QCM : Introduction aux concepts fondamentaux en mathématiques — 24 questions

Explication

Le cosinus d’un réel est l’abscisse du point du cercle trigonométrique associé à cet angle. L’ordonnée correspond au sinus.

Explication

Le cosinus et le sinus sont périodiques de période 2π, donc ajouter 2π ne change pas leur valeur. Les relations avec -x décrivent la parité, pas la périodicité.

Explication

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire est la somme des produits des coordonnées correspondantes : xx'+yy'. C’est la formule de calcul la plus directe en coordonnées.

Explication

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Une norme égale n’implique pas l’orthogonalité.

Explication

L’ensemble des points à distance r du centre A(a;b) vérifie bien (x-a)^2+(y-b)^2=r^2. Les autres propositions correspondent à une droite ou à une mauvaise écriture du cercle.

Explication

Un vecteur normal est défini comme un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de la droite. Il sert notamment à écrire l’équation cartésienne de la droite.

Explication

Le théorème d’Al Kashi relie les trois côtés et l’angle compris par la formule BC^2=AB^2+AC^2-2AB·AC·cos(Â). C’est une généralisation du théorème de Pythagore.

Explication

Un triangle ABM est rectangle en M si et seulement si M appartient au cercle de diamètre [AB]. Cela revient aussi à dire que overrightarrow{MA}·overrightarrow{MB}=0.

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit f(x)=ax^2+bx+c avec a non nul. Le terme en x^2 est ce qui caractérise le degré 2.

Explication

Si Δ<0, l’équation ax^2+bx+c=0 n’a aucune solution réelle. Il n’y a alors pas de factorisation en facteurs réels de la forme a(x-x1)(x-x2).

Explication

L’équation de la tangente en a s’écrit avec le coefficient directeur f'(a) et le point de contact de coordonnées (a,f(a)). Les autres propositions mélangent la pente et l’ordonnée du point de tangence.

Explication

Si f est dérivable en a, f'(a) est précisément le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. Ce n’est pas la valeur f(a), mais la pente locale.

Explication

La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur ℝ telle que exp'(x)=exp(x) et exp(0)=1. Elle n’est pas périodique et ne s’annule jamais.

Explication

La relation fonctionnelle fondamentale de l’exponentielle transforme une somme dans l’exposant en produit. Les autres propositions confondent cette règle avec des opérations classiques sur les nombres.

Explication

La valeur absolue est la distance à 0 : si x est négatif, sa valeur absolue est son opposé. Cela garantit que |x| est toujours positif ou nul.

Explication

On a cos(-x)=cos(x), donc le cosinus est pair, et sin(-x)=-sin(x), donc le sinus est impair. Cette parité est une propriété classique de la trigonométrie.

Explication

Une définition par récurrence commence par un terme initial et une règle qui permet de construire chaque terme à partir du précédent. La forme explicite, elle, donne directement u_n en fonction de n.

Explication

Une suite est croissante à partir d’un rang p si, pour tout n≥p, on a u_{n+1}≥u_n. Le sens inverse correspond à une suite décroissante.

Explication

Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours la même quantité r d’un terme au suivant, ce qui conduit à u_n = u_0 + n·r. La formule u_0·r^n correspond à une suite géométrique.

Explication

Une suite géométrique est définie par un rapport constant entre deux termes consécutifs, égal à la raison q. La constance de la différence caractérise au contraire une suite arithmétique.

Explication

La probabilité conditionnelle de B sachant A est définie par le quotient de la probabilité de l’intersection par celle de A, lorsque P(A) ≠ 0. La formule P(A)×P(B) correspond plutôt au cas d’indépendance.

Explication

Deux événements sont indépendants si et seulement si P(A∩B)=P(A)×P(B). Le fait d’être incompatibles ou complémentaires ne suffit pas à garantir l’indépendance.

Explication

Une variable aléatoire réelle est bien une fonction définie sur l’ensemble des issues et prenant des valeurs dans ℝ. Une loi de probabilité décrit ensuite les probabilités associées aux valeurs possibles.

Explication

L’espérance est la moyenne pondérée des valeurs prises par la variable aléatoire, chaque valeur étant multipliée par sa probabilité. La somme des probabilités vaut 1, mais ce n’est pas la formule de l’espérance.