Fiche de révision : Introduction aux espaces métriques et normes

📋 Plan du Cours

1. Espaces métriques
2. Parties bornées
3. Espaces vectoriels normés
4. Norme et distance
5. Normes usuelles

📖 1. Espaces métriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance sur un ensemble (d) : Fonction d : E² → R+ vérifiant :

  • Séparation : d(x, y) = 0 ↔ x = y
  • Symétrie : d(x, y) = d(y, x)
  • Inégalité triangulaire : d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

• Boules ouvertes (B(c, r)) : Ensemble {x ∈ E : d(c, x) < r} où c ∈ E, r > 0.

• Boules fermées (B̄(c, r)) : Ensemble {x ∈ E : d(c, x) ≤ r} où c ∈ E, r > 0.

• Sphère (S(c, r)) : Ensemble {x ∈ E : d(c, x) = r} où c ∈ E, r > 0.

• Partie bornée d’un espace métrique (A) : Partie contenue dans une boule (ouverte ou fermée) de rayon fini, équivalent à : diam(A) < +∞, où diam(A) = sup {d(x, y) : x, y ∈ A}.

📝 Points essentiels

• La distance doit satisfaire trois propriétés fondamentales : séparation, symétrie, inégalité triangulaire.
• Les boules ouvertes et fermées sont définies via la distance, avec les notations B(c, r) et B̄(c, r).
• La sphère est l’ensemble des points à une distance précise r d’un centre c.
• La partie bornée est caractérisée par un diamètre fini, ce qui implique qu’elle est contenue dans une boule de rayon fini.
• La propriété de séparation garantit que la distance est nulle uniquement pour deux points identiques.
• La propriété d’inégalité triangulaire permet de comparer la distance entre deux points via un point intermédiaire.

💡 À retenir

Les espaces métriques sont caractérisés par une fonction de distance vérifiant séparation, symétrie et inégalité triangulaire, permettant de définir boules, sphères et notions de bornitude.

📖 2. Parties bornées

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie bornée dans un espace métrique : Une partie A d’un espace métrique (E, d) est dite bornée si elle est contenue dans une boule (ouverte ou fermée) de (E, d). Selon la définition, cela revient à exister un point c dans E et un rayon r > 0 tels que A ⊆ B(c, r).

• Diamètre d’une partie : Pour une partie A de (E, d), le diamètre diam(A) est défini comme le supremum des distances entre tous les couples de points de A, soit :
  diam(A) := sup { d(x, y) : x, y ∈ A }.
  La partie A est dite bornée si diam(A) est fini (différent de +∞).

• Union finie de parties bornées est bornée : Si A₁, A₂, ..., Aₙ sont des parties bornées, alors leur union ⋃_{i=1}^n A_i est également bornée.

• Exemples de parties bornées :

  • Pavés (ensembles de la forme [a₁, b₁] × ... × [aₙ, bₙ]) sont bornés dans ℝⁿ.
  • Ensembles finis (ensembles contenant un nombre fini de points) sont bornés, car leur diamètre est la distance maximale entre deux points de l’ensemble.

📝 Points essentiels

• La propriété d’être bornée ne dépend pas uniquement de la taille de la partie, mais aussi de sa localisation dans l’espace métrique.
• Une partie contenue dans une boule de rayon r est forcément bornée, avec diam(A) ≤ 2r.
• La caractérisation par le diamètre permet de vérifier la bornitude sans nécessairement connaître une boule contenant la partie.
• Toute partie d’une partie bornée est bornée, et la union finie de parties bornées l’est aussi.
• Dans un espace métrique, tout pavé ou ensemble fini est borné, ce qui facilite la classification des ensembles dans cette catégorie.

💡 À retenir

Une partie est bornée si elle peut être contenue dans une boule de rayon fini, ce qui revient à ce que son diamètre soit fini ; la bornitude est donc une propriété de taille contrôlée dans l’espace métrique.

📖 3. Espaces vectoriels normés

🔑 Notions clés & Définitions

Norme (Définition 1.2.1) : Application N : E → R+ vérifiant :

• (séparation) : N(x) = 0 ↔ x = 0E.
• (homogénéité) : Pour tout ε ∈ K (R ou C), N(εx) = |ε| N(x).
• (inégalité triangulaire) : N(x + y) ≤ N(x) + N(y).

Distance associée à une norme (Proposition 1.2.2) : Pour tout x, y ∈ E, la formule d(x, y) := N(y - x) définit une distance sur E.

Norme issue d’un produit scalaire (Définition 1.2.6) : Sur E, un R-espace vectoriel, un produit scalaire ⇔·, ·↖ : E² → R vérifie :

• (bilinéarité) : linéarité en chaque argument.
• (symétrie) : ⇔x, y↖ = ⇔y, x↖.
• (définie positivité) : ⇔x, x↖ > 0 si x ≠ 0E.

📝 Points essentiels

• La norme permet de mesurer la "taille" ou "longueur" d’un vecteur dans un espace vectoriel.
• La distance associée à une norme est définie par la différence de vecteurs, ce qui permet de transformer la norme en une métrique compatible avec la structure vectorielle.
• La norme issue d’un produit scalaire possède des propriétés supplémentaires, notamment l’inégalité de Cauchy-Schwarz, l’égalité de la médiane, et la convexité des boules.
• Les normes usuelles sur ℝ^d ou ℂ^d (N1, N2, N↔) sont toutes issues de produits scalaires ou de leur généralisation, et sont équivalentes entre elles.
• La norme issue d’un produit scalaire vérifie en particulier l’égalité de la médiane, propriété caractéristique.

💡 À retenir

Une norme sur un espace vectoriel est une fonction qui mesure la taille d’un vecteur en respectant la séparation, l’homogénéité et l’inégalité triangulaire ; la distance associée permet de rendre cet espace métrique tout en conservant sa structure vectorielle. La norme issue d’un produit scalaire possède des propriétés supplémentaires, dont l’égalité de la médiane.

📖 4. Norme et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance dans un espace vectoriel normé : La distance d(x, y) est définie par la norme N(x - y). Elle vérifie les propriétés d'invariance par translation (d(x + z, y + z) = d(x, y)) et d'homogénéité (d(εx, εy) = |ε| d(x, y)). La distance est une fonction d : E² → R+ qui satisfait l'axiome de séparation, la symétrie et l'inégalité triangulaire.

• Propriétés de la distance :

  • Invariance par translation : La distance ne change pas si l'on translationne tous les points par le même vecteur.
  • Homogénéité : La distance est proportionnelle à la norme du scalaire appliqué aux vecteurs.

• Boules dans un espace vectoriel normé :

  • Boule ouverte de centre c et rayon r : B(c, r) = {x ∈ E : d(c, x) < r}.
  • Boule fermée : B(c, r) = {x ∈ E : d(c, x) ≤ r}.
  • Convexité : La boule ouverte B(c, r) est convexe, c’est-à-dire que pour tout x, y dans B(c, r), le segment [x, y] est contenu dans B(c, r).

• Convexité des boules ouvertes : La boule ouverte dans un espace vectoriel normé est un ensemble convexe, ce qui signifie que tout segment reliant deux points de la boule reste entièrement dans cette boule.

📝 Points essentiels

• La norme N sur un espace vectoriel définit une distance d(x, y) = N(y - x) qui possède deux propriétés fondamentales : invariance par translation et homogénéité.
• Les boules ouvertes dans un espace vectoriel normé sont des ensembles convexes, ce qui est une propriété clé pour l'étude de la topologie de ces espaces.
• La distance dans un espace vectoriel normé permet de définir la topologie induite par la norme, notamment par l'intermédiaire des boules ouvertes.
• La convexité des boules ouvertes est une propriété essentielle qui facilite l'étude des espaces vectoriels normés, notamment pour la définition de notions comme la convexité ou la continuité.

💡 À retenir

Dans un espace vectoriel normé, la distance est directement liée à la norme, et la convexité des boules ouvertes est une propriété fondamentale qui découle de la structure linéaire et de la norme.

📖 5. Normes usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme sur ℝ^d ou ℂ^d : application N : E → R+ vérifiant la séparation (N(x)=0 ⇔ x=0), l’homogénéité (N(εx)=|ε|N(x)), et l’inégalité triangulaire (N(x+y) ≤ N(x)+N(y)).

• Norme de l1 (ou norme sommation) : pour x = (x₁, ..., x_d), N₁(x) = ∑|x_k|.

• Norme de l2 (ou norme euclidienne) : pour x = (x₁, ..., x_d), N₂(x) = √∑(x_k)².

• Norme de l∞ (ou norme de la borne supérieure) : pour x = (x₁, ..., x_d), N↔(x) = max|x_k|.

• Normes sur C([a, b], C) :

  • ∈f∈1 = ∫_a^b |f(x)| dx (norme de l’intégrale).
  • ∈f∈2 = √∫_a^b |f(x)|² dx (norme de l’intégrale au carré).
  • ∈f∈↔ = sup_{x∈[a,b]} |f(x)| (norme de la borne supérieure).

• Norme de l’intégrale : pour f dans C([a, b], C), N(f) = ∫_a^b |f(x)| dx.

• Norme de la borne supérieure : pour f dans C([a, b], C), N(f) = sup_{x∈[a,b]} |f(x)|.

📝 Points essentiels

• Les normes N₁, N₂, N↔ sur ℝ^d ou ℂ^d sont toutes des normes valides, vérifiant les axiomes fondamentaux.

• La norme de l1 est une somme des modules, adaptée pour mesurer la "taille" totale d’un vecteur.

• La norme de l2 est liée à la distance euclidienne, découlant d’un produit scalaire canonique.

• La norme de l∞ mesure la composante la plus grande en valeur absolue.

• Sur C([a, b], C), les normes ∈f∈1, ∈f∈2 et ∈f∈↔ sont toutes des normes, mais ne vérifient pas nécessairement les mêmes inégalités entre elles.

• La norme de l’intégrale ∈f∈1 est adaptée pour mesurer la "taille moyenne" ou globale d’une fonction.

• La norme de la borne supérieure ∈f∈↔ est la plus grande valeur absolue atteinte par la fonction sur [a, b].

💡 À retenir

Les normes usuelles sur ℝ^d, ℂ^d et C([a, b], C) permettent de mesurer la "taille" ou la "grandeur" des vecteurs ou fonctions, en utilisant des formules adaptées à chaque contexte, tout en respectant les propriétés fondamentales des normes.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la partie bornée avec la partie compacte (la bornitude ne garantit pas la compacité).
2. Penser que toute boule dans un espace vectoriel est compacte : seule la fermeture et la bornitude assurent la compacité dans un espace de dimension finie.
3. Confondre la norme avec une métrique quelconque : la norme doit satisfaire séparation, homogénéité, inégalité triangulaire.
4. Oublier que la distance dans un espace vectoriel normé est invariante par translation.
5. Confondre la convexité d’une boule ouverte avec une propriété de convexité générale dans l’espace.
6. Croire que toutes les normes sur ℝ^d ou ℂ^d sont équivalentes à la norme euclidienne : elles sont toutes équivalentes entre elles, mais pas identiques.
7. Confondre la norme issue d’un produit scalaire avec une norme quelconque : seule cette norme vérifie l’égalité de la médiane.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’un espace métrique et ses propriétés fondamentales : séparation, symétrie, inégalité triangulaire.
2. Savoir définir une boule ouverte, une boule fermée, une sphère dans un espace métrique.
3. Comprendre la notion de partie bornée, caractérisée par un diamètre fini ou contenue dans une boule de rayon fini.
4. Savoir que toute union finie de parties bornées est bornée.
5. Connaître la définition d’une norme sur un espace vectoriel et ses propriétés : séparation, homogénéité, inégalité triangulaire.
6. Savoir que la distance associée à une norme est donnée par d(x, y) = N(y - x).
7. Identifier une norme issue d’un produit scalaire et ses propriétés spécifiques, notamment l’égalité de la médiane.
8. Comprendre que la distance dans un espace vectoriel normé est invariante par translation et homogène.
9. Savoir que les boules ouvertes dans un espace vectoriel normé sont convexes.
10. Connaître les principales normes usuelles sur ℝ^d ou ℂ^d : N1, N2, N↔.
11. Savoir que la norme de l1 est la somme des valeurs absolues, la norme de l2 est la racine carrée de la somme des carrés, et la norme de l∞ est le maximum.
12. Maîtriser la différence entre norme, distance, et leur rôle dans la topologie de l’espace.