Fiche de révision : Introduction aux fonctions et leurs propriétés

📋 Plan du Cours

1. Notion de fonction et vocabulaire
2. Fonctions de référence et parité
3. Variations d'une fonction et tableau
4. Puissances et racines carrées
5. Droites du plan : équations et pente
6. Inéquations et tableaux de signe
7. Calcul algébrique et identités remarquables
8. Multiples, diviseurs et nombres premiers
9. Vecteurs : translations et relations
10. Repérage et coordonnées dans le plan
11. Nombres réels, intervalles et valeur absolue
12. Probabilités : événements et formules

📖 1. Notion de fonction et vocabulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable x : Une variable est la lettre qui peut prendre des valeurs dans l’ensemble de définition pour calculer la valeur de la fonction.
• Ensemble de définition D : L’ensemble de définition est l’ensemble des valeurs possibles de la variable pour lesquelles la fonction est définie.
• Image : L’image est le résultat obtenu quand on remplace la variable par une valeur de l’ensemble de définition.
• Antécédent : Un antécédent est une valeur de la variable qui donne une image donnée par la fonction.
• Abscisse : L’abscisse est la coordonnée horizontale d’un point, notée sur l’axe des x.

📝 Points essentiels

• Une fonction s’écrit sous la forme $x\mapsto A(x)$ ou $f:D\to\mathbb{R}$, avec $D$ l’ensemble de définition.
• L’image correspond au résultat, et l’antécédent correspond à la valeur de départ qui produit ce résultat.
• Sur un repère, l’ordonnée est la coordonnée verticale notée $y$, et l’abscisse est la coordonnée horizontale notée $x$.
• Pour un point du plan, l’ordonnée et l’abscisse permettent de lire ses coordonnées sur les axes.
• La notation $f:D\to\mathbb{R}$ indique que les valeurs de sortie sont des réels.

💡 Astuce mémo

Variable x = “entrée”, image = “sortie”.

📖 2. Fonctions de référence et parité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction carrée : La fonction carrée est la fonction de référence $f(x)=x^2$ définie sur $\mathbb{R}$.
• Fonction inverse : La fonction inverse est la fonction de référence $f(x)=\frac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
• Fonction racine carrée : La fonction racine carrée est la fonction de référence $f(x)=\sqrt{x}$ définie sur $[0; +\infty[$.
• Fonction cube : La fonction cube est la fonction de référence $f(x)=x^3$ définie sur $\mathbb{R}$.
• Fonction paire : Une fonction paire vérifie la relation $f(-x)=f(x)$.

📝 Points essentiels

• La fonction carrée $f(x)=x^2$ a un sommet en $0$ et une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.
• La fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ a une hyperbole de centre $0$ et une symétrie par rapport au point $0$.
• La fonction racine carrée $f(x)=\sqrt{x}$ est définie sur $[0; +\infty[$.
• La fonction cube $f(x)=x^3$ est symétrique par rapport à $0$.
• Une fonction impaire vérifie $f(-x)=-f(x)$.
• La parité d’une fonction correspond à la propriété paire ou impaire via les relations avec $-x$.

💡 Astuce mémo

Paire : même valeur à $x$ et $-x$ ; Impaire : signe opposé.

📖 3. Variations d'une fonction et tableau

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle I : Un intervalle est un ensemble de valeurs de $x$ sur lequel on étudie le comportement de la fonction.
• Fonction croissante : Une fonction est croissante sur un intervalle si ses valeurs ne diminuent pas quand $x$ augmente.
• Fonction décroissante : Une fonction est décroissante sur un intervalle si ses valeurs ne croissent pas quand $x$ augmente.
• Fonction constante : Une fonction est constante sur un intervalle si sa valeur ne change pas quand $x$ varie.
• Tableau de variation : Un tableau de variation résume l’évolution de $f(x)$ sur des valeurs clés de $x.

📝 Points essentiels

• $f$ est croissante sur $I$ si pour $a<b$ on a $f(a)\le f(b)$.
• $f$ est décroissante sur $I$ si pour $a<b$ on a $f(a)\ge f(b)$.
• $f$ est constante sur $I$ si $f(a)=f(b)$.
• $f$ est monotone sur $I$ si elle est soit croissante soit décroissante, mais pas les deux.
• Un maximum $M$ en $a$ signifie que pour tout $x$ de $I$, $f(x)\le M=f(a)$.
• Un minimum $m$ en $b$ signifie que pour tout $x$ de $I$, $f(x)\ge m=f(b)$.

💡 Astuce mémo

Croissante : flèche vers le haut ; Décroissante : flèche vers le bas.

📖 4. Puissances et racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Une puissance est une écriture de la forme $a^n$ où $a$ est la base et $n$ l’exposant.
• Racine carrée : La racine carrée de $a$ est notée $\sqrt{a}$ et correspond à la valeur dont le carré vaut $a$.
• Exposant négatif : Un exposant négatif indique une écriture sous forme de fraction, par exemple $a^{-1}=\frac{1}{a}$.
• Racine carrée parfaite : Une racine carrée parfaite est une expression $\sqrt{b}$ où $b$ est un multiple carré permettant une simplification en entier.
• Simplification des racines : La simplification des racines regroupe des règles de calcul pour transformer des expressions avec $\sqrt{\ }$.

📝 Points essentiels

• La règle de signe pour une puissance paire s’applique : $(-3)^4= -3^4$ (tel qu’écrit dans la source).
• Produit de puissances : $a^n\times a^p=a^{n+p}$.
• Quotient de puissances : $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$.
• Puissance d’une puissance : $(a^n)^p=a^{np}$.
• Puissance d’un produit : $(ab)^n=a^n\times b^n$.
• Racine carrée : $\sqrt{a^2}=a$ si $a$ est positif et $\sqrt{a^2}=-a$ si $a$ est négatif.

💡 Astuce mémo

Puissances : même base → on additionne/soustrait les exposants ; Racines : on cherche le carré.

📖 5. Droites du plan : équations et pente

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Un vecteur directeur est un vecteur non nul qui a la même direction que la droite.
• Équation cartésienne : Une équation cartésienne d’une droite s’écrit sous la forme $ax+by+c=0$ avec $(a;b)\ne(0;0)$.
• Équation réduite : Une équation réduite d’une droite s’écrit $y=ax+b$, où $a$ est la pente et $b$ l’ordonnée à l’origine.
• Pente : La pente est le coefficient directeur $a$ qui mesure l’inclinaison de la droite dans l’équation réduite.
• Position relative : La position relative décrit les relations entre deux droites, comme parallélisme ou perpendicularité.

📝 Points essentiels

• Pour $ax+by+c=0$, un vecteur directeur est $(-b;a)$.
• Pour vérifier $M(x_0;y_0)\in d$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}(x-x_0\,;\,y-y_0)$ et $\vec{u}(a;b)$ doivent être colinéaires (via le déterminant).
• Si $b=0$ dans $y=ax+b$, alors la droite est // à l’axe des ordonnées (droite verticale).
• La pente entre $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ vaut $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
• Avec deux points $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$, on calcule $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ puis on remplace $x$ et $y$ pour obtenir $ax+b=y$.
• Deux droites perpendiculaires : la droite perpendiculaire à $d$ passant par $M$ est celle qui passe par le point le plus proche de $d$.

💡 Astuce mémo

Équation réduite : $y=\text{pente}\cdot x+\text{ordonnée à l’origine}$.

📖 6. Inéquations et tableaux de signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation : Une inéquation est une comparaison entre une expression et un réel, par exemple $ax+b>0$.
• Tableau de signe : Un tableau de signe organise le signe d’une expression selon les valeurs de $x$.
• Fonction affine : Une fonction affine est une expression de la forme $f(x)=ax+b$.
• Signe produit : Le signe produit combine les signes de plusieurs facteurs pour déterminer le signe du produit.
• Signe quotient : Le signe quotient combine les signes du numérateur et du dénominateur pour déterminer le signe du quotient.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre $ax+b\ge 0$ ou $ax+b\le 0$, on cherche d’abord les valeurs où $ax+b=0$.
• Si $a>0$, le tableau de signe de $ax+b$ passe de $-$ à $0$ puis à $+$ en $x=-\frac{b}{a}$.
• Si $a<0$, le tableau de signe de $ax+b$ passe de $+$ à $0$ puis à $-$ en $x=-\frac{b}{a}$.
• Pour une inéquation du type $x<\frac{1}{7}$, l’ensemble solution est $]-\infty;\frac{1}{7}[$.
• Pour un produit, on déduit le signe global et on obtient un ensemble du type $]-2;\frac{1}{2}[$ quand $x<\frac{1}{2}$ et $x>-2$.
• Pour un quotient, on exclut les valeurs qui annulent le dénominateur et on écrit des unions, par exemple $x=\frac{1}{3}$ et $x=\frac{2}{3}$ donnent $]-\infty;\frac{1}{3}]\cup[\frac{2}{3};+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Zéro = changement de signe ; dénominateur nul = interdit.

📖 7. Calcul algébrique et identités remarquables

🔑 Notions clés & Définitions

• Développer : Développer consiste à transformer une expression factorisée en une somme de termes.
• Factoriser : Factoriser consiste à transformer une somme de termes en produit de facteurs.
• Double distributivité : La double distributivité permet de distribuer un produit sur une somme dans les deux sens.
• Réduire au même dénominateur : Réduire au même dénominateur consiste à réécrire des fractions pour qu’elles aient le même dénominateur avant de combiner.
• Identités remarquables : Les identités remarquables sont des formules standard pour développer ou factoriser des expressions du type $(a\pm b)^2$ et $(a+b)(a-b)$.

📝 Points essentiels

• Somme de termes : $a+b$ correspond à une addition directe des termes.
• Produit de facteurs : $a\times b$ correspond à une multiplication des facteurs.
• Quotient : $\frac{B}{A}$ correspond à une division de $B$ par $A$.
• La double distributivité sert à développer un produit contenant une somme.
• Réduire au même dénominateur est une étape pour additionner ou soustraire des fractions.
• Identités remarquables : $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

💡 Astuce mémo

$(a+b)^2$ : signe $+$ au milieu ; $(a-b)^2$ : signe $-$ au milieu.

📖 8. Multiples, diviseurs et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Un multiple de $b$ est un nombre $a$ tel que $a=kb$ pour un certain entier $k$.
• Diviseur : Un diviseur de $a$ est un nombre $b$ tel que $a$ s’écrive comme un multiple de $b$.
• Nombre premier : Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.
• Nombres premiers entre eux : Des nombres sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est $1$.
• Fraction irréductible : Une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur sont premiers entre eux.

📝 Points essentiels

• Un nombre entier naturel est un entier positif.
• Un nombre entier relatif est un entier qui peut être positif ou négatif.
• $a$ est multiple de $b$ si $a=kb$ et alors $b$ est un diviseur de $a$.
• Un nombre pair s’écrit $2k$ et un nombre impair s’écrit $2k+1$.
• Le carré d’un impair est impair.
• Un nombre premier a exactement deux diviseurs : lui-même et $1$.

💡 Astuce mémo

Premier = “seulement 1 et lui-même” ; Impair = “reste 1 modulo 2”.

📖 9. Vecteurs : translations et relations

🔑 Notions clés & Définitions

• Translation : Une translation est un déplacement qui conserve la direction, le sens et la longueur d’un segment.
• Vecteur nul : Le vecteur nul est le vecteur de longueur nulle, noté $\vec{0}$, obtenu quand les deux points sont confondus.
• Vecteur opposé : Deux vecteurs opposés ont la même direction et la même longueur mais des sens contraires.
• Relation de Chasles : La relation de Chasles relie des vecteurs consécutifs : $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.
• Colinéarité : Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction, ce qui s’écrit $\vec{u}=k\vec{v}$ pour un réel $k$.

📝 Points essentiels

• Une translation se décrit par un glissement avec une direction, un sens et une longueur (par exemple la longueur $AB$).
• Si deux vecteurs ont même longueur, même direction et même sens, alors ils sont égaux.
• Si $A$ et $B$ sont confondus, alors $\overrightarrow{AB}=\vec{0}$.
• Le vecteur opposé vérifie $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.
• Enchaîner deux translations revient à une seule translation.
• Relation de Chasles : $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

💡 Astuce mémo

Chasles = “aller de A à C = A→B puis B→C”.

📖 10. Repérage et coordonnées dans le plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère du plan : Un repère du plan est un triplet $(O,\vec{i},\vec{j})$ (ou $(O,i,j)$) qui fixe l’origine et deux directions.
• Coordonnées d’un vecteur : Les coordonnées d’un vecteur sont obtenues à partir des différences de coordonnées des points de départ et d’arrivée.
• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple de l’autre, ce qui se traduit par un déterminant nul.
• Déterminant de deux vecteurs : Le déterminant $\det(\vec{u},\vec{v})$ vaut $xy'-yx'$ pour $\vec{u}=(x,y)$ et $\vec{v}=(x',y')$.
• Distance dans un repère orthonormé : La distance entre deux points se calcule avec la formule issue du théorème de Pythagore dans un repère orthonormé.

📝 Points essentiels

• Un repère du plan est donné par $(O,\vec{i},\vec{j})$ où $\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont colinéaires (tel qu’écrit dans la source).
• Les coordonnées d’un vecteur $\overrightarrow{AM}$ sont $\left(\begin{array}{c}x_M-x_A\\y_M-y_A\end{array}\right)$.
• Pour $\vec{u}+\vec{v}$, les coordonnées s’additionnent composante par composante.
• Pour $k\vec{v}$, les coordonnées sont multipliées par $k$ composante par composante.
• Pour $-\vec{u}$, les coordonnées changent de signe : $\left(\begin{array}{c}-x\\-y\end{array}\right)$.
• Colinéarité : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si $xy'-yx'=0$, et alors $\det(\vec{u},\vec{v})=0$.

💡 Astuce mémo

Coordonnées vecteur = “M moins A” ; Colinéaire = déterminant nul.

📖 11. Nombres réels, intervalles et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Un nombre décimal s’écrit sous la forme $\frac{a}{10^p}$ avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
• Nombre rationnel : Un nombre rationnel s’écrit sous la forme $\frac{a}{b}$ et peut avoir une écriture décimale finie ou infinie.
• Nombre réel : Un nombre réel appartient à $\mathbb{R}$ et regroupe les rationnels et les irrationnels.
• Nombre irrationnel : Un nombre irrationnel ne peut pas s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$.
• Valeur absolue : La valeur absolue d’un nombre est sa distance à $0$ sans tenir compte du signe.

📝 Points essentiels

• Les décimaux sont de la forme $\frac{a}{10^p}$ et ont un nombre fini de chiffres après la virgule.
• Les rationnels sont de la forme $\frac{a}{b}$ et ne sont pas forcément finis en écriture décimale.
• La preuve par l’absurde peut servir à montrer qu’un nombre n’est pas décimal ou rationnel.
• Les irrationnels (exemples : $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$) ne s’écrivent pas $\frac{a}{b}$.
• Intersection et réunion : $A\cap B$ et $A\cup B$ décrivent les parties communes et l’ensemble réuni.
• Valeur absolue : $|-5|=5$ et la distance de deux nombres $a$ et $b$ vaut $|a-b|$.

💡 Astuce mémo

Valeur absolue = “on enlève le signe” ; distance = $|a-b|$.

📖 12. Probabilités : événements et formules

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Une expérience est aléatoire si on ne peut pas prévoir avec certitude ses issues.
• Univers $\Omega$ : L’univers est l’ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire.
• Événement : Un événement est un ensemble d’issues, pouvant contenir plusieurs issues élémentaires.
• Événement contraire : L’événement contraire $\bar{E}$ est celui qui correspond à “E ne se produit pas”.
• Événements incompatibles : Deux événements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire en même temps, ce qui donne $A\cap B=\emptyset$.

📝 Points essentiels

• Une expérience est aléatoire si les issues ne sont pas prévisibles.
• L’univers s’écrit $\Omega=\{\omega\}$ et regroupe toutes les issues.
• La probabilité se lit sur un arbre ou un tableau, avec une somme sur $1$.
• Un événement élémentaire correspond à une seule issue, tandis qu’un événement peut en contenir plusieurs.
• Probabilité de l’événement contraire : $P(\bar{E})=1-P(E)$.
• Formule d’union : $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ et si $A$ et $B$ sont incompatibles alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

💡 Astuce mémo

Union = somme moins intersection ; Incompatibles = intersection vide donc pas de correction.

📊 Tableaux de synthèse

Paire vs impaire

Croissance vs décroissance

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre image et antécédent : l’image est le résultat, l’antécédent est la valeur d’entrée.
2. Mélanger parité et symétrie : la parité se lit via $f(-x)=f(x)$ (paire) ou $f(-x)=-f(x)$ (impaire).
3. Oublier que monotone signifie “croissante ou décroissante”, pas les deux sur le même intervalle.
4. Se tromper de règle de puissances : additionner les exposants pour un produit, soustraire pour un quotient.
5. Dans les inéquations avec quotient, oublier d’exclure les valeurs qui annulent le dénominateur.
6. Confondre équation cartésienne et équation réduite : la pente est dans $y=ax+b$, pas dans $ax+by+c=0$.
7. Pour les vecteurs, confondre colinéarité et égalité : colinéaires signifie même direction, pas forcément même sens et même longueur.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir variable, ensemble de définition, image et antécédent, et lire abscisse/ordonnée sur un repère.
2. Connaître les fonctions de référence $x^2$, $1/x$, $\sqrt{x}$ et $x^3$ et leurs symétries, puis appliquer la parité (paire/impair).
3. Déterminer le sens de variation (croissante/décroissante/constante) sur un intervalle à partir d’inégalités et compléter un tableau de variation avec maximum/minimum.
4. Maîtriser les règles de calcul sur les puissances (produit/quotient/puissance d’une puissance/puissance d’un produit) et les simplifications avec racines carrées.
5. Écrire et exploiter les équations de droites (cartésienne et réduite), calculer la pente à partir de deux points et vérifier l’appartenance d’un point à une droite.
6. Résoudre des inéquations via tableau de signe pour une fonction affine, y compris les cas avec produit et quotient (intervalles et unions).
7. Effectuer des calculs algébriques : développer/factoriser, double distributivité, réduire au même dénominateur et utiliser les identités remarquables.
8. Utiliser multiples/diviseurs et critères de nombres premiers (définition, premiers entre eux, fraction irréductible).
9. Manipuler les vecteurs : translation, vecteur nul et opposé, relation de Chasles, colinéarité et déterminant nul.
10. Calculer des coordonnées de vecteurs et appliquer les règles de somme et multiplication par un scalaire, puis utiliser le déterminant pour la colinéarité.
11. Classer des nombres (décimaux, rationnels, réels, irrationnels) et utiliser l’intersection/réunion d’intervalles et la valeur absolue pour des distances.
12. Résoudre des problèmes de probabilités : univers, événement/élémentaire, contraire, union avec intersection, et cas incompatibles.