Fiche de révision : Introduction aux fondamentaux de la dérivation et de la continuité

📋 Plan du Cours

1. Rappels sur la dérivation
2. Fonctions composées et dérivation
3. Dérivée seconde et dérivation
4. Fonctions continues et continuité
5. Équations f(x)=k et valeurs intermédiaires
6. Continuité et suites convergentes

📖 1. Rappels sur la dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé est la limite du taux d’accroissement quand la variation de $x$ tend vers 0, si cette limite existe.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à chaque $x$ du domaine le nombre dérivé de la fonction en $x$.
• Tangente à la courbe : La tangente à la courbe en $x=a$ est la droite passant par le point de la courbe et ayant pour pente $f'(a)$.
• Signe de la dérivée : Le signe de $f'(x)$ indique si la fonction augmente, diminue ou reste constante localement.
• Extremum local : Un extremum local est une valeur atteinte par la fonction au voisinage d’un point, sans être forcément un maximum/minimum global.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ existe comme nombre réel.
• $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ si elle est dérivable en tout réel $x$ de $I$.
• La tangente en $A$ d’abscisse $a$ a pour équation réduite $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Si $f$ est croissante sur $I$, alors pour tout $x\in I$, on a $f'(x)\ge 0$.
• Si $f$ est décroissante sur $I$, alors pour tout $x\in I$, on a $f'(x)\le 0$.
• Si $f'(x)=0$ pour tout $x\in I$, alors $f$ est constante sur $I$.

💡 Astuce mémo

Pente→tangente : $f'(a)$ donne la pente de la tangente en $a$.

📖 2. Fonctions composées et dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : Une fonction composée est obtenue en remplaçant l’entrée d’une fonction par la valeur d’une autre fonction.
• Dérivée d’une fonction composée : La dérivée d’une composée s’obtient en combinant la dérivation de la fonction externe et celle de la fonction interne.
• Fonction interne : La fonction interne est celle qui reçoit la variable $x$ avant d’être injectée dans la fonction externe.
• Fonction externe : La fonction externe est celle qui est évaluée à partir de la sortie de la fonction interne.

📝 Points essentiels

• Pour dériver une composée, on utilise la règle reliant la dérivée de l’externe à celle de l’interne.
• La règle de dérivation de la composée permet de retrouver des cas particuliers (exemples non détaillés dans le texte).
• Les cas particuliers s’obtiennent en choisissant des formes spécifiques pour la fonction interne et/ou externe.
• La dérivation de la composée repose sur l’existence des dérivées nécessaires aux points considérés.
• La notation de la composée doit être claire : l’ordre des fonctions détermine la structure à dériver.
• La dérivée d’une composée sert ensuite à étudier le signe de la dérivée et donc les variations.

💡 Astuce mémo

Composée = externe( interne(x) ) : on dérive externe puis on multiplie par la dérivée de l’interne.

📖 3. Dérivée seconde et dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée seconde : La dérivée seconde est la dérivée de la dérivée première, notée $f''(x)$ quand elle existe.
• Dérivation : La dérivation est l’opération qui associe à une fonction dérivable sa fonction dérivée.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé est la valeur limite du taux d’accroissement quand la variation tend vers 0.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à chaque $x$ le nombre dérivé en $x$.

📝 Points essentiels

• La dérivée seconde s’obtient en dérivant la fonction dérivée $f'$.
• L’existence de $f''$ implique que $f'$ est dérivable sur l’intervalle considéré.
• La dérivée seconde s’interprète comme un second niveau d’évolution de la fonction (après la pente).
• Les notions de dérivée première et de dérivée seconde s’enchaînent : $f \to f' \to f''$.
• Les propriétés de tangente et de variations reposent d’abord sur $f'$, puis $f''$ sert à affiner l’étude.
• La dérivée seconde s’utilise dans la continuité du chapitre sur la dérivation (après les rappels et la composée).

💡 Astuce mémo

Deuxième dérivée = dériver la pente : $f''$ dérive $f'$.

📖 4. Fonctions continues et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction continue sur un intervalle : Une fonction est continue sur un intervalle si sa valeur ne présente pas de rupture ni de saut sur cet intervalle.
• Fonction dérivable : Une fonction est dérivable en un point si le taux d’accroissement admet une limite réelle quand $h\to 0$.
• Continuité en un point : Une fonction est continue en $a$ si sa valeur au point est compatible avec les valeurs prises au voisinage de $a$.
• Fonctions usuelles continues : Les fonctions usuelles citées (polynômes, inverse, racine carrée, exponentielle, sinus et cosinus) sont continues sur leurs ensembles de définition.
• Continuité à droite : Être continue à droite en $n$ signifie que la limite à partir des valeurs $>n$ coïncide avec la valeur en $n$.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.
• Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$.
• Les polynômes, la fonction inverse, la racine carrée, l’exponentielle, ainsi que sinus et cosinus sont continues sur tout intervalle contenu dans leur ensemble de définition.
• Toute fonction construite par somme, produit, quotient ou composition de fonctions continues est continue sur l’intervalle considéré.
• La partie entière $E$ est continue à droite en $n$ mais pas à gauche (d’après la remarque).
• La continuité est l’hypothèse clé pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires et les résultats sur les suites.

💡 Astuce mémo

Dérivable ⇒ continue : la dérivée existe, donc pas de “cassure”.

📖 5. Équations f(x)=k et valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation $f(x)=k$ : Une équation $f(x)=k$ cherche les $x$ tels que la valeur de la fonction soit exactement $k$.
• Théorème des valeurs intermédiaires : Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l’existence d’une solution quand une fonction continue passe d’une valeur à une autre en franchissant $k$.
• Valeur intermédiaire : Une valeur intermédiaire est une valeur $k$ située entre $f(a)$ et $f(b)$.
• Fonction continue strictement monotone : Une fonction continue strictement monotone conserve un ordre strict, ce qui renforce la conclusion d’existence de solutions.
• Méthodes d’encadrement : Les méthodes d’encadrement consistent à localiser une solution en la plaçant dans un intervalle dont la taille est contrôlée.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et si $k$ est entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=k$.
• Le théorème des valeurs intermédiaires n’indique ni le nombre de solutions ni leurs valeurs exactes.
• Si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, alors il existe au moins un $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=k$ (cas présenté comme conséquence).
• Dire que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires revient à écrire $f(a)\times f(b)<0$.
• La propriété peut s’étendre à des intervalles semi-ouverts $[a,b[$ ou $]a,b]$ (selon le texte).
• Encadrer une solution avec une précision $\Delta$ revient à trouver un intervalle $[c,d]$ contenant la solution et vérifiant $d-c\le \Delta$.

💡 Astuce mémo

Signe opposé ⇒ passage : $f(a)f(b)<0$ force une solution entre $a$ et $b$.

📖 6. Continuité et suites convergentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’une suite convergente : L’image d’une suite convergente par une fonction continue est une suite qui converge vers l’image de la limite.
• Limite d’une suite : La limite d’une suite est la valeur vers laquelle les termes se rapprochent quand $n$ devient grand.
• Suite définie par récurrence : Une suite définie par récurrence est donnée par une relation du type $u_{n+1}=f(u_n)$.
• Continuité en la limite : La continuité en $l$ permet de passer de $u_n\to l$ à $f(u_n)\to f(l)$.
• Équation $f(x)=x$ : L’équation $f(x)=x$ décrit les points fixes de $f$, c’est-à-dire les valeurs qui restent inchangées.

📝 Points essentiels

• Si $u_n\to l$ avec $l\in I$ et si $f$ est continue en $l$, alors $f(u_n)\to f(l)$.
• Une suite $(f(u_n))$ peut converger même si $(u_n)$ diverge (d’après la remarque).
• Si $f$ est définie et continue sur un intervalle fermé $I$ et si $f(I)\subset I$, alors la suite $u_{n+1}=f(u_n)$ reste bien définie et vérifie $u_n\in I$ pour tout $n$.
• Sous les mêmes hypothèses, si $u_n$ converge vers $l$, alors $l$ est une solution de $f(x)=x$.
• L’hypothèse $f(I)\subset I$ signifie que pour tout $x\in I$, on a $f(x)\in I$.
• La convergence de la suite issue de la récurrence mène à l’identification d’un point fixe de $f$.

💡 Astuce mémo

Continuité = passage à la limite : $u_n\to l$ ⇒ $f(u_n)\to f(l)$.

📊 Tableaux de synthèse

Dérivable vs continue

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la définition du nombre dérivé avec une simple pente “graphique” : il faut la limite du taux d’accroissement.
2. Croire que le théorème des valeurs intermédiaires donne l’unicité ou le nombre exact de solutions : il garantit seulement l’existence.
3. Oublier que $f(a)\times f(b)<0$ correspond exactement à des signes contraires pour appliquer la conséquence.
4. Penser que dérivable implique automatiquement une continuité “globale” sans vérifier le bon intervalle ou le bon point.
5. Penser que la convergence de $f(u_n)$ impose la convergence de $u_n$ : la remarque indique que ce n’est pas vrai en général.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire et reconnaître la définition du nombre dérivé $f'(a)$ via la limite du taux d’accroissement.
2. Savoir donner l’équation de la tangente en $x=a$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
3. Savoir utiliser le signe de $f'(x)$ pour conclure sur les variations (croissante/décroissante/strictement).
4. Savoir appliquer le critère d’extremum local : $f'(c)=0$ si $c$ est un extremum local intérieur.
5. Savoir appliquer la règle de dérivation des fonctions composées (structure externe/interne).
6. Savoir définir la dérivée seconde comme dérivée de $f' et comprendre l’enchaînement$f\to f'\to f''$.
7. Savoir utiliser les implications dérivable ⇒ continue (en un point et sur un intervalle).
8. Savoir appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l’existence d’une solution à $f(x)=k$.
9. Savoir utiliser la conséquence “signes contraires” : $f(a)f(b)<0$ pour garantir une solution sur $[a,b]$.
10. Savoir expliquer l’extension aux intervalles semi-ouverts $[a,b[$ ou $]a,b]$ telle qu’indiquée.
11. Savoir définir l’encadrement d’une solution avec précision $\Delta$ via un intervalle $[c,d]$ de longueur $\le\Delta$.
12. Savoir appliquer : continuité en $l$ et $u_n\to l$ ⇒ $f(u_n)\to f(l)$.
13. Savoir appliquer la récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(I)\subset I$ pour conclure que la limite (si elle existe) vérifie $f(l)=l$.