Fiche de révision : Introduction aux groupes

📋 Plan du Cours

1. Actions inverses et groupes
2. Définition et axiomes des groupes
3. Unicité des éléments du groupe
4. Exemples et contre-exemples de groupes
5. Simplification et équations de groupe
6. Résolution des équations dans les groupes
7. Notation des puissances dans un groupe
8. Règles de calcul des puissances
9. Inverse et puissance d’un produit

📖 1. Actions inverses et groupes

★ À maîtriser

• Les groupes modélisent des systèmes d’actions composables dont toute action peut être annulée pour retrouver l’état initial.

Compléments

• Le Rubik’s Cube, le GPS et la cryptographie ont en commun la composition d’actions et la possibilité de les inverser.

• Le Ctrl+Z, le déverrouillage d’un téléphone, le déchiffrement d’un message, le retour d’un robot à sa position initiale et le retour d’un drone à son orientation initiale illustrent des actions inverses.

💡 Astuce mémo

Une action composée peut se défaire grâce à son action inverse.

📖 2. Définition et axiomes des groupes

🔑 Notions clés & Définitions

• Groupe : Ensemble muni d’une loi de composition interne, associative, possédant un élément neutre et pour laquelle chaque élément possède un symétrique.
• Groupe abélien : Groupe dont la loi est commutative, c’est-à-dire que pour tous éléments x et y, x ⋆ y = y ⋆ x.

📝 Points essentiels

• Les quatre propriétés d’un groupe sont :
  • Interne
  • Associative
  • Neutre
  • Symétrique

💡 Astuce mémo

I.A.N.S. : Interne, Associative, Neutre, Symétrique.

📖 3. Unicité des éléments du groupe

📝 Points essentiels

• Dans tout groupe, l’élément neutre est unique.

• Dans tout groupe, le symétrique de chaque élément est unique.

• Le symétrique de l’élément neutre d’un groupe est l’élément neutre lui-même.

📖 4. Exemples et contre-exemples de groupes

★ À maîtriser

• Les groupes additifs commutatifs cités sont :

  • (ℤ,+)
  • (ℚ,+)
  • (ℝ,+)
  • (ℂ,+)

• Les groupes multiplicatifs commutatifs cités sont :

  • (ℚ{0},·)
  • (ℝ{0},·)
  • (ℂ{0},·)

Compléments

• (ℤ,+) est un groupe abélien parce que l’addition est interne et associative sur ℤ, que 0 est neutre, que chaque x a pour opposé −x dans ℤ et que l’addition est commutative.

• (ℤ,·) n’est pas un groupe, car 2 n’a pas de symétrique multiplicatif dans ℤ : son inverse serait 1/2.

• (ℕ,+) n’est pas un groupe, car le symétrique additif de 3 est −3, qui n’appartient pas à ℕ.

💡 Astuce mémo

Dans ℤ avec l’addition, les opposés restent dans ℤ ; dans ℤ avec la multiplication, l’inverse de 2 n’y est pas.

📖 5. Simplification et équations de groupe

★ À maîtriser

• Tout élément d’un groupe est régulier : si x ⋆ y = x ⋆ z ou y ⋆ x = z ⋆ x, alors y = z.

• Pour tous a et b d’un groupe, chacune des équations a ⋆ x = b et x ⋆ a = b possède une solution unique.

Compléments

• Pour résoudre a ⋆ x = b, on compose à gauche par le symétrique a′ de a et on obtient x = a′ ⋆ b.

• Pour résoudre x ⋆ a = b, on compose à droite par le symétrique a′ de a et on obtient x = b ⋆ a′.

📖 6. Résolution des équations dans les groupes

★ À maîtriser

• Dans un groupe, tout élément est régulier et les simplifications à gauche comme à droite sont possibles.

• Dans un groupe, chacune des équations a ⋆ x = b et x ⋆ a = b admet une solution unique.

Compléments

• Dans le groupe additif des réels, l’équation a + x = b admet pour solution unique x = b − a.

• Dans le groupe multiplicatif des réels, l’équation ax = b admet pour solution unique x = b/a.

💡 Astuce mémo

À gauche, l’inverse multiplie à gauche ; à droite, il multiplie à droite.

📖 7. Notation des puissances dans un groupe

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière positive : Pour tout élément x d’un groupe et tout entier n ≥ 1, xⁿ désigne le produit de n facteurs égaux à x.
• Puissance entière négative : Pour tout élément x d’un groupe et tout entier n ≥ 1, x⁻ⁿ est le produit de n facteurs égaux à l’inverse x⁻¹.

📝 Points essentiels

• La puissance zéro d’un élément d’un groupe est l’élément neutre : x⁰ = e.

📖 8. Règles de calcul des puissances

📝 Points essentiels

📌 Pour tout élément x d’un groupe et tous entiers m et n, xᵐ ⋆ xⁿ = xᵐ⁺ⁿ.

📖 9. Inverse et puissance d’un produit

📝 Points essentiels

📌 Dans un groupe quelconque, (x ⋆ y)ⁿ n’est généralement pas égal à xⁿ ⋆ yⁿ ; cette égalité vaut si le groupe est commutatif.

📌 Pour tous éléments x et y d’un groupe, l’inverse du produit vérifie (x ⋆ y)⁻¹ = y⁻¹ ⋆ x⁻¹.

💡 Astuce mémo

L’inverse renverse l’ordre ; la puissance du produit exige la commutativité.