Fiche de révision : Introduction aux fonctions et suites fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Second degré : formes et racines
2. Suites numériques et géométriques
3. Tangentes et dérivation
4. Probabilités conditionnelles
5. Variables aléatoires
6. Applications de la dérivation
7. Fonction exponentielle
8. Produit scalaire et cercles

📖 1. Second degré : formes et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Un trinôme est une fonction polynôme de degré 2 définie par $A(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme s’écrit $A(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=A(\alpha)$.
• Discriminant : Le discriminant d’un trinôme est $\Delta=b^2-4ac$ et il décide du nombre de racines réelles.
• Racines d’un trinôme : Les racines d’un trinôme sont les solutions de $A(x)=0$, notées $x_1$ et $x_2$ quand elles existent.

📝 Points essentiels

• Pour $\Delta<0$, le trinôme n’a aucune solution réelle et reste toujours du signe de $a$.
• Pour $\Delta=0$, le trinôme a une unique racine réelle $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et se factorise en $a(x-\alpha)^2$.
• Pour $\Delta>0$, les deux racines sont $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$, et on a $A(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Si $\Delta>0$, alors $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.
• Pour dresser un tableau de signe, le trinôme est du signe de $a$ en dehors des racines $x_1$ et $x_2$ quand $\Delta>0$.
• On choisit la forme canonique pour repérer le minimum (si $a>0$) ou le maximum (si $a<0$) grâce au couple $(\alpha,\beta)$.

💡 Astuce mémo

Delta raconte le nombre de solutions : négatif → 0, nul → 1, positif → 2.

📖 2. Suites numériques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une fonction qui associe à chaque entier naturel n un terme u(n) noté aussi un.
• Suite arithmétique : Une suite arithmétique vérifie qu’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours la même quantité r.
• Raison de suite arithmétique : La raison r est le réel constant tel que, pour tout n, on ait un+1 = un + r dans une suite arithmétique.
• Suite géométrique : Une suite géométrique vérifie qu’on passe d’un terme au suivant en le multipliant toujours par la même quantité q.

📝 Points essentiels

• Dans une suite arithmétique, on a pour tous entiers naturels p et n : un = up + (n − p)r, et en particulier un = u0 + nr.
• Dans une suite arithmétique, la différence est constante : un+1 − un = r pour tout n.
• Dans une suite géométrique, on a pour tous entiers naturels p et n : un = up × q^(n−p), et en particulier un = u0 × q^n.
• Si q ≠ 1, alors la somme des n+1 premiers termes vérifie : 1 + q + q^2 + ··· + q^n = (1 − q^(n+1)) / (1 − q).

💡 Astuce mémo

Arithmétique = +r (différence constante) ; géométrique = ×q (quotient constant).

📖 3. Tangentes et dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé d’une fonction en $a$ est la limite du taux d’accroissement lorsque $h\to 0$, notée $f'(a)$.
• Équation de la tangente : L’équation réduite de la tangente au point d’abscisse $a$ est donnée par $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ pour une fonction dérivable en $a$.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à tout $x$ le nombre $f'(x)$ lorsque $f$ est dérivable sur l’ensemble considéré.
• Règle de dérivation du produit : La dérivée d’un produit $u\times v$ s’obtient avec la règle $(uv)'=u'v+v'u$.
• Dérivée du quotient : La dérivée d’un quotient $\frac{u}{v}$ (avec $v$ non nul) est donnée par $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-v'u}{v^2}$.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est dérivable en $a$, alors le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $a$ vaut $f'(a)$.
• Pour une fonction dérivable en $a$, le taux d’accroissement entre $a$ et $a+h$ est $\tau(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et $f'(a)=\lim_{h\to 0}\tau(h)$.
• Si $f(x)=kx+b$ est affine, alors $f'(x)=k$ pour tout $x$ de l’ensemble où $f$ est dérivable.
• Si $f(x)=x^n$ avec $n\in\mathbb{Z}$, alors $f'(x)=n x^{n-1}$.
• Si $f(x)=\frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$, alors $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$.
• Si $f(x)=\sqrt{x}$ sur $]0,+\infty[$, alors $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

💡 Astuce mémo

Tangente : dérivée = pente, donc y = pente × (x-a) + point = f'(a)(x-a)+f(a).

📖 4. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité sachant : La probabilité sachant A mesure la probabilité d’un événement B lorsque l’on suppose que A est déjà réalisé.
• Indépendance : Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre.
• Arbre pondéré : Un arbre pondéré organise les probabilités conditionnelles le long de plusieurs tirages pour calculer des probabilités composées.
• Partition de l’univers : Une partition de E découpe l’univers en événements incompatibles et de réunion égale à E.

📝 Points essentiels

• Pour P(A)≠0, on a $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ et donc $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.
• Si A et B sont indépendants alors $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ et, avec $P(A)\neq0$, on obtient $P_A(B)=P(B)$.
• Sur un arbre, la probabilité d’un chemin s’obtient en multipliant les probabilités successives le long des branches, puis on additionne les chemins menant au même événement final.
• Si $A,B,C$ forment une partition de E, alors la probabilité de D se calcule en additionnant les probabilités des formes $P(A\cap D)$, $P(B\cap D)$ et $P(C\cap D)$.
• Exercice 1 : après un tirage noir au premier tirage, la probabilité d’obtenir une boule blanche au deuxième vaut $0{,}25$.
• Bac S Asie 2007 : si un jouet a réussi la solidité, la probabilité d’être sans défaut de finition vaut $\dfrac{0{,}874}{0{,}934}\approx 0{,}936$.

💡 Astuce mémo

P(A∩B)=P(A)×P_A(B) : on “conditionne” A, puis on multiplie.

📖 5. Variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire réelle : Une variable aléatoire réelle associe à chaque issue d’une expérience aléatoire une valeur réelle, notée X.
• Loi de probabilité de X : La loi de probabilité de X donne, pour chaque valeur possible x_i, la probabilité P(X=x_i).
• Espérance mathématique : L’espérance de X est la moyenne pondérée des valeurs prises par X, avec les probabilités comme coefficients.
• Variance et écart-type : La variance mesure la dispersion autour de l’espérance, et l’écart-type est sa racine carrée.

📝 Points essentiels

• Si X prend les valeurs x1, x2, x3 avec probabilités p1, p2, p3, alors E(X)=p1x1+p2x2+p3x3.
• Pour une variable aléatoire X, la variance vaut V(X)=p1(x1−E(X))^2+p2(x2−E(X))^2+p3(x3−E(X))^2.
• L’écart-type est défini par σ(X)=√(V(X)).
• Exemple (mois en 2021) : avec P(X=28)=1/12, P(X=30)=4/12, P(X=31)=7/12, on obtient E(X)≈30,42 ; V(X)≈0,743 ; σ(X)≈0,862.

💡 Astuce mémo

Espérance = somme des valeurs × probabilités ; variance = somme des carrés des écarts à l’espérance × probabilités.

📖 6. Applications de la dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Variations d’une fonction : Les variations d’une fonction décrivent si sa valeur augmente ou diminue quand la variable se déplace sur un intervalle.
• Signe de la dérivée : Le signe de $f'$ indique si $f$ a une tendance à augmenter ($f'>0$) ou à diminuer ($f'<0$) sur un intervalle.
• Tableau de variations : Un tableau de variations résume le signe de $f'$ et les intervalles où $f$ est croissante, décroissante ou constante.

📝 Points essentiels

• Si $f'$ est positive sur $I$ (sauf zéros isolés), alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f'$ est négative sur $I$ (sauf zéros isolés), alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(x)=0$ pour tout $x\in I$, alors $f$ est constante sur $I$.
• Pour $B(x)=0,1x^2-28,125x+7500$ (bénéfice), $B$ est maximale pour $x=200$ (centaines d’objets) avec $B(200)=445\,000EUR$.
• Pour $f(x)=x^4-4x^2+2$ sur $[0;2]$, on a $-14\le f(x)\le 2$, donc minimum $-14$ et maximum $2$ sur $[0;2]$.
• Pour $g(x)=e^{3-2x}(3x-2)$, $g$ admet un minimum atteint pour $x=\frac{1}{3}$ avec $m=-\frac{1}{3e^3}$, et $g$ n’admet pas de maximum sur $\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

$f'$ signe = sens : $+$ monte, $-$ descend, $0$ constant. Intègre mentalement le signe pour lire les variations.

📖 7. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f' = f et f(0) = 1.
• Notation e^x : Pour tout réel x, exp(x) se note e^x, où e est l’image de 1 par la fonction exponentielle.
• Dérivée de e^x : La dérivée de la fonction x ↦ e^x est la fonction x ↦ e^x.
• Fonction x ↦ e^{ax+b} : La fonction x ↦ e^{ax+b} a pour dérivée x ↦ a e^{ax+b} et son signe de variation dépend de a.

📝 Points essentiels

• e^0 = 1 et e^x > 0 pour tout réel x.
• La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
• Pour tous réels a et b, e^a = e^b ⇔ a = b et e^a < e^b ⇔ a < b.
• Pour tous réels x et y, e^{x+y} = e^x e^y et e^{x-y} = e^x/e^y.
• Pour tout réel a et tout réel b, (e^{ax+b})' = a e^{ax+b} : elle est croissante si a>0 et décroissante si a<0.
• Si u est dérivable, alors (e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}.

💡 Astuce mémo

Règle : exponentielle dérivée = elle-même, donc le “signe” vient uniquement du facteur devant le x dans ax+b.

📖 8. Produit scalaire et cercles

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs colinéaires sont liés par un multiple réel, et leur produit scalaire se déduit de l’orientation et des longueurs.
• Formule du cosinus : Le produit scalaire de deux vecteurs s’exprime avec les longueurs et le cosinus de l’angle entre eux pour trois points A, B, C.
• Vecteur normal : Un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de cette droite.
• Équation de cercle : L’équation d’un cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon R s’écrit avec des carrés de distances au centre.

📝 Points essentiels

• Si les vecteurs AB et AC sont colinéaires de même sens alors AB·AC = AB×AC, et s’ils sont colinéaires de sens contraires alors AB·AC = −AB×AC.
• Deux vecteurs ~u et ~v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire ~u·~v vaut 0.
• Dans un repère orthonormé, si ~u(x ; y) et ~v(x′ ; y′) alors ~u·~v = xx′ + yy′.
• Pour la droite (d) d’équation ax + by + c = 0, (a ; b) est un vecteur normal non nul de (d).
• Un cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon R a pour équation (x − a)² + (y − b)² = R².
• Ex 7 : pour x² + y² − 2x + 4y + 1 = 0, le cercle a pour centre (1 ; −2) et pour rayon 2.

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison arithmétique vs géométrique

Cas du discriminant (trinôme)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la forme canonique A(x)=a(x-α)^2+β avec la factorisée a(x-x1)(x-x2.
2. Se tromper de signe pour α : utiliser α=b/(2a) au lieu de α= -b/(2a).
3. Pour Δ>0, inverser les formules de x1 et x2 (le « +√Δ » et le « −√Δ ») et donc inverser l’ordre des racines.
4. Dans une suite arithmétique, prendre un+1 = un×r au lieu de un+1 = un + r (addition vs multiplication).
5. Dans une suite géométrique, oublier que q peut être différent de 1 et que la somme 1+q+…+q^n s’écrit (1-q^{n+1})/(1-q) quand q≠1.
6. En dérivation, confondre les règles : (uv)'=u'v+v'u et (u/v)'=(u'v-v'u)/v^2 (sans inverser les termes).
7. Pour les probabilités conditionnelles, oublier le P(A) au dénominateur dans P_A(B)=P(A∩B)/P(A).

✅ Checklist Examen

1. Second degré : calculer Δ=b^2-4ac puis déterminer le nombre de racines et choisir la bonne écriture (canonique ou factorisée).
2. Second degré : trouver α=−b/(2a) et β=A(α) pour la forme canonique, puis déduire minimum/maximum selon le signe de a.
3. Second degré : pour Δ>0, calculer x1 et x2 et exploiter x1+x2=−b/a et x1x2=c/a pour factoriser ou résoudre des inéquations.
4. Suites : identifier si la suite est arithmétique ou géométrique à partir des relations d’un terme au suivant, puis utiliser u_n=u_0+nr ou u_n=u_0 q^n.
5. Suites : résoudre un calcul demandé (ex : u20, S de somme géométrique) en appliquant la formule fournie pour q≠1.
6. Tangentes/dérivation : utiliser le nombre dérivé f'(a) comme pente et écrire y=f'(a)(x-a)+f(a).
7. Tangentes/dérivation : appliquer correctement les dérivées usuelles et les règles produit/quotient, puis relier signe de f' et variations.
8. Probabilités conditionnelles : utiliser P_A(B)=P(A∩B)/P(A) et en cas d’indépendance P(A∩B)=P(A)P(B).
9. Probabilités/arbres : sur un arbre, calculer la probabilité d’un chemin par produit des probabilités successives puis sommer les chemins menant au même événement.
10. Variables aléatoires : calculer E(X)=Σ p_i x_i, puis V(X)=Σ p_i(x_i−E(X))^2 et σ(X)=√(V(X)).
11. Applications dérivation : dresser le tableau de variations via le signe de f' (croissante si f'>0, décroissante si f'<0, constante si f'=0).
12. Exponentielle : utiliser (e^{ax+b})'=a e^{ax+b} et les propriétés e^{x+y}=e^x e^y et e^a=e^b ⇔ a=b pour résoudre équations/inéquations.
13. Produit scalaire/cercle : reconnaître orthogonalité (u·v=0), équation d’une droite ax+by+c=0 via un vecteur normal, et équation de cercle (x-a)^2+(y-b)^2=R^2.