Fiche de révision : Introduction aux fonctions et à leur représentation

📋 Plan du Cours

1. Notion de fonction : définition et images
2. Point de vue graphique : courbe représentative
3. Trois modes de représentation des fonctions
4. Ensemble de définition d’une fonction
5. Minimum et maximum d’une fonction
6. Signe de f(x) et tableau de signe
7. Résolution graphique d’équations et inéquations
8. Variations d’une fonction : sens et tableau

📖 1. Notion de fonction : définition et images

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction associe à chaque nombre x d’un ensemble D un unique nombre réel noté f(x).
• Ensemble de définition : L’ensemble de définition est l’ensemble des réels pour lesquels la fonction f a une image f(x) qui existe.
• Image f(x) : L’image f(x) est le nombre obtenu quand on applique la fonction à l’antécédent x.
• Antécédent : Un antécédent d’un nombre y est un réel x tel que f(x)=y.
• Procédé de calcul : Un procédé de calcul décrit comment obtenir f(x) à partir de x.

📝 Points essentiels

• Pour toute fonction f, chaque x de D possède une et une seule image f(x).
• Un même nombre peut avoir plusieurs antécédents si plusieurs x donnent la même image.
• Le domaine D doit être non vide pour qu’une fonction soit définie.
• On note souvent l’ensemble de définition Df ou D.
• f(x) se lit comme “l’image de x par la fonction f”.
• x se lit comme “l’antécédent de f(x)”.

💡 Astuce mémo

Unicité côté images : 1 x → 1 f(x ; mais plusieurs x → la même image).

📖 2. Point de vue graphique : courbe représentative

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : La courbe représentative de f est l’ensemble des points M(x ; f(x)) du plan quand x parcourt le domaine D.
• Représentation graphique : La représentation graphique d’une fonction est la courbe qui permet de lire des images et des antécédents à partir des coordonnées.
• Équation de la courbe : Une équation de la courbe est une relation du type y=f(x) qui décrit les points de la courbe.
• Lecture d’image : La lecture d’image consiste à repérer sur la courbe la valeur f(x) correspondant à une abscisse donnée.
• Lecture d’antécédents : La lecture d’antécédents consiste à trouver les abscisses x dont l’image f(x) vaut une ordonnée donnée.

📝 Points essentiels

• Un point de la courbe a pour coordonnées (x ; f(x)) avec x dans D.
• Pour lire f(2), on repère l’abscisse 2 puis on lit l’ordonnée correspondante.
• Si la courbe coupe la droite horizontale y=k, alors k admet des antécédents.
• Le nombre 4 de l’exemple ne possède pas d’antécédent car il n’est pas atteint par la courbe.
• Pour lire des antécédents de 1, on cherche les abscisses des points de la courbe ayant ordonnée 1.
• S’il n’y a aucune intersection avec la droite y=k, alors k n’admet aucun antécédent.

💡 Astuce mémo

Image = ordonnée à partir de l’abscisse ; Antécédent = abscisse à partir de l’ordonnée.

📖 3. Trois modes de représentation des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique : La représentation graphique décrit une fonction par sa courbe, permettant des lectures d’images et d’antécédents.
• Tableur : Un tableur représente une fonction sous forme de colonnes, notamment la colonne f(x) pour lire des images.
• Expression algébrique : Une expression algébrique donne f(x) en fonction de x et précise implicitement l’ensemble des valeurs possibles.
• Ensemble de définition (dans l’expression) : Dans une expression algébrique, l’ensemble de définition correspond aux valeurs de x pour lesquelles l’expression donne une image.

📝 Points essentiels

• Pour déterminer une image ou des antécédents, on peut utiliser la courbe représentative.
• Sur un graphique, l’image d’un nombre se lit par l’ordonnée du point de la courbe.
• Sur un tableur, l’image de 2 par f se lit directement dans la colonne f(x).
• Pour trouver des antécédents d’un nombre k en expression algébrique, on résout f(x)=k.
• Pour f(x)=x², l’image de 2 se calcule en remplaçant x par 2.
• Pour f(x)=x², les antécédents de 4 se trouvent en résolvant f(x)=4 (ce qui donne deux solutions).

💡 Astuce mémo

Graphique = lecture ; Tableur = colonne f(x) ; Algèbre = calcul puis équation f(x)=k.

📖 4. Ensemble de définition d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble de définition Df : L’ensemble de définition Df est l’ensemble des réels pour lesquels la fonction f(x) existe.
• Notation Df : La notation Df (ou D) désigne l’ensemble de définition d’une fonction f.
• Existence de f(x) : Dire que f(x) existe signifie que la valeur calculée est définie pour ce x.

📝 Points essentiels

• L’ensemble de définition regroupe uniquement les valeurs de x qui rendent f(x) calculable.
• On note en général l’ensemble de définition Df ou D.
• Sur une représentation graphique, un point appartient à la courbe seulement si son x est dans D.
• Un point n’appartenant pas à la courbe indique que la valeur correspondante n’est pas dans l’ensemble de définition.
• L’ensemble de définition peut être un intervalle (ou une réunion d’intervalles) selon la fonction.
• Dans les exemples, l’ensemble de définition est noté explicitement à partir de l’intervalle de définition.

💡 Astuce mémo

Df = “où f(x) existe” : pas d’existence, pas de définition.

📖 5. Minimum et maximum d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum : Un maximum M est une valeur atteinte par la fonction et supérieure ou égale à toutes les autres valeurs sur l’intervalle.
• Minimum : Un minimum m est une valeur atteinte par la fonction et inférieure ou égale à toutes les autres valeurs sur l’intervalle.
• Valeur atteinte : Une valeur est atteinte quand il existe un x du domaine tel que f(x) soit exactement cette valeur.
• Intervalle de définition : Le minimum et le maximum sont définis sur un intervalle I où la fonction est étudiée.

📝 Points essentiels

• f admet un maximum M atteint en x=a si f(a)=M et que pour tout x de I on a f(x)≤M.
• f admet un minimum m atteint en x=a si f(a)=m et que pour tout x de I on a f(x)≥m.
• Dans l’exemple, l’intervalle est I=]-3 ;4].
• Dans l’exemple, le maximum vaut 2 et il est atteint en x=3 car f(3)=2.
• Dans l’exemple, le minimum vaut -1 et il est atteint en x=-2 car f(-2)=-1.
• Les inégalités associées au maximum et au minimum sont strictement orientées : ≤ pour le maximum, ≥ pour le minimum.

💡 Astuce mémo

Max : “tout est en dessous” (≤) ; Min : “tout est au-dessus” (≥).

📖 6. Signe de f(x) et tableau de signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Signe de f(x) : Le signe de f(x) indique si f(x) est positif, négatif ou nul selon la valeur de x.
• Tableau de signe : Le tableau de signe résume, pour chaque intervalle de x, le signe de f(x) et les valeurs où f(x)=0.
• Zéro de la fonction : Un zéro est une valeur de x telle que f(x)=0, ce qui correspond au franchissement de l’axe des abscisses.
• Axe des abscisses : L’axe des abscisses correspond aux points où y=0, donc où f(x)=0.

📝 Points essentiels

• Sur un intervalle où la courbe est au-dessus de l’axe des abscisses, on a f(x)≥0.
• Sur un intervalle où la courbe est au-dessous de l’axe des abscisses, on a f(x)≤0.
• Quand la courbe franchit l’axe, on a f(x)=0 aux abscisses de franchissement.
• Dans l’exemple, Df=]-3 ;4].
• Pour x∈]-3 ; -2,5], la courbe est au-dessus donc f(x)≥0.
• Pour x∈[-2,5 ; -1,5], la courbe est au-dessous donc f(x)≤0 (et f(x)=0 aux points -2,5 et -1,5).

💡 Astuce mémo

Au-dessus de l’axe → positif (ou nul) ; en dessous → négatif (ou nul) ; sur l’axe → zéro.

📖 7. Résolution graphique d’équations et inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution graphique : Résoudre graphiquement consiste à utiliser les intersections entre la courbe et une droite horizontale ou une autre courbe.
• Équation f(x)=k : Une équation f(x)=k cherche les x pour lesquels la courbe de f coupe la droite y=k.
• Inéquation f(x)>k : Une inéquation f(x)>k cherche les x pour lesquels la courbe de f est strictement au-dessus de la droite y=k.
• Inéquation f(x)>g(x) : Une inéquation f(x)>g(x) cherche les x pour lesquels la courbe de f est au-dessus de la courbe de g.
• Ensemble solution : L’ensemble solution regroupe toutes les valeurs de x qui vérifient l’équation ou l’inéquation.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre f(x)=k, on trace la droite y=k puis on lit les abscisses des intersections avec la courbe.
• Pour résoudre f(x)>k, on trace y=k puis on repère les abscisses où la courbe est au-dessus de la droite.
• Dans l’exemple, la résolution de f(x)=1 donne S={-2 ; 3}.
• Pour f(x)>-2, l’ensemble solution est S=[-4 ; -1[ ∪ ]2 ; 4].
• Pour résoudre f(x)=g(x), on cherche les abscisses des intersections des courbes Cf et Cg.
• Pour f(x)>g(x), on prend les intervalles où Cf est au-dessus de Cg, ce qui donne S=[-4 ; -3[ ∪ ]1 ; 4].

💡 Astuce mémo

Égalité = intersections ; Strict > = “au-dessus” (et on exclut les points d’égalité).

📖 8. Variations d’une fonction : sens et tableau

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens de variation : Le sens de variation décrit si la fonction augmente, diminue ou reste constante quand x progresse sur un intervalle.
• Fonction croissante : Une fonction est croissante sur I si, quand a<b dans I, on a f(a)<f(b).
• Fonction décroissante : Une fonction est décroissante sur I si, quand a<b dans I, on a f(a)>f(b).
• Fonction constante : Une fonction est constante sur I si, pour tous a et b de I, on a f(a)=f(b).
• Tableau de variation : Le tableau de variation résume les variations de f sur l’ensemble de définition, en indiquant les valeurs de x et de f(x) aux changements.

📝 Points essentiels

• Croissante : pour a<b, f(a)<f(b) (l’ordre est conservé).
• Décroissante : pour a<b, f(a)>f(b) (l’ordre est renversé).
• Constante : pour tous a et b, f(a)=f(b).
• Une fonction peut changer de sens de variation plusieurs fois sur un même intervalle.
• Une fonction monotone garde la même variation sur tout l’intervalle étudié.
• Dans un tableau de variation, on note à chaque changement de variation la valeur de x et la valeur correspondante de f(x).

💡 Astuce mémo

Croissante = “ça monte” (f(a)<f(b)) ; Décroissante = “ça descend” (f(a)>f(b)) ; Constante = “plat” (f(a)=f(b)).

📊 Tableaux de synthèse

Lecture graphique : image vs antécédent

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre image et antécédent : l’image se lit avec l’abscisse, l’antécédent avec l’ordonnée.
2. Croire que “un x a plusieurs images” : une fonction donne une seule valeur f(x) pour chaque x du domaine.
3. Oublier que le signe dépend de la position par rapport à l’axe : au-dessus correspond à f(x)≥0 et en dessous à f(x)≤0.
4. Résoudre f(x)>k comme si c’était f(x)≥k : les points où f(x)=k doivent être exclus pour un “strictement supérieur”.
5. Penser qu’un maximum/minimum n’est pas “atteint” : dans la définition, il doit être atteint en un x du domaine.
6. Dire qu’une fonction monotone peut changer de sens : monotone signifie garder le même sens sur tout l’intervalle.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la définition d’une fonction et distinguer ensemble de définition, image f(x) et antécédent.
2. Savoir lire sur un graphique l’image d’une abscisse donnée et les antécédents d’une ordonnée donnée.
3. Savoir utiliser les trois représentations : graphique (lecture), tableur (colonne f(x)), expression algébrique (calcul puis résolution f(x)=k).
4. Savoir déterminer et écrire l’ensemble de définition Df à partir de l’existence de f(x) et/ou de l’appartenance à la courbe.
5. Savoir identifier un maximum et un minimum sur un intervalle et écrire les inégalités associées (≤ pour le maximum, ≥ pour le minimum).
6. Savoir établir le signe de f(x) sur des intervalles et construire un tableau de signe à partir de la position de la courbe par rapport à l’axe.
7. Savoir résoudre graphiquement f(x)=k, f(x)>k, f(x)=g(x) et f(x)>g(x) en donnant l’ensemble solution.
8. Savoir déterminer le sens de variation (croissante/décroissante/constante), reconnaître la monotonie, et compléter un tableau de variation avec les changements de sens.