QCM : Dérivabilité et calcul différentiel (17 questions)

Question 1

1. Pour une fonction vérifiant f(2)=5 et f(6)=13, quel est son taux d’accroissement entre 2 et 6 ?

8

2

4

1/2

Explication

Le taux d’accroissement est la variation de f divisée par celle de x : (13−5)/(6−2)=8/4=2. La valeur 1/2 inverse le quotient, 8 omet la division par la variation de x et 4 ne correspond pas au quotient des variations.

Answer

La limite finie du taux d’accroissement lorsque h tend vers zéro

Answer

La fonction est dérivable en a

Answer

y−5=3(x−2)

Answer

Elle est continue en a

Answer

Elle associe à chaque x la dérivée f'(x).

Answer

$$\frac{2x\cdot x-(x^2+1)}{x^2}$$

Answer

$$\frac{2}{2x+1}$$

Answer

$$f$$ est deux fois dérivable et $$f''$$ est continue sur $$I$$

Answer

$$f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)$$

Answer

$$h\mapsto f'(a)h$$

Answer

$$df_2=5\,dx$$

Answer

$$dx=0{,}2$$, mais $$dy$$ n’est pas nécessairement égal à $$0{,}7$$

Answer

$$d(f+g)_a=dx$$

Answer

$$d(fg)_a=26dx$$

Answer

$$d\left(\frac{f}{g}\right)_a=\frac{dx}{4}$$

Question 2

2. Que représente f′(a) lorsque cette dérivée existe ?

La limite de la valeur f(a+h) lorsque h tend vers zéro

Le taux d’accroissement entre a et une valeur fixe distincte

La valeur de la fonction au point a

La limite finie du taux d’accroissement lorsque h tend vers zéro

Explication

La dérivée en a est la limite finie de [f(a+h)−f(a)]/h lorsque h tend vers zéro. La valeur f(a) confond fonction et dérivée, la limite de f(a+h) décrit la continuité, et une valeur fixe distincte définit un taux d’accroissement plutôt qu’une dérivée.

Question 3

3. Sur un intervalle ouvert, une fonction a en a une dérivée à droite finie égale à 3 et une dérivée à gauche finie égale à 3. Que peut-on conclure ?

La fonction est continue en a, sans que cela établisse sa dérivabilité

Le point de la courbe en a est anguleux

La fonction est dérivable en a

La fonction est dérivable en a seulement si f(a)=0

Explication

Sur un intervalle ouvert, l’existence de dérivées à droite et à gauche finies et égales équivaut à la dérivabilité en a. La valeur de f(a) n’a pas à être nulle, la continuité seule ne suffit pas à établir ce critère, et un point anguleux correspond à des dérivées latérales différentes.

Question 4

4. Une fonction dérivable vérifie f(2)=5 et f′(2)=3. Quelle équation donne la tangente à sa courbe au point d’abscisse 2 ?

y−2=3(x−5)

y−5=3(x−2)

y−5=3(x+2)

y−5=(1/3)(x−2)

Explication

La tangente en a vérifie y−f(a)=f′(a)(x−a), d’où y−5=3(x−2). L’équation y−2=3(x−5) échange les coordonnées du point, 1/3 inverse la pente et x+2 ne respecte pas l’abscisse de tangence.

Question 5

5. Une fonction est dérivable en un point a. Quelle propriété peut-on en déduire en ce point ?

Elle est dérivable en tout point voisin de a

Elle est continue en a si et seulement si elle est dérivable en a

Elle est continue en a

Elle possède nécessairement une dérivée seconde en a

Explication

La dérivabilité en a implique la continuité en a, sans que cette implication affirme la réciproque. La dérivabilité en un point ne garantit pas celle des points voisins, n’établit pas une équivalence avec la continuité et ne garantit pas l’existence d’une dérivée seconde.

Question 6

6. Une fonction dérivable en 3 vérifie f(3)=5 et f'(3)=−2. Quelle est la limite de $\frac{f(x)-5}{x-3}$ lorsque x tend vers 3 ?

5

−2

2

−10

Explication

Pour une fonction dérivable en 3, le quotient de taux d’accroissement tend vers f'(3), donc la limite vaut −2. La valeur 2 inverse le signe, 5 confond la limite avec f(3), et −10 multiplie à tort f'(3) par f(3).

Question 7

7. Sur un intervalle I, que fait la fonction dérivée f' lorsqu’elle existe ?

Elle associe à chaque x la valeur f(x).

Elle associe à chaque x la limite de f en x.

Elle associe à chaque x la dérivée seconde f''(x).

Elle associe à chaque x la dérivée f'(x).

Explication

La fonction dérivée associe à chaque x de I la dérivée f'(x), lorsqu’elle existe. La valeur f(x) est celle de la fonction initiale, f''(x) est la dérivée seconde, et une limite de f n’est pas la définition de la fonction dérivée.

Question 8

8. Pour x≠0, on pose $u(x)=\frac{x^2+1}{x}$ . Quelle expression donne u'(x) en appliquant la règle de dérivation d’un quotient ?

\frac{2x}{x}-\frac{x^2+1}{x^2}

\frac{2x\cdot x+(x^2+1)}{x^2}

\frac{2x\cdot x-(x^2+1)}{x^2}

\frac{2x\cdot x-(x^2+1)}{x}

Explication

La règle du quotient donne $u'=(f'g-fg')/g^2$ : ici, $f'=2x$ et $g'=1$ , d’où $u'(x)=\frac{2x\cdot x-(x^2+1)}{x^2}$ . Le signe plus inverse la soustraction, le dénominateur x oublie le carré, et la dernière expression applique une règle de dérivation terme à terme au quotient.

Question 9

9. Soit $h(x)=\ln(2x+1)$ , définie pour $x>−\frac12$ . Quelle est sa dérivée ?

\frac{1}{2x+1}

\frac{2}{2x+1}

2\ln(2x+1)

\frac{2}{\ln(2x+1)}

Explication

Par la règle de chaîne, la dérivée de $\ln(2x+1)$ est la dérivée du logarithme évaluée en $2x+1$ , multipliée par la dérivée de l’intérieur : $\frac{1}{2x+1}\times2=\frac{2}{2x+1}$ . La réponse sans facteur 2 oublie la dérivée intérieure, tandis que les autres inversent les rôles du logarithme et de son argument.

Question 10

10. Sur un intervalle $I$ , quelle condition caractérise une fonction $f$ de classe $C^2$ ?

f

est continue et

f'

est continue sur

I

f

est deux fois dérivable et

f''

est continue sur

I

f

est deux fois dérivable et

f'

est continue sur

I

f

est dérivable et

f''

est continue sur

I

Explication

Être de classe $C^2$ signifie être deux fois dérivable et avoir une dérivée seconde continue sur l’intervalle. La continuité de $f$ ou de $f'$ ne remplace pas l’exigence portant sur $f''$ .

Question 11

11. Une fonction $f$ est dérivable en $a$ . Quelle expression donne son approximation d’ordre 1 lorsque $h$ tend vers 0 ?

f(a+h)=f(a)+o(1)

f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)

f(a+h)=f'(a)+f(a)h+o(h)

f(a+h)=f(a)+f'(h)a+o(h)

Explication

L’approximation d’ordre 1 associe à la variation $h$ le terme linéaire $f'(a)h$ , avec une erreur $o(h)$ . L’expression constante $f(a)+o(1)$ correspond à l’approximation d’ordre 0, tandis que les autres expressions placent incorrectement les facteurs.

Question 12

12. Pour une fonction dérivable en $a$ , quelle fonction linéaire représente sa différentielle en $a$ et approxime sa variation pour un petit accroissement $h$ ?

h\mapsto f(a+h)-f(a)

h\mapsto f'(a)h

h\mapsto f(a)h

h\mapsto f'(h)a

Explication

La différentielle en $a$ est l’application linéaire qui envoie $h$ sur $f'(a)h$ ; elle approche la variation à un terme $o(h)$ près. La valeur $f(a)$ n’est pas la pente, la dérivée doit être évaluée en $a$ , et la variation exacte inclut l’erreur d’approximation.

Question 13

13. Pour une fonction dérivable telle que $f'(2)=5$ , quelle expression donne la différentielle de $f$ au point $2$ ?

df_2=f(2)\,dx

df_2=5\,dx

df_2=5

df_2=dx/5

Explication

La différentielle en $a$ s’écrit $df_a=f'(a)dx$ ; avec $f'(2)=5$ , on obtient $df_2=5dx$ . L’expression $df_2=5$ omet le facteur différentiel, tandis que $dx/5$ inverse le facteur et que $f(2)dx$ utilise la valeur de la fonction.

Question 14

14. En physique, un déplacement de $x$ vaut $0{,}2$ et la variation mesurée de $y$ vaut $0{,}7$ . Quelle affirmation respecte la notation des variations et différentielles ?

dx=0{,}2

et

dy=0{,}7

nécessairement

dx=0{,}2

, mais

dy

n’est pas nécessairement égal à

0{,}7

dx

n’est pas nécessairement égal à

0{,}2

, mais

dy=0{,}7

dx=dy=0{,}2

Explication

Dans cette notation physique, $dx=\Delta x$ , tandis que $dy$ et $\Delta y$ ne sont pas nécessairement égaux. L’égalité imposée pour $dy$ étend à $y$ une règle propre à $x$ ; nier l’égalité pour $dx$ inverse la règle, et poser $dy=dx$ confond les variations des deux variables.

Question 15

15. Au point considéré, les différentielles de deux fonctions sont $df_a=3dx$ et $dg_a=-2dx$ . Quelle est la différentielle de leur somme ?

d(f+g)_a=dx

d(f+g)_a=-6dx^2

d(f+g)_a=5dx

d(f+g)_a=dx^2

Explication

La différentielle d’une somme est la somme des différentielles : $3dx+(-2dx)=dx$ . La réponse $5dx$ ignore le signe négatif, tandis que les expressions en $dx^2$ appliquent à tort une multiplication.

Question 16

16. Au point $a$ , on sait que $f(a)=4$ , $g(a)=3$ , $df_a=2dx$ et $dg_a=5dx$ . Quelle est la différentielle du produit $fg$ ?

d(fg)_a=60dx^2

d(fg)_a=26dx

d(fg)_a=23dx

d(fg)_a=7dx

Explication

La règle du produit donne $d(fg)_a=g(a)df_a+f(a)dg_a=3(2dx)+4(5dx)=26dx$ . La somme $7dx$ omet les coefficients liés aux valeurs des fonctions ; $60dx^2$ multiplie les termes au lieu de les additionner, et $23dx$ inverse les coefficients.

Question 17

17. Au point $a$ , $g(a)=2$ , $f(a)=5$ , $df_a=3dx$ et $dg_a=dx$ . Quelle est la différentielle de $f/g$ ?

d\left(\frac{f}{g}\right)_a=-\frac{dx}{4}

d\left(\frac{f}{g}\right)_a=\frac{dx}{4}

d\left(\frac{f}{g}\right)_a=\frac{dx}{2}

d\left(\frac{f}{g}\right)_a=13dx

Explication

La règle du quotient donne $\frac{g(a)df_a-f(a)dg_a}{g(a)^2}=\frac{2(3dx)-5(dx)}{2^2}=\frac{dx}{4}$ . Le signe négatif inverse l’ordre des termes, $dx/2$ oublie le carré du dénominateur, et $13dx$ résulte de l’application de la règle du produit.

QCM : Dérivabilité et calcul différentiel (17 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction vérifiant f(2)=5 et f(6)=13, quel est son taux d’accroissement entre 2 et 6 ?

2. Que représente f′(a) lorsque cette dérivée existe ?

3. Sur un intervalle ouvert, une fonction a en a une dérivée à droite finie égale à 3 et une dérivée à gauche finie égale à 3. Que peut-on conclure ?

4. Une fonction dérivable vérifie f(2)=5 et f′(2)=3. Quelle équation donne la tangente à sa courbe au point d’abscisse 2 ?

5. Une fonction est dérivable en un point a. Quelle propriété peut-on en déduire en ce point ?

6. Une fonction dérivable en 3 vérifie f(3)=5 et f'(3)=−2. Quelle est la limite de $\frac{f(x)-5}{x-3}$ lorsque x tend vers 3 ?

7. Sur un intervalle I, que fait la fonction dérivée f' lorsqu’elle existe ?

8. Pour x≠0, on pose $u(x)=\frac{x^2+1}{x}$ . Quelle expression donne u'(x) en appliquant la règle de dérivation d’un quotient ?

9. Soit $h(x)=\ln(2x+1)$ , définie pour $x>−\frac12$ . Quelle est sa dérivée ?

10. Sur un intervalle $I$ , quelle condition caractérise une fonction $f$ de classe $C^2$ ?

11. Une fonction $f$ est dérivable en $a$ . Quelle expression donne son approximation d’ordre 1 lorsque $h$ tend vers 0 ?

12. Pour une fonction dérivable en $a$ , quelle fonction linéaire représente sa différentielle en $a$ et approxime sa variation pour un petit accroissement $h$ ?

13. Pour une fonction dérivable telle que $f'(2)=5$ , quelle expression donne la différentielle de $f$ au point $2$ ?

14. En physique, un déplacement de $x$ vaut $0{,}2$ et la variation mesurée de $y$ vaut $0{,}7$ . Quelle affirmation respecte la notation des variations et différentielles ?

15. Au point considéré, les différentielles de deux fonctions sont $df_a=3dx$ et $dg_a=-2dx$ . Quelle est la différentielle de leur somme ?

16. Au point $a$ , on sait que $f(a)=4$ , $g(a)=3$ , $df_a=2dx$ et $dg_a=5dx$ . Quelle est la différentielle du produit $fg$ ?

17. Au point $a$ , $g(a)=2$ , $f(a)=5$ , $df_a=3dx$ et $dg_a=dx$ . Quelle est la différentielle de $f/g$ ?

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QCM : Dérivabilité et calcul différentiel (17 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction vérifiant f(2)=5 et f(6)=13, quel est son taux d’accroissement entre 2 et 6 ?

2. Que représente f′(a) lorsque cette dérivée existe ?

3. Sur un intervalle ouvert, une fonction a en a une dérivée à droite finie égale à 3 et une dérivée à gauche finie égale à 3. Que peut-on conclure ?

4. Une fonction dérivable vérifie f(2)=5 et f′(2)=3. Quelle équation donne la tangente à sa courbe au point d’abscisse 2 ?

5. Une fonction est dérivable en un point a. Quelle propriété peut-on en déduire en ce point ?

6. Une fonction dérivable en 3 vérifie f(3)=5 et f'(3)=−2. Quelle est la limite de f(x)−5x−3\frac{f(x)-5}{x-3}x−3f(x)−5​ lorsque x tend vers 3 ?

7. Sur un intervalle I, que fait la fonction dérivée f' lorsqu’elle existe ?

8. Pour x≠0, on pose u(x)=x2+1xu(x)=\frac{x^2+1}{x}u(x)=xx2+1​. Quelle expression donne u'(x) en appliquant la règle de dérivation d’un quotient ?

9. Soit h(x)=ln⁡(2x+1)h(x)=\ln(2x+1)h(x)=ln(2x+1), définie pour x>−12x>−\frac12x>−21​. Quelle est sa dérivée ?

10. Sur un intervalle III, quelle condition caractérise une fonction fff de classe C2C^2C2 ?

11. Une fonction fff est dérivable en aaa. Quelle expression donne son approximation d’ordre 1 lorsque hhh tend vers 0 ?

12. Pour une fonction dérivable en aaa, quelle fonction linéaire représente sa différentielle en aaa et approxime sa variation pour un petit accroissement hhh ?

13. Pour une fonction dérivable telle que f′(2)=5f'(2)=5f′(2)=5, quelle expression donne la différentielle de fff au point 222 ?

14. En physique, un déplacement de xxx vaut 0,20{,}20,2 et la variation mesurée de yyy vaut 0,70{,}70,7. Quelle affirmation respecte la notation des variations et différentielles ?

15. Au point considéré, les différentielles de deux fonctions sont dfa=3dxdf_a=3dxdfa​=3dx et dga=−2dxdg_a=-2dxdga​=−2dx. Quelle est la différentielle de leur somme ?

16. Au point aaa, on sait que f(a)=4f(a)=4f(a)=4, g(a)=3g(a)=3g(a)=3, dfa=2dxdf_a=2dxdfa​=2dx et dga=5dxdg_a=5dxdga​=5dx. Quelle est la différentielle du produit fgfgfg ?

17. Au point aaa, g(a)=2g(a)=2g(a)=2, f(a)=5f(a)=5f(a)=5, dfa=3dxdf_a=3dxdfa​=3dx et dga=dxdg_a=dxdga​=dx. Quelle est la différentielle de f/gf/gf/g ?

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6. Une fonction dérivable en 3 vérifie f(3)=5 et f'(3)=−2. Quelle est la limite de $\frac{f(x)-5}{x-3}$ lorsque x tend vers 3 ?

8. Pour x≠0, on pose $u(x)=\frac{x^2+1}{x}$ . Quelle expression donne u'(x) en appliquant la règle de dérivation d’un quotient ?

9. Soit $h(x)=\ln(2x+1)$ , définie pour $x>−\frac12$ . Quelle est sa dérivée ?

10. Sur un intervalle $I$ , quelle condition caractérise une fonction $f$ de classe $C^2$ ?

11. Une fonction $f$ est dérivable en $a$ . Quelle expression donne son approximation d’ordre 1 lorsque $h$ tend vers 0 ?

12. Pour une fonction dérivable en $a$ , quelle fonction linéaire représente sa différentielle en $a$ et approxime sa variation pour un petit accroissement $h$ ?

13. Pour une fonction dérivable telle que $f'(2)=5$ , quelle expression donne la différentielle de $f$ au point $2$ ?

14. En physique, un déplacement de $x$ vaut $0{,}2$ et la variation mesurée de $y$ vaut $0{,}7$ . Quelle affirmation respecte la notation des variations et différentielles ?

15. Au point considéré, les différentielles de deux fonctions sont $df_a=3dx$ et $dg_a=-2dx$ . Quelle est la différentielle de leur somme ?

16. Au point $a$ , on sait que $f(a)=4$ , $g(a)=3$ , $df_a=2dx$ et $dg_a=5dx$ . Quelle est la différentielle du produit $fg$ ?

17. Au point $a$ , $g(a)=2$ , $f(a)=5$ , $df_a=3dx$ et $dg_a=dx$ . Quelle est la différentielle de $f/g$ ?