Fiche de révision : Introduction aux fonctions et suites mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Second degré
2. Suites numériques
3. Suites géométriques
4. Tangentes et dérivation
5. Probabilités conditionnelles
6. Variables aléatoires
7. Variations et extrema
8. Fonction exponentielle
9. Droites, cercles et Al-Kashi

📖 1. Second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme : Un trinôme est une fonction polynôme de degré 2 définie sur R sous la forme A(x)=ax²+bx+c avec a≠0.
• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme s’écrit A(x)=a(x−α)²+β avec α=−b/(2a) et β=A(α).
• Discriminant : Le discriminant d’un trinôme vaut Δ=b²−4ac et sert à décider du nombre de solutions de A(x)=0.

📝 Points essentiels

• Si Δ<0, l’équation A(x)=0 n’a pas de solution et A(x) ne change jamais de signe, qui est celui de a.
• Si Δ=0, l’équation A(x)=0 a une solution unique α=−b/(2a) et A(x)=a(x−α)².
• Si Δ>0, l’équation A(x)=0 a deux racines x1=(−b+√Δ)/(2a) et x2=(−b−√Δ)/(2a) et A(x)=a(x−x1)(x−x2).
• Lorsque Δ>0, on a A(x) de signe a à l’extérieur de {x1,x2} et de signe opposé entre les deux racines.
• Pour dresser les variations, la forme canonique donne le sommet (x=α) et indique le minimum si a>0 et le maximum si a<0.

📖 2. Suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une fonction définie sur l’ensemble N, et son terme d’indice n est noté u(n) ou u_n.
• Terme d’indice n : Le terme d’indice n, aussi appelé terme de rang n, est l’image de n par la suite, notée u(n) ou u_n.
• Croissance d’une suite : Une suite est dite croissante à partir d’un indice p si, pour tout n>p, on a u_{n+1}>u_n.
• Suites arithmétiques : Une suite est arithmétique s’il existe une raison r telle que, pour tout n, u_{n+1}=u_n+r.
• Suites géométriques : Une suite est géométrique s’il existe une raison q telle que, pour tout n, u_{n+1}=q\times u_n.

📝 Points essentiels

• Si u_{n+1}>u_n pour tout n>p, alors la suite est croissante à partir de p, et si u_{n+1}≤u_n pour tout n>p elle est décroissante à partir de p.
• Pour une suite arithmétique de raison r, on a u_n=u_p+(n-p)r et en particulier u_n=u_0+nr.
• Pour une suite géométrique de raison q, on a u_n=u_p\times q^{n-p} et en particulier u_n=u_0\times q^n.
• Si q≠1, la somme des premiers termes vaut 1+q+q^2+…+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}.
• Un capital à intérêts composés (2% par an) vérifie C_{n+1}=C_n\times 1,02, donc (C_n) est géométrique de raison 1,02.
• Avec 2020: u_{n+1}=0,9u_n+20, et la suite des valeurs translatées v_n=u_n-200 vérifie v_{n+1}=0,9v_n.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = +r (addition) ; Géométrique = ×q (multiplication) ; Somme géométrique : passer de (1−q) à (1−q^{n+1}).

📖 3. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite géométrique est une suite pour laquelle, d’un terme au suivant, on multiplie toujours par un même nombre réel.
• Raison q : La raison d’une suite géométrique est le réel q qui vérifie la relation entre deux termes consécutifs.
• Somme géométrique : La somme géométrique est la somme de termes successifs d’une suite géométrique, souvent écrite comme 1+q+q^2+…

📝 Points essentiels

• Pour une suite géométrique (u_n), on a pour tout n : u_{n+1}=q×u_n avec q constant (et non nul).
• Si (u_n) est géométrique de raison q, alors pour tous entiers naturels n et p : u_n=u_p×q^{n-p}.
• En particulier, pour tout entier naturel n : u_n=u_0×q^n.
• Si q≠1, alors pour tout entier naturel n : 1+q+q^2+…+q^n=(1-q^{n+1})/(1-q).
• Si q=1, la somme devient celle de termes tous égaux à 1 (car les puissances de 1 valent 1).

💡 Astuce mémo

Géométrique = “garder q” : on passe à l’étape suivante en multipliant par q, et les exposants comptent les pas (n−p).

📖 4. Tangentes et dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé d’une fonction en a est la limite du taux d’accroissement quand $h$ tend vers 0.
• Tangente à la courbe : La tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $a$ est la droite de pente égale au nombre dérivé $f'(a)$ passant par $(a;f(a))$.
• Équation réduite de tangente : L’équation réduite de la tangente en $a$ exprime $y$ en fonction de $x$ avec la pente $f'(a)$ et le point $(a;f(a))$.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à chaque $x$ le nombre dérivé $f'(x)$ lorsque $f$ est dérivable en tout point considéré.

📝 Points essentiels

• Le taux d’accroissement entre $a$ et $a+h$ vaut $\tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ avec $h\neq 0$.
• Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
• La tangente en $a$ a pour équation réduite $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• La dérivée d’une constante $k$ est nulle : si $f(x)=k$ alors $f'(x)=0$.
• Si $f(x)=ax+b$ alors $f'(x)=a$ (dérivée d’une fonction affine).
• Règle produit : pour $u$ et $v$ dérivables, $\,(uv)'=u'v+v'u$.

💡 Astuce mémo

Pente=f'(a) et la tangente passe par (a;f(a)) : formule $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📖 5. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle décrit la chance d’un événement B sachant qu’un événement A est réalisé, avec P(A) non nul.
• Indépendance des événements : Deux événements sont indépendants quand la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre.
• Arbre pondéré : Un arbre pondéré est un schéma qui combine des probabilités de chemins successifs avec des branches annotées par leurs probabilités.
• Partition de l’univers : Une partition de l’univers est une décomposition de l’espace en événements disjoints dont l’union recouvre tout l’univers.

📝 Points essentiels

• Si P(A) ≠ 0, alors $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ et donc $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$.
• Si A et B sont indépendants, alors $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ et, avec $P(A)\ne 0$, $P_A(B)=P(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
• Dans un arbre pondéré, chaque probabilité de chemin s’obtient en multipliant les probabilités des branches successives correspondantes.
• Si {A,B,C} forme une partition de l’univers, alors $P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D)+P(C\cap D)$ (en réunissant tous les chemins qui mènent à D).
• Quand on répète une expérience de manière indépendante, alors $P(e_i\cap e_j)=p_i\times p_j$ pour deux tirages indépendants.

💡 Astuce mémo

Conditionnel = intersection / probabilité de la condition : $P_A(B)=P(A\cap B)/P(A)$.

📖 6. Variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire réelle : Une variable aléatoire réelle associe à chaque issue d’une expérience aléatoire une valeur réelle.
• Loi de probabilité : La loi de probabilité d’une variable aléatoire donne, pour chaque valeur possible, la probabilité correspondante.
• Espérance mathématique : L’espérance d’une variable aléatoire est la somme des valeurs possibles pondérées par leurs probabilités.
• Variance : La variance mesure la dispersion d’une variable aléatoire autour de son espérance via la somme des carrés des écarts pondérés.
• Écart-type : L’écart-type est la racine carrée de la variance et correspond à une dispersion “en unités” de la variable.

📝 Points essentiels

• Si $X$ prend les valeurs $x_1,x_2,x_3$, alors $P(X=x_i)$ sont données dans un tableau et $P(X=x_1)+P(X=x_2)+P(X=x_3)=1$.
• Si $X$ a pour valeurs $x_i$ avec probabilités $p_i$, alors $E(X)=\sum_i p_i x_i$.
• Si $X$ a pour valeurs $x_i$ avec probabilités $p_i$, alors $V(X)=\sum_i p_i\,(x_i-E(X))^2$.
• L’écart-type vérifie $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.
• Exemple (mois 2021) : pour $X$ = nombre de jours, on a $E(X)\approx 30{,}42$, $V(X)\approx 0{,}743$ et $\sigma(X)\approx 0{,}862$ à partir des probabilités $1/12$, $4/12$ et $7/12$ sur $28$, $30$ et $31$.
• Dans l’exemple, l’espérance représente le “nombre moyen” de jours par mois, tandis que l’écart-type quantifie l’écart moyen à cette moyenne.

💡 Astuce mémo

Moyenne pondérée pour $E(X)$, dispersion “autour de $E(X)$” pour $V(X)$, puis $\sigma(X)$ remet l’échelle avec la racine.

📖 7. Variations et extrema

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de variations : Le tableau de variations résume l’évolution d’une fonction sur un intervalle à partir du signe de sa dérivée.
• Extremum d’une fonction : Un extremum est une valeur minimale ou maximale prise par une fonction sur un domaine donné.
• Dérivée : La dérivée mesure la variation instantanée et permet de déduire le sens des variations d’une fonction.

📝 Points essentiels

• Si f′ est positive sur I (sauf éventuellement en des points isolés où elle s’annule), alors f est strictement croissante sur I.
• Si f′ est négative sur I (sauf éventuellement en des points isolés où elle s’annule), alors f est strictement décroissante sur I.
• Si f′=0 pour tout x de I, alors f est constante sur I.
• En pratique, on peut déterminer le sens de variation de f en lisant le signe de f′ (via une courbe ou une expression) et en construisant un tableau conjoint signe de f′ et variations de f.
• Un maximum (resp. un minimum) apparaît quand f′ passe de + à − (resp. de − à +) au niveau d’un point de changement de signe.
• Dans l’exercice sur le bénéfice B, le bénéfice maximal est obtenu pour x=200 centaines d’objets et vaut 445000 euros.

💡 Astuce mémo

f′ te dit le sens : + → ça monte, − → ça descend, 0 → c’est plat.

📖 8. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur ℝ telle que sa dérivée soit égale à elle-même et qu’elle prenne la valeur 1 en 0.
• Exponentielle exp : L’exponentielle exp désigne la fonction construite par la condition f’=f et f(0)=1, avec exp(0)=1 et exp(1)=e.
• Écriture $e^x$ : Pour tout réel x, l’écriture $e^x$ note la valeur de la fonction exponentielle en x, c’est-à-dire exp(x).

📝 Points essentiels

• La fonction exponentielle vérifie pour tout réel x : $(e^x)'=e^x$, donc sa courbe monte sans jamais redescendre sur ℝ.
• La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ, et $e^0=1$ et $e^1=e$.
• Pour tous réels x et y : $e^{x+y}=e^x\times e^y$, $e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$ et $e^{-x}=\dfrac1{e^x}$.
• Pour tout entier naturel n : $(e^x)^n=e^{nx}$, ce qui simplifie fortement les puissances d’exponentielles.
• Résoudre des équations/inéquations avec l’exponentielle se fait en comparant les exposants : $e^a=e^b\Leftrightarrow a=b$ et $e^a<e^b\Leftrightarrow a<b$.
• Si $a$ est réel et $b$ réel, alors $x\mapsto e^{ax+b}$ a pour dérivée $x\mapsto a\,e^{ax+b}$, donc elle est croissante si $a>0$ et décroissante si $a<0$.

💡 Astuce mémo

Exponentielle = « son propre dérivé » : $(e^x)'=e^x$, donc elle ne peut pas s’inverser de sens sur ℝ.

📖 9. Droites, cercles et Al-Kashi

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur normal à une droite : Un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de cette droite.
• Équation cartésienne d’un cercle : Une équation cartésienne de cercle de centre (a ; b) et de rayon R s’écrit avec des carrés centrés en (a ; b).
• Théorème d’Al-Kashi : Le théorème d’Al-Kashi relie un côté d’un triangle aux deux autres et au cosinus de l’angle compris.

📝 Points essentiels

• Une droite admet un vecteur normal (a ; b) non nul si et seulement si elle peut s’écrire sous la forme ax + by + c = 0.
• Si un cercle a pour centre Ω(a ; b) et pour rayon R, son équation cartésienne est (x − a)² + (y − b)² = R².
• Pour un triangle ABC, la relation d’Al-Kashi est a² = b² + c² − 2bc cos(Â).
• Le centre d’un cercle s’obtient en mettant l’équation sous la forme somme de deux carrés (x − a)² + (y − b)² = R².

💡 Astuce mémo

Normal = droit : ax+by+c=0, Cercle = (x−a)²+(y−b)²=R², Al-Kashi : a² = b²+c²−2bc cos(Â).

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de synthèse

Suites arithmétiques vs géométriques

Discriminant d’un trinôme : conséquences

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre Δ=b²−4ac avec −4ab ou 4ab² : une petite erreur de formule change tout le cas (Δ<0/Δ=0/Δ>0).
2. Croire que si Δ=0 alors deux solutions : Δ=0 donne une seule racine α=−b/(2a).
3. Écrire les racines avec un mauvais dénominateur : x1=(−b+√Δ)/(2a) et x2=(−b−√Δ)/(2a).
4. Mélanger sens de variation et signe : f′>0 ⇒ f strictement croissante (et f′<0 ⇒ strictement décroissante).
5. Pour une suite géométrique, confondre “addition” et “multiplication” : u_{n+1}=q·u_n, pas u_n+q.
6. En probabilités conditionnelles, oublier la division par P(A) : P_A(B)=P(A∩B)/P(A).
7. Pour l’exponentielle, prendre à tort e^a=e^b ⇒ a<b : en fait e^a=e^b ⇔ a=b, et e^a<e^b ⇔ a<b.

✅ Checklist Examen

1. Second degré : donner A(x)=ax²+bx+c (a≠0), calculer α=−b/(2a) et β=f(α), puis écrire la forme canonique a(x−α)²+β.
2. Second degré : calculer Δ=b²−4ac et conclure Δ<0/Δ=0/Δ>0 pour solutions et factorisation ; donner x1 et x2 si Δ>0.
3. Second degré : déterminer le signe de A(x) et construire un tableau de signe en utilisant les racines et le signe de a en dehors des racines.
4. Variations : relier le signe de f′ à “croissante/décroissante/constante”, et traiter le cas “changement +→−” ou “−→+” pour maxima/minima.
5. Suites numériques : reconnaître arithmétique (u_{n+1}=u_n+r) ou géométrique (u_{n+1}=q·u_n), puis utiliser u_n=u_p+(n-p)r ou u_n=u_p·q^{n-p}.
6. Suites géométriques : calculer une somme 1+q+…+q^n=(1−q^{n+1})/(1−q) si q≠1 ; rappeler le cas q=1 (termes égaux).
7. Dérivation : calculer le taux d’accroissement et utiliser la formule f′(a)=lim_{h→0}(f(a+h)−f(a))/h si demandé (et surtout appliquer les règles usuelles).
8. Tangente : écrire l’équation réduite y=f′(a)(x−a)+f(a), à partir de la pente f′(a) et du point (a,f(a)).
9. Probabilités conditionnelles : calculer P_A(B)=P(A∩B)/P(A) (P(A)≠0) et en déduire P(A∩B)=P(A)·P_A(B).
10. Indépendance/arbres : utiliser P(A∩B)=P(A)·P(B) et, sur un arbre, multiplier les probabilités des branches successives correspondant au chemin.
11. Variables aléatoires : exploiter la loi (P(X=x_i)), calculer E(X)=∑p_i x_i puis V(X)=∑p_i(x_i−E(X))² et σ(X)=√V(X).
12. Fonction exponentielle et équations : utiliser (e^x)'=e^x, les identités e^{x+y}=e^x e^y et comparer e^a et e^b via a=b ou a<b.
13. Géométrie analytique : donner équation d’une droite ax+by+c=0 à partir d’un vecteur normal (a,b), équation d’un cercle (x−a)²+(y−b)²=R², et appliquer Al-Kashi a²=b²+c²−2bc cos(Â).