Fiche de révision : Dérivabilité et calcul différentiel

📋 Plan du Cours

1. Taux d’accroissement et dérivées en un point
2. Interprétations et propriétés de la dérivée
3. Limites et fonction dérivée
4. Calcul des dérivées
5. Dérivées successives et classes
6. Approximation et différentielle en un point
7. Notations des variations et différentielles
8. Opérations sur les différentielles

📖 1. Taux d’accroissement et dérivées en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Quotient de la variation de f par celle de x entre deux valeurs distinctes x₁ et x₂.
• Dérivée en un point : Limite finie du taux d’accroissement lorsque x tend vers a.
• Point anguleux : Point A(a,f(a)) où les dérivées à droite et à gauche en a existent, sont finies et différentes.

★ À maîtriser

📌 Sur un intervalle ouvert, f est dérivable en a si et seulement si ses dérivées à droite et à gauche existent, sont finies et égales.

Compléments

📌 La dérivée à droite en a est la limite finie du taux d’accroissement lorsque h tend vers 0 par valeurs positives, tandis que la dérivée à gauche correspond à h tendant vers 0 par valeurs négatives.

• Si le taux d’accroissement à gauche tend vers l’infini en a, la courbe admet une demi-tangente verticale à gauche en a.

📖 2. Interprétations et propriétés de la dérivée

★ À maîtriser

📌 Si f est dérivable en a, une équation de la tangente à sa courbe en a est $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Compléments

• Le taux d’accroissement entre deux points de la courbe est la pente de la sécante qui les relie.

📌 Toute fonction dérivable en a est continue en a, mais la réciproque n’est pas affirmée par cette implication.

💡 Astuce mémo

La sécante relie deux points ; la tangente donne la pente à la limite.

📖 3. Limites et fonction dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée : Fonction qui associe à chaque x de I la dérivée f′(x), lorsque celle-ci existe.

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction dérivable en a, $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$.

Compléments

• Les limites usuelles sont $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, $\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x}=0$, $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$ et $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$.

• La notation de Leibniz écrit notamment f′(a)=df/dx(a) et f′=df/dx.

📖 4. Calcul des dérivées

★ À maîtriser

📌 Pour des fonctions dérivables f et g et une constante λ, les règles de dérivation sont $(f+g)'=f'+g',\quad(\lambda f)'=\lambda f',\quad(fg)'=f'g+fg',\quad\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$, la dernière formule exigeant g(x)≠0.

📌 La dérivée d’une composée vérifie $(g\circ f)'=(g'\circ f)f'$ lorsque f et g sont dérivables et que f(I) est inclus dans le domaine de g.

Compléments

• En notation de Leibniz, la règle de chaîne s’écrit formellement $\frac{dz}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}$ pour z(t)=y(x(t)), mais dy/dx est évalué en x(t) et les deux occurrences de dx ne désignent pas la même chose.

📖 5. Dérivées successives et classes

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée n-ième : Obtenue en dérivant successivement la dérivée d’ordre précédent.
• Classe Cⁿ : f est n fois dérivable et sa dérivée n-ième est continue sur I.
• Dérivabilité d’ordre n : f est n fois dérivable sur I si sa dérivée n-ième est définie sur I, et indéfiniment dérivable si elle est n fois dérivable pour tout entier naturel n.
• Classe C∞ : f est indéfiniment dérivable.

📝 Points essentiels

📌 Si f et g sont n fois dérivables sur I, leur somme et le multiple λf le sont aussi, avec $(f+g)^{(n)}=f^{(n)}+g^{(n)}\quad\text{et}\quad(\lambda f)^{(n)}=\lambda f^{(n)}$.

📌 Si f et g sont n fois dérivables sur I et si g ne s’y annule pas, leur quotient est n fois dérivable sur I.

• Les fonctions rationnelles, trigonométriques, exponentielle et logarithme, ainsi que leurs composées, sont de classe C∞ sur leur domaine de définition.

📖 6. Approximation et différentielle en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Différentielle en un point : La différentielle de f en a est la fonction linéaire $df_a:h\mapsto f'(a)h$, qui approxime la variation $f(a+h)-f(a)$ à un terme o(h) près lorsque h tend vers 0.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si f est dérivable en a, son approximation d’ordre 1 est $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)$ lorsque h tend vers 0.

Compléments

• Si f est continue en a, son approximation d’ordre 0 lorsque x tend vers a est $f(x)=f(a)+o(1)$, où o(1) représente l’erreur par rapport à la constante f(a).

• L’erreur de l’approximation d’ordre 1 de f par sa tangente est négligeable devant h lorsque h tend vers 0.

• La différentielle en un point est une fonction linéaire de la variation h.

📖 7. Notations des variations et différentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Différentielle de l’identité : La différentielle de la fonction identité est la fonction $dx:h\mapsto h$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La différentielle de f en a s’écrit $df_a=f'(a)dx$.

📌 En physique, dx désigne la variation de x et correspond à $dx(\Delta x)=\Delta x$, tandis que $\Delta y$ et dy ne sont pas nécessairement égaux.

Compléments

📌 L’écriture $df_a/dx$ est une notation de la dérivée, tandis que $df_a=f'(a)dx$ exprime une relation entre différentielles et ne résulte pas d’une division par dx.

💡 Astuce mémo

En mathématiques, dx est une fonction ; en physique, dx désigne la variation de x.

📖 8. Opérations sur les différentielles

★ À maîtriser

📐 Formule - La différentielle d’une somme vérifie $d(f+g)_a=df_a+dg_a$.

📐 Formule - La différentielle d’un produit vérifie $d(fg)_a=g(a)df_a+f(a)dg_a$.

📌 Si g(x) est non nul sur I, la différentielle du quotient vérifie $d\left(\frac{f}{g}\right)_a=\frac{g(a)df_a-f(a)dg_a}{g(a)^2}$.

Compléments

📐 Formule - Pour une constante réelle λ, la différentielle d’un multiple vérifie $d(\lambda f)_a=\lambda df_a$.