelle de B sachant A est définie par P_A(B)=P(A∩B)/P(A), à condition que P(A) ne soit pas nul. La multiplication P(A)×P(B) ne correspond pas à cette définition.

20. Que peut-on conclure pour l’équation ax² + bx + c = 0 lorsque son discriminant est strictement négatif ?

Elle n’admet aucune racine réelle
Elle admet deux racines réelles distinctes
Elle admet une racine réelle double
Elle admet exactement une solution rationnelle

Elle n’admet aucune racine réelle

Explication

Quand Δ < 0, il n’existe aucune solution réelle à l’équation du second degré. Les deux autres cas correspondent respectivement à Δ > 0 et Δ = 0.

21. Quelle est l’abscisse du sommet de la parabole associée à y=ax²+bx+c ?

b/a
-Δ/(4a)
-c/a
-b/(2a)

-b/(2a)

Explication

L’abscisse du sommet est -b/(2a), ce qui correspond aussi à l’axe de symétrie de la parabole. La quantité -Δ/(4a) donne l’ordonnée du sommet dans la forme canonique.

22. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f en a si f est dérivable en a ?

y = f(a)(x − a) + f'(a)
y = f'(a)(x − a) + f(a)
y = f'(a)x + f(a)
y = f(a)(x + a) + f'(a)

y = f'(a)(x − a) + f(a)

Explication

L’équation de la tangente en a est y = f'(a)(x − a) + f(a). Elle utilise la pente f'(a) et le point de contact (a, f(a)).

23. Quelle équation représente une droite de vecteur normal (a,b) ?

y=ax^2+bx+c avec a≠0
ax+by+c=0 avec au moins l’un des coefficients a ou b non nul
y=mx+p avec m égal au coefficient directeur du vecteur normal
(x−xA)^2+(y−yA)^2=r^2

ax+by+c=0 avec au moins l’un des coefficients a ou b non nul

Explication

Une droite admet pour équation cartésienne ax+by+c=0 lorsqu’elle possède un vecteur normal (a,b), avec au moins un des deux coefficients non nul. L’équation du cercle et celle d’une parabole décrivent d’autres objets géométriques.

24. Quelle identité est vérifiée par la fonction exponentielle pour tous réels x et y ?

exp(x-y)=exp(x)/exp(y) seulement si x=y
exp(xy)=exp(x)+exp(y)
exp(x+y)=exp(x)+exp(y)
exp(x+y)=exp(x)exp(y)

exp(x+y)=exp(x)exp(y)

Explication

L’exponentielle transforme une somme en produit : exp(x+y)=exp(x)exp(y). C’est une propriété centrale de cette fonction.

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Fonction polynôme degré 2 — forme ?

f(x)=ax^2+bx+c avec a≠0

Racine réelle — définition ?

Solution réelle de f(x)=0

Discriminant — formule ?

Δ=b^2-4ac

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